第五章非线性结构响应的数值分析

1、第五章 非线性结构响应的数值分析原理§5-1 线性加速度法这个方法的思路是，把整个振动过程分成很多个时间间隔，一般叫做步长，即一步一步地按照相同的程序算出，从而得到的整个时程值。现在，假定已选定了时间步长，并假设在某一步开始时的位移，速度和加速度都已算出。那么，为了计算以后的响应，我们假定在范围内加速度按直线规律变化如图5-1所示，这就是本方法命名的由来。这时，位移对时间的三阶导数应为常数，即图5-1 线性加速度 （5-1）现在把位移响应在时间开始时展成Taylor级数 （5-2a）由式（5-1），上式也可写成 （5-2b）这是由于假设加速度按线性变化，故三阶以上的导数为零。现在把式

2、（8-2b）对求导，则有 （5-3）当时，即时程从到了，按式（5-2b）及式（5-3），有或 （5-4a）或 （5-5a）由式（5-4a）可得 （5-5b）将上式代入式（5-5a）可得 （5-5b）从（5-5b）及式（5-4b）可以看出，速度增量及加速度增量都可以从位移增量算出。为了求，我们需要导出时间时的增量动平衡方程如下 （a） （b）式（a）中， （5-6）同时假定及在时段（）中不变，则由式（a）及（b）可得增量动平衡方程为 （5-7）将式（5-4b）及（5-5b）代入上式，可得把上式整理后，可得 （5-8）式中 （5-9a） （5-9b）式（5-8）相当于在时刻时的静力增量平衡关系。在

3、等效荷载和刚度项中包含惯性和阻尼项反映了动力特性。解方程式（5-8），得出位移增量后，再将此值代入式（5-5b）即可获得速度增量。于是下一时段开始时的位移及速度即可从这些增量值求得，即。重复以上的计算过程，就可算得各时刻的位移响应。由于计算需要知道开始时刻的加速度，这个加速度可从动平衡方程计算，即 （5-10）设时初始条件为，则由式（5-10），有 （5-11）于是可从式（5-8）求得开始时的第一个位移增量，从而可得，再从式（5-5b）可得，从而可得：。至于第一个加速度增量虽然可从式（5-4b）求得，但为了避免以后误差的积累，一般是从增量动平衡方程式（5-7）来计算的，即 （5-12）将式（5

4、-11）及（5-12）的计算结果相加，即得。在以上的数值分析过程中，包含了两个重要假定：（1）加速度为线性变化，（2）阻尼和刚度特性在时间步长内保持常量。一般来说，时间步长很短时误差甚小，但这两个假定毕竟都不是完全正确的。误差一般是在增量平衡关系中出现，而这些误差将会愈积愈多。为了避免这种误差的过多积累，所以在分析的每一步中，要利用总的动平衡条件，来计算时间步长起点处的加速度。此外，从上述的计算过程中可以看出，计算要利用时的动平衡方程，所以这种积分格式叫做稳式积分格式。正象任何数值积分方法一样，上述线性加速度法的精度取决于步长的大小。在选取步长的大小时，应该考虑下面的几个因素：(1)作用荷载的

5、变化速率；(2)非线性阻尼和刚度特性的复杂性；(3)结构的振动周期。为了可靠地反映这些因素，步长必须足够的短。一般说来，材料特性的变化不是关键的因素，但如果发现一个重大的突然变化，则可以在这种局部地方再细分时间步长来加以处理。因此，如果加荷过程比较简单，则步长的选取主要是取决于结构振动周期。线性加速度法是有条件稳定的，如果大于振动周期的一半左右，将会出现发散的解。为了使解有适当的精度，必须要短得多。根据经验，如果，则可获得可靠的结果。如果对解出的结果有所怀疑，则可进行第二次计算，这时可选取第一次计算时步长的一半。如果第二次计算没有明显的变化，就可以认为计算结果的误差是可忽略不计的。§

6、5-2 Wilson-法Wilson-法是一种目前认为精度较好、常用的无条件稳定数值积分法。这个方法实际上是上述线性加速度法的一种修正形式。它的基本假定仍然是加速度按线性变化且其范围延伸到时间步长之外： （5-13）显然，当=1时，这个方法就化为标准的线性加速度法，但这只是有条件稳定的。图5-2表示了Wilson-法的基本假设。图5-2 Wilson-法的基本假设和式（5-4a）和式（5-5a）相似，在这里也可以得到相应的关系：（5-14）式中表示对应于时间步长的增量。和式（5-8）及（5-9）相对应，在这里也有 （5-15）式中 （5-16a） （5-16b）从增量平衡关系式（5-15）即可

7、算出。再将代入下式（与式（5-4b）相似）， （5-17）即可算得。于是，对于正常步长的加速度增量为或 （5-18）将式（5-14）中的换成，换成由式（5-18）算出的，即可得到对于正常时间步长的位移增量和速度增量，根据这些结果，对于下一步长的起始条件为 （5-19）将上述过程反复逐步进行计算，即可得到结构位移响应的时程曲线。不言而喻，Wilson-法也是稳式的积分格式。§5-3 关于数值积分的精度问题逐步积分法的稳定性是一个很重要的问题，因为当分析一个复杂的结构体系时，必须要用无条件稳定的积分格式，否则的话，为了保持动态响应高频分量的稳定性，时间步长取得太大，这时即使高频动态输入是

8、可以忽略的，但由于积分格式是有条件稳定的原因，结果将会造成高频分量的响应会无限制地增长（/ ，从而使随增大而不收敛），使得整个分析没有意义。当然，积分的精度是与步长大小有关的，但当用无条件积分格式计算时，只要考虑起较大影响的激振输入频率来选定时间步长而不考虑影响不大的高频分量，这就是无条件稳定格式的优越性所在之处。一般说来，数值积分的精度总是取决于荷载情况、结构体系的动态特性以及所选取时间步长的大小。下面用Wilson-法来计算单自由度体系的无阻尼自由振动响应，就可看出它的精度如何。假定初值问题是由下式定义的： （5-20）这个初值问题的精确解为。如果用Wilson-法（或其他数值积分）来求解

9、上述问题，则会发现数值计算结果的不准确性可用两种效应来表示，即（1）振动周期的增大（用百分比来表示）和（2）振幅的衰减（用振幅衰减的百分比来表示）。这第二个效应相当于人为地加了阻尼进去。图5-3和图5-4分别给出用Wilson-法计算由式（5-20）所定义的问题时所出现的上述两种效应，并以和作为参数，给以步长比作为自变数的函数关系曲线。从图8-8和图8-9可以看出，对于一个给定的步长比，按算出的结果要比按算出的结果来得精确。当时，误差可以忽略，但当时，误差就很大，单自由度体系当其阻尼比为1.2%时引起的振幅衰减为7%。因此，从图8-9也可以表图8-8 周期增长，Wilson-法图8-9 振幅衰减，Wilson-法明，当时，所引入的人为虚假阻尼比小于1.2%（）。在分析大型复杂结构系统时，必须根据上述逐步积分中的固有误差来选定时间步长。实际上，由积分引起的振幅衰减等于人为地过滤掉高阶振型的影响，而高阶振型本来就没有太大的意义，所以振