第三讲 多维随机变量及其分布文档

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2、维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、 各种分布与随机变量的独立性1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x, y）=P X x, Y y , x （, +）, y （, +）的性质F （x, y）为联合分布函数 1） 0 F （x, y）1 , x （, +）,

3、 y （, +）; 2） F（, y ）= F（x, ）=0, F（+,+）=1;3） F （x, y）关于x, y 均为单调不减函数；4） F （x, y）关于x, y 均分别右连续. （2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 PX = xi , Y = yj = pi j , i, j =1, 2 , , pi j 0, .边缘分布律 pi = PX = xi =, i =1, 2 , , p j = P Y = yj =, j =1, 2 , , 条件分布律 PX = xi |Y = yj =, P Y = yj | X = xi =. 二维连续型随机变量

4、的联合概率密度、边缘密度和条件密度f（x, y）为联合概率密度 1 f（x, y）0, 2 .设（ X, Y） f（x, y）则分布函数: ;边缘概率密度: , .条件概率密度: , . 2. 随机变量的独立性和相关性X和Y相互独立 F （x, y）= FX （x）F Y （y）; pi j = pi p j （离散型） f （x, y）= f X （x）f Y （y） （连续型）【注】1 X与Y独立, f （x）, g （x）为连续函数 f （X）与g （Y）也独立. 2 若X1, , Xm, Y1, , Yn相互独立, f , g分别为m 元与 n元连续函数 f （X1, , Xm）与g

5、（Y1, , Yn）也独立.3 常数与任何随机变量独立. 3. 常见的二维分布（1）二维均匀分布 （X, Y ） U （D）, D为一平面区域. 联合概率密度为 （2）二维正态分布 （X, Y ） N （1 , 2, s12 ,s22, r ）, 1, 2 0, s2 0, | r | 1. 联合概率密度为性质:（ a ） X N （1, s12 ）, Y N （2, s22 ）（ b ） X与Y相互独立 rX Y =0 , 即 X与Y不相关.（ c ） C1X+C2Y N （C1 1+ C2 2, C12 s12 + C22s22 +2C1C2 r s1 s2 ）.（ d ） X关于Y=y的

6、条件分布为正态分布: 【 例1 】 设A，B为事件，且P（A）, P（B|A）, P（A|B） 令 X, Y（1） 试求（X, Y）的联合分布律；（2）计算Cov（ X, Y ）；（3） 计算 .【 例2 】设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处. Y X【 例3 】设随机变量X与Y独立同分布, 且X的概率分布为 记.（I）求（U, V）的概率分布;（II）求（U, V）的协方差Cov（U, V）.【详解】（I）易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且,故（U, V）的概率分布为: V

7、U1 212 0 （II） ,而 , .故 .【 例4】 设随机变量在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在的条件下,随机变量在区间上服从均匀分布, 求（）随机变量和的联合概率密度; （）的概率密度; （）概率. 二、 二维（或两个）随机变量函数的分布1分布的可加性（1）若XB（m, p）, YB（n, p）, 且X与Y相互独立，则 X+Y B （m+n, p）.（2）若XP（1）, YP（2）, 且X与Y相互独立，则 X+Y P （1+2）.（3）若XN（）, YP（）, 且X与Y相互独立，则 X+Y N （）.一般地，若XiN（）, i=1, 2, , n, 且X1，X2，Xn相互独立，则Y

8、=C1X1+C2X2+CnXn+C仍服从正态分布，且此正态分布为 其中C1，Cn为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布.【例5】 设X与Y相互独立, 且 则 【 例6】 设X与Y相互独立, 其密度函数分别为: 求Z2XY 的概率密度.【 例7】设二维随机变量（X, Y）的概率密度为 （I）求；（II）求Z+的概率密度.【详解】（I）.（II）方法一： 先求Z的分布函数: 当z0时, ;当时, ；当时, ；当时, .故Z+的概率密度=方法二： ，当z 0 或z 2时, ;当时, ；当时, ；故Z+的概率密度【例8】 设随机变量X与Y相互独立, X有密度函数f （x）, Y的分布律为 试求ZXY 的概率分布.声明：本资料由 考试吧（E） 收集整理，转载请注明出自 服务：面向校园，提供计算机等级考试，计算机软件水平考试,英语四六级，研究生考试 等校园相关考试信息。 特色：提供历年试题，模拟试题，模拟盘，教程，专业课试题 下载等。资料丰