第六章 非线性微分方程和稳定性

1、第六章 非线性微分方程和稳定性研究对象二阶驻定方程组（自治系统）1 基本概念1）稳定性考虑方程组 （6.1）其中 ，。总假设在上连续，且关于满足局部李普希兹条件，区域,，。如果对任意给定的，存在（一般与有关），使得当任一满足时，方程组（6.1）满足初始条件的解，均有对一切成立，则称方程组（6.1）的零解为稳定的。如果方程组（6.1）的零解稳定，且存在这样的，使当时，满足初始条件的解均有，则称零解为渐近稳定的。如果渐近稳定，且存在域，当且仅当时满足初始条件的解均有，则称域为（渐近）稳定域或吸引域；如果稳定域为全空间，即，则称零解为全局渐近稳定的或简称全局稳定的。当零解不是稳定时，称它为不稳定的。

2、即就是说：如果对某个给定的，不论怎样小，总有一个满足，使得由初始条件所确定的解，至少存在某个使得，则称方程组（6.1）的零解为不稳定的。注：非零解的稳定性可以通过平移变换后转化为零解稳定性问题来讨论。2）相平面与轨线考虑二阶非自治微分方程组 （6.2）它的解在以为坐标的（欧氏）空间中决定了一条曲线，这条曲线称为积分曲线。如果把时间当作参数，仅考虑为坐标的（欧氏）空间，此空间称为方程组（6.2）的相平面，若方程组是含三个以上未知函数的，则称为相空间。在相平面（相空间）中方程组的解所确定的曲线称为轨线。3）奇点与常点如果方程组（6.2）是驻定方程组（或称为自治系统），即其右端函数不显含时间。此时（

3、6.2）式变成 （6.3）满足方程组的点，即满足的点，称为方程组（6.3）的奇点（或平衡点），否则称为常点。4）周期解、闭轨和极限环平面自治系统（6.3）的周期解在相平面上对应的轨线称之为闭轨线，简称闭轨。若在闭轨的充分小的邻域中， 除之外，再无其它闭轨，称为孤立闭轨。如果在孤立闭轨的充分小的邻域中出发的非闭轨线，当（或）都分别盘旋地趋于闭轨，则称它为系统（6.3）的极限环。极限环将平面分为两个区域：内域和外域。当极限环附近的轨线均正向(即时)趋近于它时，称此极限环为稳定的。如果轨线均负向(即时)趋近于此极限环时，则称它为不稳定的。当此极限环的一侧轨线正向趋近于它，而另一侧轨线负向趋近于它时，

4、此极限环称为半稳定的。5）李雅普诺夫(Liapunov)函数（函数）考虑非线性的自治微分方程组 （6.4）假设在某区域（为正常数）内具有连续一阶偏导数。设函数在域上具有连续偏导数，且，）若在上，恒有，则称函数为常正的； ）若在上，则称函数为定正的； ）若在上，恒有，则称函数为常负的； ）若在上，则称函数为定负的；）若在原点的任一邻域内既可取正值又可取负值，则称为变号函数。常正、常负函数统称为常号函数；定正、定负函数统称为定号函数。以上定义的函数为李雅普诺夫函数（函数）。6）全导数设函数在原点的邻域内连续可微，把函数称为关于系统（6.4）的对时间的全导数，记为，特别地，如果系统已明确（或不易混淆

5、），符号的下标可略去。2 基本理论与基本方法1）平面系统的奇点分类二维线性自治系统的一般形式为 （6.5）它的系数矩阵，其特征方程是。将特征方程改写为，其中。若，是（6.5）的唯一奇点，称为初等奇点，时, 称为高阶奇点。我们主要研究初等奇点的性态。定理6.1 对于系统（6.5），当时，是它的唯一初等奇点（简称为奇点），为矩阵的不为零的特征根，则可以根据特征根的不同情况将奇点分为以下类型：）若都是实数，且，则当时，为稳定结点；当时，为不稳定结点。）若都是实数，且，则为鞍点。）若，则当时，为稳定奇结点或退化结点，当时，为不稳定奇结点或退化结点。）为一对共轭复根，则当时，为稳定焦点；当时，为不稳定焦

6、点；当时，为中心。注：奇结点（也称临界结点）是它周围的轨线均沿确定的方向趋于（或远离）它，且不同轨线切向也异。若特征根的初等因子的次数为1，则对应临界结点，初等因子的次数为2，则对应退化结点。定理6.2 设为方程组 （6.6）的孤立奇点，若，满足条件 在奇点的邻域内有连续的一阶偏导数； ，。则如果是对应线性系统（6.5）的结点、焦点或鞍点，那么也是非线性系统（6.6）的同类型奇点。2）稳定性定理与方法方法1常系数线性系统稳定性判定一般地，维常系数线性微分方程组 （6.7）其中为阶常数矩阵。方程组（6.7）的特征方程为 （6.8）。定理6.3 若特征方程（6.8）的根均具有负实部，则方程组（6.

7、7）的零解是渐近稳定的。若特征方程（6.8）具有正实部的根，则方程组（6.7）的零解是不稳定的。若特征方程（6.8）没有正实部的根，但有零根或具零实部的根，则方程组（6.7）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具零实部的根其初等因子的次数是否等于1而定。定理6.4 设给定常系数的次代数方程其中，作行列式，这里。那么，所给代数方程的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立：，。注意：这是霍维兹（Hurwitz）定理，用来判别代数方程根的实部是否均为负。方法2 一次（线性）近似系统稳定性判定若非线性微分方程组 （6.9）满足条件，当时。 显然是方程组（6.9）的解。方程组（6

8、.9）对应的线性方程组 （6.7）称为方程组（6.9）的一次近似系统（或线性近似系统）。定理6.5 若特征方程（6.8）没有零根或零实部的根，则非线性方程组（6.9）的零解的稳定性与其线性近似系统（6.7）的零解的稳定性态一致。这就是说，当特征方程（6.8）的根均具有负实部时方程组（6.9）的零解是渐近稳定的，而当特征方程具有正实部的根时，其零解是不稳定的。方法3 李雅普诺夫第二方法（函数法）不必求出方程组的解，而通过构造一个具有特殊性质的函数（李雅普诺夫函数或函数）及其通过方程组的全导数的性质，来确定方程组解的稳定性。这种方法称为李雅普诺夫第二方法。以下两个定理是这个方法的具体实现。定理6.

9、6（李雅普诺夫稳定性定理） 对于微分方程组， （6.4）如果有定正函数，其通过（6.4）的全导数为常负函数或恒等于零，则方程组（6.4）的零解是稳定的； 如果有定正函数，其通过（6.4）的全导数为定负函数，则方程组（6.4）的零解是渐近稳定的；如果存在函数和某非负常数，而通过（6.4）的全导数可以表示为，且当时为定正函数，而当时为常正函数或恒等于零；又在的任意小邻域内都至少存在某个，使，则方程组（6.4）的零解是不稳定的。 定理6.7 如果存在定正函数，其通过（6.4）的全导数为常负函数，但使得在的点的集合中除零解之外并不包含方程组（6.4）的整条正半轨线，则方程组（6.4）的零解是渐近稳定的。 3）极限环存在性定理定理6.8（庞加莱班狄克生（bendixson）环域定理） 对于二阶驻定微分方程组(6.3)，设其右端函数在相平面的某区域内有一阶连续偏导数。如果内存在有界的环形闭域，在其内不含有方程组（6.3）的奇点，而（6.3）的经过域上点的解，当（或）时不离开该域，则或者其本身是一个周期解（闭轨线），或者它按正向（或负向）趋近于内的某一周期解（闭轨线）。定理6.9（班狄克生准则）如果于内存在单连通域，在其内函数不变号且在内的任何