第三章 多维随机变量及其分布

1、第三章 多维随机变量及其分布§3.1 二维随机变量的概率分布一、填空题1. 设（）的分布函数为 ，则（）的联合概率密度= ；2设随机变量()的分布函数为 , 则= , = , = ，()；3. 用的联合分布函数表示概率= ；4.设在区域G上服从均匀分布，G为及所围成的区域，的概率密度为5. 设 () 联合密度为，则系数= 1 ；6. 设二维随机变量()的联合概率密度为，则 0 ；7.设二维随机变量的概率密度为，则c= 21/4 。二、选择题1考虑抛掷一枚硬币和一颗骰子，用表示抛掷硬币出现正面的次数，表示抛掷骰子出现的点数，则所有可能取的值为 ( A )（A）12对； （B） 6对；

2、（C） 8对； （D） 4对.2设二维随机向量（X，Y）的概率密度为则概率 ( B )（A）0.5； （B） 0.3； （C） 0.875； （D） 0.4.3. 设分别为随机变量和的分布函数, 为使是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取（A）4. 设随机变量的分布律为,满足(A)(A) 0; (B) 1/4; (C) 1/2; (D) 1.5. 如下四个二元函数中哪个可以作为连续型随机变量的联合概率密度函数（B）（A）（B）（C）（D）6. 设随机变量X与Y相互独立，它们的概率分布依次为X-11Y-11p1/21/2p1/21/2则下列各式正确的是（C）（A）X=Y； （B）

3、PX=Y=0  (C)PX=Y=1/2  (D)PX=Y=1.三、计算下列各题1. 已知随机变量的联合密度为, 求的联合分布函数。解 因为 2. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出的概率分布律。 解. 3. 给定非负函数,问是否是随机变量的联合概率密度?说明理由。解 是的联合概率密度只要满足0与所以是随机变量的联合概率密度。4. 设随机变量 () 的联合密度为，求：（1）系数k； （2）； （3）； （4）。解：（1）（2）（3）（4）=5. 设随机变量 () 的联合密度为, 求 (1)

4、系数, (2) 概率。解 6.袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，（1） 求；（2） 求二维随机变量的概率分布。解：（1）在没有取白球的情况下取了一次红球相当于只有1个红球，2个黑球有放回的取两次，其中摸到一个红球；（2）X，Y的取值范围为0,1,2，故 XY01201/41/61/3611/31/9021/900§3.2 边缘分布§3.3 条件分布§3.4 随机变量的独立性一、填空题1. 设平面区域D由曲线所围成.在D上均匀分布，则关于的边缘密度在处值为 0.2

5、5 ；2. 若的分布律为 123121/61/31/91/18应满足条件是 .若相互独立则= 2/9 ,= 1/9 ；3. 设随机变量X和Y相互独立，且X在区间上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，则；4. 设独立同分布，都服从，则（）的概率密度函数为 ；5.设随机变量与相互独立，且，则 ， ；6. 二维离散型随机变量相互独立的充分必要条件是。二、选择题1.设两随机变量独立同分布, 则下列各式成立的是（A）(A); (B); (C); (D).2设二维随机变量的联合分布为01011/4ab1/4并且已知事件与 相互独立，则a,b的值是（C）（A）a=1/6,b=1/3; (B) a=3/8

6、,b=1/8; （C）a=1/4,b=1/4; (D) a=1/5,b=3/10.3. 设二维随机变量的联合概率密度为，则X,Y满足（ C ）（A）独立同分布; （B）独立不同分布；（C）不独立同分布； （D）不独立也不同分布.三、计算下列各题1. 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1X中等可能取一个整数值，求（1）的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律。解：由题意，则由概率的乘法公式有因此 XY123411/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/481/41/41/41/412

7、. 设二维随机变量的概率密度为 （1）求关于的边缘概率密度. （2）问是否独立？3. 设二维随机变量的概率密度为求：（1）关于X和关于Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立？（2）。解：（1）由于（2）4. 设二维随机变量的概率密度为（1）求常数； （2） 求关于的边缘概率密度， （3）问是否独立？ 解 即5. 雷达的圆形屏幕的半径为，设目标出现点在屏幕上均匀分布，（1）求的边缘概率密度，（2）问是否独立？6. 设二维随机变量的概率密度为，求（1）常数（2）随机变量的边缘密度，（3）概率。解 （1）. ，(3) .7. 已知随机变量的概率分布：1/41/21/41/21/2且.（1）求的联

8、合分布，（2）问是否独立？为什么？解Y X-101Pj0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/41（1）设的联合分布为Y X-10101/401/4101/20 8. 设X与Y为两个相互独立的随机变量，X在区间上服从均匀分布，Y的概率密度为，求：（1）X与Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为，试求a有实根的概率。解：（1）（2）含有a的二次方程为有实根的充要条件为.而 四、证明题设随机变量具有分布函数，证明：X与Y相互独立。证明： §3.5 两个随机变量函数的分布 一、填空题 1. 设独立同分布, 且的分布律为, 则随机变量的分布律为 P(Z=0)=

9、0.25, P(Z=1)=0.75 ；2. 设两随机变量, 且=, 则 5/7 ；3. 设随机变量与相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布，则= 1/9 ；4. 若；5. 设X与Y相互独立，且分别服从参数为的泊松分布，则服从的分布为。二、选择题1. 设随机变量X服从指数分布，则随机变量的分布函数为（D）（A）连续函数； （B）至少有两个间断点；（C）阶梯函数；（D）恰有一个间断点.2. 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布，Y的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（B）（A）0； （B）1； （C）2 ； （D）3.3. 设随机变量相互独立，且分别服从和，则（

10、B）（A）； （B）；（C） ； （D） .4.设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的概率密度，若的概率密度，则应满足（A）（A）; （B）; （C）; （D）.5. 设X与Y相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则下列4个随机变量中服从区间或区域上的均匀分布的为（A）（A） ; （B）X+Y ; （C） ; （D）.6. 设X与Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数为（D）（A）; （B）;（C）; （D）.三、计算下列各题1. 设两个独立随机变量的分布律为, 解 由独立性可得（）（1，2） （1，4） （3，2） （3，4） 0.18 0.12 0.42 0.28 3 5

11、 5 7 1 3 1 1所以 的分布律为,的分布律为2. 设独立, 服从均匀分布, 的概率密度.(用标准正态分布函数表示)。解 由已知的密度函数为Y在-,服从均匀分布, 则, X和Y独立, 由公式3设随机变量相互独立，且求的概率密度。解 独立，又=> ，令，则4. 已知随机变量服从二维正态分布, 其联合密度为, , 求随机变量的概率密度函数。 解5. 已知随机变量X与Y相互独立，且都服从区间上的均匀分布，求的概率密度函数。解：X与Y相互独立，且，6. 设随机变量的联合概率密度, 求的概率密度。 解.7. 设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（1）求（2）求的概率密度。解：(I) (II) 所以 8. 设二维变量的概率密度为 求；求的概率密度。解：（），其中D为中的那部分区域； 求此二重积分可得 （） 当时，； 当时，； 当时， 当时， 于是9. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电路正常工作时间T的概率分布。解 以表示第个元件无故障工作时间，则独立且分布函数为. 所以T服从参数为的指数分布10. 随机变量x的概率密度为为二维随