随机行走於布朗运动间

1、隨機行走於布朗運動間文/梁鈞泰前言1905年愛恩斯坦發表有關布朗運動的理論研究論文1，迄今剛一個世紀。在這百年間，布朗運動以致相關的隨機行走(random walk)問題的研究有了長足之發展，不僅對物理各領域有深遠的影響，也在其他科學諸如化學、地理、生物，以致經濟學中被廣泛應用。在本文裡，我將就本人所熟悉的統計物理範疇，對布朗運動及隨機行走的相關研究作一個簡略的介紹。由於本文旨在提起讀者的興趣，所以這絕非全面的介紹，也不是對相關文獻深入的探討。也許讀者可以把這篇短文看成是我們對布朗運動某些相關課題的隨機行走吧。I. 愛恩斯坦關係式在愛恩斯坦的論文中，一個既簡單又漂亮的結果是愛恩斯坦關係式。我們

2、可以輕易地把它推導出來。考慮布朗先生在顯微鏡下看到水中不規則運動的花粉:理論物理學家總喜歡把事物簡化到不能再簡化的地步，所以我們就把花粉看成是一顆點粒子(point particle)，如圖(一)所示。這粒子不太小，約有幾百微米吧，理應遵守牛頓的古典力學。但如果我們關心的運動比粒子受周遭的流體份子所碰撞的頻率慢很多時，而且該粒子處於黏滯、過度阻尼(overdamped)的情況下，朗玆凡方程(Langevin equation)才是更恰當而有效的描述.為求簡潔，我們只考慮一維空間的運動。式子中是外力，m 是mobility，而x 則是噪音項。比方說，在重力場下。噪音x 代表的正是那些流體份子施於

3、粒子的快速而不規則的作用力，亦即heat bath與粒子的相互作用。在我們關心的時間尺度下，x 平均值為零，且不具時、空的關聯性：,其中表示熱力平均。朗玆凡方程所對應的Fokker-Planck方程是，其中是粒子在時間時出現在的機率。粒子在外力作用下的平均速度自然是，在沒有外力時則自由擴散。擴散行為可從Fokker-Planck方程獲得:對初始條件求解，可得到。因此，即擴散系數就是。另一方面，在時Fokker-Planck方程的穩定解是，但這分佈同時必須附合熱力平衡的波玆曼(Boltzmann)分佈，因此得到。這就是粒子在溫度為的熱力環境下進行布朗運動時所遵守的愛恩斯坦關係式。它的物理含意很清

4、楚: 一個物理熱力學系統在不太大的外力作用下產生的線性反應(linear response,在此即)來自該系統的熱力漲落(fluctuation，在此即)，而漲落本身則來自與heat bath的交互作用。這種關係可以在非常廣泛的物理系統中找到，而且並不局限於古典力學系統。普遍存在於熱平衡系統的漲落·耗散定理(fluctuation-dissipation theorem)也可被視為愛恩斯坦關係式的推廣。圖（一）典型的布朗運動的軌跡在上面我們把粒子視為點粒子，但實際上粒子的大小是一個重要的參數。對半徑為的球狀粒子而言，從Navier-Stoke方程的解可知，其中是周遭流體的黏性系數。所

5、以粒子愈大擴散愈慢。在水中，一顆十奈米的粒子的擴散系數是，微米大小的則是，而一公尺大小的物體就只有了。此外粒子的布朗運動的速度關聯函數跟噪音的相同：，這說明了我們在顯微鏡下看到粒子的運動是不規則的，且在不同瞬間互不相干。最後，有兩點值得一提: 1.質量沒有出現在上述的結果裡，因此微小粒子(如生物份子)的慣性對其在溶液中的運動來說並不重要。 2.在這裡我們談的速度是一個宏觀的平均量(相對於份子碰撞事件而言)，所以它的平方不是熱能，而是擴散系數：。份子碰撞事件的瞬間速度才是對應於熱能的速度。II. 布朗運動的步伐上面提到的朗玆凡方程所描繪的是大尺度、長時間的情況，但到底這是相對於甚麼呢？這等於問布

6、朗運動的微觀特徵長度和特徵時間是甚麼。不同大小與質量的粒子所進行的布朗運動有不一樣的特徵長度和特徵時間。一個粗略的圖像化的想法是：在水中的粒子因受溫度為的水份子的碰撞，獲得的動能，但是液體的阻力很快就把這能量消耗掉。阻力是，積分得，再一次積分得 。這意味著粒子不斷因與流體的份子碰撞而交替加速又停頓，此過程的特徵距離和時間就是和。假如流體中有不只一顆而是很多顆粒子，我們需要知道的不是每顆粒子的位移，而是粒子的密度場。當外力為零時，滿足擴散方程式。如果把空間與時間離散化，使得兩者的基本單位是與，我們便可以推導出一個直覺且意料中的關係：。代入上一段落的結果，我們再一次發現。另外，如上面提到的，熱力速

7、度(thermal velocity)是，因此我們可以把微觀特徵長度和時間用一些可測量的宏觀量來表達：，(在這裡像2等數字因子皆被忽略)。 圖（二）一維隨機行走的時、空軌跡圖III. 隨機行走與漲落的介面為簡單起見，我們繼續考慮一維的隨機行走。以時、空為縱、橫座標作圖，我們可以得到像圖(二)的關係。上述I的結果顯示對有限時間t 來說，該行走在縱軸測量到的平均寬度平方是。走的愈久，偏離原點的機率愈大；如上面提到，該機率呈高斯分佈。如果橫軸被換成另一空間座標，則得到一個在二維空間中漲落的一維介面(interface)。推而廣之，在空間維度為下我們一般考慮的是一個維的介面。對一個二元熱力學系統而言(

8、如二元混合液、順磁性系統、或伊申模型Ising model等)，在臨界點以下的低溫區域中最重要的自由度便是像這樣分隔兩個不同相的介面的熱力漲落2。這種自由度一般稱為毛細波(capillary waves)，而介面分隔異相，看來像振動的鼓面，所以分析這自由度的理論模型稱為鼓面模型(drumhead model)。介面具有表面張力，因此介面漲落使能量升高，在小振幅的情況下能量趨近，其中是介面在位置的振幅。對應的漲落幅度自然是，其中是晶格常數，是系統的(即介面的)大小。對不同維度而言，可以是有限的，也可以是隨著而發散的。在，與的關係是，正相當於布朗運動中與的關係。在近代統計物理中，有許多針對介面運動

9、的研究，例如描述類似晶體生長的KPZ方程，或者對有不同拓樸和幾何性質的薄膜(如細胞膜)的性質的探討等。因為牽涉廣泛，對此感興趣的讀者請參考這方面的著作3。IV. 布朗運動與功率譜(Power spectrum)布朗運動的關係式說明該運動本身並沒有宏觀的特徵尺度。就圖(二)而言，這表示如果我們以不同的放大率來看，我們將無法分辨放大之前後。換言之，對應的功率譜遵守單純的指數定律(power law)，即，其中是頻率，而指數在隨機行走中等於2。圖（三）顯視分別等於0、1、2時所對應的時間序列(time series)。對於任一時間序列，我們總可以計算它對應的功率譜。人們逐漸發現世界上有很多人為或自然

10、產生的時間序列，它們對應的功率譜都沒有明顯的特徵頻率，而且經常4。具有這特性的現象有很多，包括河流的水位、恆星的亮度、地震的訊號、股票指數的起伏、甚至古典音樂的音量等。如何去合理解釋這普適性便成為理論物理學家的挑戰。於是，Per Bak等人在1987年提出即使在缺乏明顯可調控的參數下也能產生指數定律的機制，並稱之為自組臨界性(self-organized criticality)5。他們更同時提出一個圖像化而直覺的沙堆模型(sandpile model)來闡釋該概念。雖然事隔如今已快二十年，還是有不少人繼續做這方面的研究。圖（三）三個典型的時間序列: 白噪音、1/f噪音、和布朗運動V. 結論縱

11、使上述各項發展跟愛恩斯坦探討布朗運動的工作不盡有直接的因果關係，但不論就原理或現象(phenomenology)來看，似乎都脈絡可尋。所牽涉的概念和計算技巧，即使對當今的物理學以致其他學科(如生物學6)還持續發揮其影響力。 參考文獻1. A. Einstein, Ann. Phys. (Leipzig) 17, 549 (1905).2. D. Jasnow, Critical Phenomena at interfaces, Rep. Prog. Phys. 47, 1059-1132 (1984).3. Albert-Laszlo Barabási, H. E. Stanley,

12、 Fractal Concepts in Surface Growth, Cambridge University Press (1995); S.A. Safran, Statistical Thermodynamics of Surfaces, Interfaces, and Membranes, Addison-Wesley Publishing Co. (1994).4. W. Press, Flicker noise in astronomy and elsewhere, Comments Astrophys. Vol. 7, No. 4, pp.103-119 (1978).5. H.J. Jensen, Self-Organized Criticality, Cambridge Lecture Notes in