第十二章 非线性电路

1、第十二章 非线性电路§12.1 非线性元件12.1.1 非线性电阻电阻元件的特性可以用电压和电流之间的关系来描述，称之为伏安特性关系。线性电阻的伏安特性可以用欧姆定律来表示，即，在平面上是一条通过坐标原点的直线。而非线性电阻元件的电压和电流关系不满足欧姆定律，它一般用某种特定的非线性函数来表示。图12-1（a）表示非线性电阻元件的电路符号，图12-1（b）表示某种非线性电阻的伏安特性曲线。根据非线性电阻元件的伏安特性，可以分为以下几类。 (a) (b)图12-1 非线性电阻及伏安特性曲线1. 单调型非线性电阻元件单调型非线性电阻元件的伏安特性是单调增加或单调减小的函数。如图12-2（

2、a）所示的PN结二极管是典型的单调增加型非线性电阻，伏安特性如图12-2（b）所示，从图12-2（b）可以看出，电流随着电压的变化单调递增，但是图像过原点而关于原点不对称，其伏安特性可以用下列函数表示： (12-1)其中为反向饱和电流，是常数，是电子的电荷量，是玻尔兹曼常数，为热力学温度。在（室温）时，则 从上式可以看出，电流随着电压单调增加。 (a) (b)图12-2 PN结二极管及其伏安特性2. 电压控制型非线性电阻元件如果非线性电阻元件两端的电流是其电压的单值函数，这种电阻就称为电压控制型电阻，其伏安特性可以用下列函数关系表示 (12-2)其典型的伏安特性曲线如图12-3所示。从特性曲线

3、可以看出，对于每一个电压值，有且只有一个电流值与之对应，但是，对于某一个电流值，则可能对应多个电压值。隧道二极管就具有这样的伏安特性。图12-3 隧道二极管的伏安特性曲线3. 电流控制型非线性电阻元件如果非线性电阻元件两端的电压是电流的单值函数，这种电阻就称为电流控制型电阻，其伏安特性可以用下列函数关系表示 (12-3)其典型的伏安特性曲线如图12-4所示，从特性曲线可以看出，对于每一个电流值，有且只有一个电压值与之对应，但是，对于某一个电压值，则可能对应多个电流值。辉光管和充气二极管就具有这样的伏安特性。图12-4 辉光管的伏安特性曲线需要特别强调的是线性电阻具有双向性，而许多非线性电阻具有

4、单向性。当加在非线性电阻两端的电压方向不同时，流过它的电流完全不同，因此特性曲线不对称于原点。在实际工程中，为了分析问题的方便，对于非线性电阻元件有时引用静态电阻和动态电阻的概念。图12-5 静态电阻与动态电阻非线性电阻元件在某一工作状态下（如图12-5中的P点）的静态电阻等于该点的电压与电流的比值，即非线性电阻元件在某一工作状态下（如图12-5中的P点）的动态电阻等于该点的电压对电流的导数值，即需要特别说明的是，在图12-3和图12-4所示的伏安特性曲线中，都有一段曲线下倾，其动态电阻为负值，因此具有“负电阻”的性质。12.1.2 非线性电容电容元件是一种储能元件，其特性可以用两端电压与其电

5、荷的关系来描述，称之为库伏特性。线性电容的库伏特性是一条通过坐标原点的直线。如果一个电容元件的库伏特性不是一条通过坐标原点的直线，这种电容就是非线性电容。非线性电容的电路符号和库伏特性曲线如图12-6所示。 (a) (b)图12-6 非线性电容及其库伏特性曲线如果一个非线性电容元件的电荷、电压关系可以用下式表示即电荷可用电压的单值函数来表示，则此电容称为电压控制型电容。如果电荷与电压的关系表示为即电压可以用电荷的单值函数来表示，则此电容称为电荷控制型电容。非线性电容也可以是单调型的，其库伏特性在平面上是单调增加或单调减小的。对于非线性电容的某一状态（如图12-6(b)中的P点），可以定义静态电

6、容和动态电容，分别表示如下以偏钛酸钡、磷酸钾等材料为电介质的电容一般都是非线性电容，在集成电路中，通常采用金属-氧化物-半导体电容器，也是一种常见的非线性电容。12.1.3 非线性电感电感元件也是一种储能元件，其特征可以用磁通链与电流之间的函数关系或韦安特性来表示。线性电感元件的韦安特性曲线在平面上是一条通过原点的直线。如果某电感元件的韦安特性不是一条通过坐标原点的直线，则称之为非线性电感元件。如果非线性电感的电流与磁通链的关系可以表示为则称之为磁通链控制型电感。如果电流与磁通链的关系表示为则称之为电流控制型电感。非线性电感元件的电路符号和韦安特性曲线如图12-7所示。 (a) (b)图12-

7、7 非线性电感及其韦安特性为了分析问题的方便，也对非线性电感的某一状态（如图12-7(b)中的P点）引入静态电感和动态电感的概念，分别定义为在考虑铁芯的磁滞效应和涡流效应时，电感线圈是典型的非线性电感元件，其韦安特性十分复杂，它既不是磁通链控制型，也不是电流控制型，实际上和之间是一种泛函关系。§12.2非线性电路方程虽然叠加原理只适用于线性电路，但是基尔霍夫定律不仅适用于线性电路，而且适用于非线性电路。因为非线性电路中含有非线性元件，而非线性元件的特性都是非线性函数关系，所以非线性电路方程不再是线性方程。对非线性电阻电路而言，电路方程是一组非线性代数方程，对于非线性动态电路而言，电路

8、方程是一组非线性微分方程。12.2.1 非线性电阻电路方程对于结构简单的非线性电阻电路，可以直接列出各独立节点和独立回路的KCL和KVL方程，然后写出各元件的电压电流关系，最后求解。与线性电路不同的是，非线性电阻电路中的电压电流关系是用非线性函数来描述的。12.2.2 非线性动态电路方程对于含有非线性动态元件的电路，电路方程的状态变量一般不宜任意选择。分析非线性电容电路，如果为电荷控制型，则选择作为状态变量；如果为电压控制型，则选择作为状态变量。同样，分析非线性电感电路时，如果电感为电流控制型，则选择作为状态变量；如果电感为磁通链控制型，则选择作为状态变量。12.2.3 非线性电路方程的求解方

9、法对于非线性代数方程和非线性微分方程，其解析解一般都很难得到，通常采用计算机辅助数值求解。1. 非线性代数方程的求解方法(1) 数值迭代法：借助计算机辅助手段的方法，常用的算法有牛顿-拉夫森算法。(2) 图解法：对于简单的非线性电路，其电路方程可以通过图解法求解。(3) 分段线性化方法：常采用迭代算法在计算机上进行。2. 非线性微分方程的求解方法(1) 数值求解法：这种方法要借助计算机进行，常用的算法有龙格-库塔法。(2) 相空间法。(3) 分段线性化方法。(4) 近似解析法。(5) 模拟分析法。§12.3 非线性电阻电路的图解法12.3.1 非线性电阻电路的串联首先研究两个电流控制

10、型非线性电阻的串联，目标是求两个电阻的等效电阻的伏安特性。电路如图12-10(a)所示，设两个电阻的伏安特性分别为，用表示此串联电路的一端口伏安特性。根据KCL和KVL，有将两个非线性电阻的伏安特性代入KVL方程有根据KCL可知，串联电路电流相等，所以有上式表明，其驱动点特性为一个电流控制型的非线性电阻，因此两个电流控制型非线性电阻串联后的等效电阻仍然是一个电流控制型的非线性电阻。 (a) (b)图12-10 非线性电阻串联从图解法的意义来看，两条伏安特性曲线上对应于同一电流坐标的两电压坐标逐点相加便可得到串联等效电阻的伏安特性曲线，图12-10(b)说明了这一分析方法。例如，当时，有，且。取

11、不同的电流时，可以逐点求出其等效伏安特性。由于许多非线性电阻的伏安特性是通过实验曲线来表示的，并没有确定的解析表达式，所以，通过图解法求等效电阻的伏安特性曲线的方法在实际工程应用中显得十分重要。上述在同一电流坐标上取电压相加而得到合成伏安特性的方法，可以推广到两个以上非线性电阻串联的情况。对于多个电阻元件相串联的情况，可以先合成两个串联电阻元件，然后以合成的特性再与第三个元件的伏安特性进行串联合成，依此类推。但是，若非线性电阻元件属于电压控制型，则串联合成的作图步骤就会更加复杂，并且合成后的控制类型也不一定再是电压控制型。12.3.2 非线性电阻电路的并联研究非线性电阻元件的并联电路时，首先考

12、虑两个电压控制型电阻元件的并联。通常情况下，很难得到并联一端口电路的等效伏安特性的解析表达式，但是用图解法却很容易得到等效非线性电阻的伏安特性曲线。 (a) (b)图12-11 非线性电阻并联图12-11(a)表示两个非线性电阻的并联电路。设两个非线性电阻均为电压控制型，其伏安特性分别表示为它们的伏安特性曲线如图12-11(b)所示。根据KCL和KVL有设并联电路组成的一端口的驱动点特性用来表示，综合以上各式，可得从上述分析可以看出，并联电阻电路一端口的驱动点特性是一个电压控制型非线性电阻。如果并联的非线性电阻中有一个不是电压控制型，就得不到以上解析表达式，只能用图解法求解，合成后的伏安特性如图12-11(b)所示。图解法也可以推广到两个以上非线性电阻元件并联的情况，分析过程与串联电路类似。特别是当非线性电阻元件混联连接时，一般先将并联元件合成，然后再串联合成，依此过程进行图解分析。12.3.3 负载线方法 (a) (b)图12-12 静态工作点许多电路经过一系列的等效变换后，常常可以归结为由线性电阻和直流电压源及一个非线性电阻构成的电路，如图12-12(a)所示。线性电阻和电压源的串联组合通常是一个线性一端口的戴维南等效电路。设非线性电阻