第二章 离散型随机变量

1、第二章 离散型随机变量2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1) (2) (3) (4)解 （1）是（2），所以它不是随机变量的分布列。（3）,所以它不是随机变量的分布列。（4）为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。2.2 设随机变量的分布列为：，求(1);(2) ； (3) 。解 (1) ;(2) ;(3) .2.3 解 设随机变量的分布列为。求的值。解 ，所以。2.4 随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。解 根据题意知，其中常数待定。由于，所以，即的分布列为，取正整数。2.5 一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，

2、求的分布列。解 设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为：2.6 设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。解 2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。解 2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。解，其中。2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解 设，表示第二名队员的投篮次数，则+；

3、。2.10 设随机变量服从普哇松分布，且，求。解。由于得（不合要求）。所以。2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解 设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，则。查普哇松分布的数值表，得。2.12 如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设为时间内通过交叉路口的汽车数，则 时，所以；时，因而。2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每

4、一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于214 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，查普哇松分布数值表，得。2.15 设二维随机变量的联合分布列为： 求边际分布列。解 。2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一

5、、二、三等品的件数分别为、，求的联合分布列与各自的边际分布列。解 ， ，； ，； ，。2.18 抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求的联合分布列及边际分布列。2.21 设随机变量与独立，且，又，定义，问取什么值时与独立？解=而，由得 2.22 设随机变量与独立，且，定义，证明两两独立，但不相互独立。 证明因为所以相互独立。同理与相互独立。但是，因而不相互独立。2.23设随机变量与独立，且只取值1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分（即不可能有。）证明 设。若，则 将（2）式减去（1）式，得：，于是。同理。因此，与（3）式矛盾。2.24 已

6、知随机变量的分布列为，求与的分布列。解 分布列为，；的分布列为，。2.25 已知离散型随机变量的分布列为，求的分布列。解 , , , 2.26 设离散型随机变量的分布列为： ， ：，且相互独立，求的分布列。解 2.27 设独立随机变量分别服从二项分布：与，求的分布列。解 设为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），而相互独立，所以为重贝努里试验中事件发生的次数，因而。2.28 设为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 求的分布列。解2.29 设随机变量具有分布：，求、及。解， +4+4=272.30设随机变量具有分布：，求及。解 ， 2.

7、31设离散型随机变量的分布列为：，问是否有数学期望？解 ，因为级数发散，所以没有数学期望。2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、10克，现有三组砝码： （甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克）问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？解 设、分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是

8、所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。 2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, 米的概率各是0.16，米的概率各是0.08，米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。解 设场地面积为，边长的误差为米，则且所以2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为、。试证发生故障的仪器数的数学+。证 令为发生故障的仪器数，则，所以+。2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，则的分布列为，因而。设为查得的不合格品数，则，所以。2.38 从数字0

9、，1，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解 设为所选两个数字之差的绝对值，则，于是。2.39 把数字任意在排成一列，如果数字恰好出现在第个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解 设则的分布列为：于是，设匹配数为，则，因而。2.40 设为取非负整数值的随机变量，证明：(1) ;(2) 证明 (1)由于存在，所以该级数绝对收敛。从而。(2) 存在，所以级数也绝对收敛，从而2.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解 设成功与失败均出现时的试验次数为，则，利用上题的结论，+=1+2.42 从一个装有个白球、个黑

10、球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解 略。2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是，问平均每批要检查多少件？解 略。2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率，当生产出个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设第个不合格出现后到第个不合格品出现时的产品数为，又在两次检修之间产品总数为，则因独立同分布，由此得：，。，。2.46 设随机变量与独立，且方差存在，则有（由此并可得）证明 2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为和：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在的条件下的分布列。解 (1) .(2) , 2.49 在次贝努里试验中，事件出现的