连续型随机变量的参数估计与检验

1、第四章 连续型随机变量的参数估计与检验第一节 参数估计一、主要内容点估计、估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）以及区间估计的基本概念，正态总体均数与方差的区间估计计算。二、教学要求理解无偏性、有效性、一致性的思想，熟悉正态总体均数与方差的区间估计计算。三、例题分析例1 设为取自总体的样本，且 ，均存在，试证明统计量 ，都是的无偏估计量，并判断哪一个统计量更有效。解 由无偏估计量的定义知，只要证明，就能证明与均为的无偏估计量。因为 为取自总体的样本，所以 相互独立，且与同分布，于是有 ， 从而 故与均为的无偏估计量。由有效性的定义知要比较两个估计量的有效性只要比较它们的方差大小。因为 显然

2、，说明更有效。例2 设正态总体容量为4的样本均数为5.58，试求总体均数的99%置信区间。解 因，查表得，又已知，n=4，于是 故总体均数的99%置信区间为（5.451，5.709）。例3 在一批中成药片中，随机抽取25片检查，称得平均片重0.5克，标准差0.08克。如果已知药片的重量近似服从正态分布，试求该药片平均片重的置信度为90%置信区间。解 已知，样本标准差S=0.08，n=25且，查表得，于是所以该药片平均片重的置信度为90%置信区间为（0.473，0.527）克。例4 设有两个总体，今从两总体中分别抽取容量为70和90的两个相互独立的样本，并得到样本均数分别为，试求的置信度为0.9

3、9的置信区间。解 由，查表得，又已知，于是故的置信度为0.99的置信区间为（2.199，6.001）。例5 从一批消毒片中，随机抽出100片，测定其平均溶解时间为1.5分钟，标准差为0.02分钟，求该批消毒片溶解时间的总体均数0.95的置信区间。（设溶解时间服从正态分布）。解 因为n=100，此样本为大样本情形。由，查表得，又已知，S=0.02，n=100，于是所以该批消毒片溶解时间的总体均数0.95的置信区间为分钟。例6 为比较A、B两种药品的保质期，随机抽取A药品5片，测得平均保质期年，标准差年；抽取B药品10片，测得平均保质期年，标准差年，试求两种药品平均保质期之差的0.9的置信区间。解

4、 由，查表得又于是 所以两药品平均保质期之差的0.9的置信区间为年。例7 从同一批号的阿期匹林中随机抽取10片，测定其溶解50%所需时间结果如下：5.3，3.6，5.1，6.6，4.9，6.5，5.2，3.7，5.4，5.0，求总体方差的90%置信区间。解 由样本值算得 由于，自由度f=n-1=9，查表得 ，于是 所以总体方差的90%置信区间为分钟。例8 设A、B二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作10次测定，其测量值的标准差分别为，。设和为A、B化验员所测量的数据总体的方差，求方差比的0.95的置信区间。（设为正态总体）解 由于，查表可得 于是 故的0.95的置信区间为。第二节

5、 假设检验一、主要内容假设检验的的概念、基本思想及检验中的两类错误（第一类错误和第二类错误）。二、教学要求会提出原假设、备择假设，理解小概率原理在检验中的作用，理解第一类错误和第二类错误的概念。第三节 单个正态总体的参数检验一、主要内容单个正态总体均数、总体方差的假设检验二、教学要求根据实际问题区分单侧检验、双侧检验，在区分大样本、小样本情形的条件下，熟悉单个正态总体均数、总体方差的检验方法，方法包括u-检验、t检验、检验等。 三、例题分析例1 某厂生产一种轴承，在正常情况下强度检验显示其承受的压强服从分布（单位为kPa）。显然，压强过低，产品不合格，通不过检验；压强过高，成本又会增加。因此，

6、生产过程中管理人员就要经常进行抽样检验，以判断生产是否正常。现抽取样品100件，测得这100件样品的均值为7900kPa。问在显著性水平时，生产是否正常？解 这里所关心的是总体均数是否等于8000kPa，因此为双侧检验问题。根据题意可设，。已知，n=100，计算统计量对于，查表得，比较与的大小，得，故拒绝原假设，认为生产是不正常的。例2 某种内服药有使病人血压升高的副作用。已知旧药使血压的升高幅度服从均值为22的正态分布。现研制出一种新药，并测量了10名服用新药病人的血压，记录血压升高的幅度如下： 18，24，23，15，18，15，17，21，16，15问这组数据能否支持“新药的副作用小”这

7、一结论？（）解 根据题意，我们希望新药的副作用会减小，因此可设， ，这是一个左侧检验问题。由已知n=10，。计算统计量得。对于，f=n-1=9，查表得临界值。因，所以拒绝原假设，即可以认为新药的副作用小。例3 某工厂生产的汽车轮胎规定平均行驶的里程数大于12000km，在出口一批轮胎时，为保证该厂的信誉，随机抽取了100个轮胎，测得平均行驶里程数为14500km，其标准差为2400km，在下，试判断这批轮胎是否合格？解 依题意，希望这批轮胎是合格的，因此平均行驶里程应在12000km以上，即设，这是一个右侧检验问题。该题中没有指出总体方差是否已知，应作为未知处理。由于n=100，故应看成大样本

8、情形，统计量渐近标准正态分布。已知，于是对于，查表得，因，故拒绝，即这批轮胎是合格的。例4 某公司生产工业用轴承，规定其标准内径为10cm，标准差不超过0.3cm，为此管理人员需经常检查其生产过程是否正常，即产品质量是否符合要求。今在生产过程中随机抽取了20件产品，测得其平均直径为10.05cm，标准差为0.2cm。问在0.05显著性水平下，能否判断该生产过程是正常的？（轴承内径服从正态分布）解 根据题意，生产过程正常时，其标准差应不超过0.3cm，平均直径应与10cm没有显著差异，因此该检验问题实际上既需要检验方差，又需要检验均数。首先，检验总体方差。由题意，可设，这是一个单边左侧检验。已知

9、n=20，计算统计量对，自由度f=n-1=19，查表得。因，故拒绝，即标准差不超过0.3cm。其次，检验总体均数。由于轴承内径既不能太大，又不能太小，所以可设，这是一个双侧检验问题。已知，于是对，自由度f=19，查表得，因，故接受，即其平均内径与10cm没有显著差异。综合以上结果，可以得出结论：生产过程是正常的。第四节 两个正态总体的参数检验一、主要内容两个正态总体均数的差异检验：配对比较法、成组比较法。方差齐性检验法二、教学要求会根据实际问题选用配对比较法或成组比较法检验两个正态总体均数的差异，里在两总体方差未知时分两种情况，一是两总体方差相等，二是两总体方差不等；掌握F-检验法检验方差的齐

10、性问题三、例题分析例1 14例冠心病患者给以高压氧治疗，治疗前后作同位数冠状循环指数测定，结果观察到平均指数差值为0.49，标准差为0.549，试问高压氧治疗前后冠状循环指数有无极显著差异？解 设检验假设 ，已知， 计算统计量，对，自由度df=14-1=13，查附表7得，因，故拒绝原假设，即高压氧治疗前后冠状指数有极显著差异。例2 从一批灯泡中取出20个，它们的平均使用时数为1832，样本标准差为497；再从另一批灯泡中取出25个，算得平均使用时数为1261，样本标准差为501。设两批灯泡总体方差相等，试问两批灯泡使用时数的总体均数有无极显著差异？解 已知，且。检验假设 ，计算统计量由于所以，

11、对，df=20+25-2=43，查表得，因，故拒绝，即两批灯泡有显著差异。由于，可知。习题四解答1、设是未知待估参数的估计量，若，则称为的无偏估计量。 2、由于，故，分别是和的无偏估计量。（1） （2） 2、设总体X含有未知参数，和 是由X的样本确定的两个统计量。如果对于给定的，有，则称是的置信度为的置信区间。给定的越大，置信度越小，置信区间就越窄。3、已知，n=9，对，查表得，所以总体均数的5%置信区间为 =（4.413,4.555）4、已知n=35，对，查表得，于是，故药片平均片重的95%置信区间为（1.47,1.52）g。5、由样本值计算得，n=10，S=10.34，对，查表得，于是，所

12、以的0.9置信区间为。又查表得，从而，故的0.9置信区间为。6、由样本值计算得，此题为小样本情形，由，对，查表得，从而，故两总体均数差的90%置信区间为。7、已知，于是，对，查表得，从而，故两种方法测定的朱砂量的总体均数差的0.01置信区间为。8、已知，给定，自由度，查表得，且，所以，即的95%置信区间为。9、（1）已知n=5，从而，对，查表得，因，故拒绝。（2）这是一个单边右侧检验问题。由（1）算得，对，查表得，因，故接受。10、设：，：，由已知，n=5，S=0.13，于是，对，查表得，因，故接受。11、设：，：，由已知，n=5，S=97.62，于是，对，f=n-1=4，因，故接受，即该批药品有效期确有提高。12、设：，已知n=5，S=15.59，于是，对，查表得，因，故接受，即这批产品的含铁量是合格的。13、设：，：，已知n=25，于是，对，查表得，因，故接受，即这批产品的方差符要求。14、配对比较：设：，由已知计算得，自由度f=5-1=4，于是，对，查表得，因，故接受，即青兰没有改变兔血脑血流图的作用。成组比较：设：，：。已知，对，自由度，于是，查表得，因，故接受。15、设：，已知，于是从而，对，查表得，因，故拒绝，即