第二章 随机变量及其分布

1、第二章 随机变量及其分布§2.1 随机变量及其分布内容概要1随机变量 定义在样本空间上的实数函数称为随机变量。（1） 仅取有限个或可列个值的随机变量称为离散随机变量；（2） 取值充满某个区间(a，b)的随机变量称为连续随机变量，这里a可为，可为。2分布函数 设X是一个随机变量，对任意实数x，称为X的分布函数，记为。分布函数具有如下三条基本性质：(1)单调性 F(x)是单调非减函数，即对任意的，有。(2)有界性 对任意的x，有，且， 。(3)右连续性 F(x)是x的右连续函数，即对任意的，有， 即 。反之，可以证明：具有上述三条性质的函数F(x)一定是某一个随机变量的分布函数。3离散随

2、机变量的概率分布列 若离散随机变量X的可能取值是 ，则称X取的概率为X的概率分布列，简称分布列。分布列也可用列表方式来表示： 分布列具有如下两条基本性质：(1)非负性：；(2) 正则性：离散随机变量X的分布函数为，它是有限级或可列无限级阶梯函数，离散随机变量X取值于区间(a,b上的概率为。常数c可看作仅取一个值的随机变量X，即，它的分布常称为单点分布或退化分布。4连续随机变量的概率密度函数 记连续随机变量X的分布函数为F(x)，若存在一个非负可积函数 p(x),使得对任意实数x ,有，则称p(x)为X的概率密度函数，简称密度函数。密度函数p(x) 具有如下两条基本性质：(1) 非负性： ； (

3、2) 正则性：连续随机变量X的分布函数F(x)是上的连续函数，它可能在有限个点或可列个点上不可导，除此以外，有。连续随机变量X仅取一点值的概率恒为零，从而有这给计算带来很大方便。连续随机变量X的密度函数不唯一，但它们必几乎处处相等，即它们不相等处的点组成的集合的概率为零。5分布在离散场合可以是分布列或分布函数，这时称为离散函数；在连续场合可以是密度函数或分布函数，这时称为连续分布。常用的是这两类分布，但还存在既非离散又非连续的分布。6设随机变量X的分布函数为F(x)，则可用F( x)表示下列概率：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 习题与解答2.11. 口袋中有5个球，编号为1，2

4、，3，4，5从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码。(1)试求X的分布列；(2)写出X的分布列函数，并作图。解 (1) 从5个球中任取3个，共有种可能取法。X为取出的3个球中的最大号码，则X的可能取值为 3，4，5。因为，且当i ³3时，有，所以所以X的分布列为(2)由分布函数的定义知F(x)的图形如图2.1。2. 一颗骰子抛两次，以X表示两次中所得的最小点数。(1) 试求X的分布列； (2) 写出X的分布函数。解 (1) 一颗骰子抛两次，共有36种等可能的结果。X表示两次中所得的最小点数，则X的可能取值为1，2，3，4，5，6。由确定概率的古典方法得 将以上计算结果列表为

5、X123456P11/369/367/365/363/361/36(2) 由分布函数的定义知3口袋中有7个白球，3个黑球。(1) 每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X的分布列；(2) 如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时X的概率分布列如何。解 X为首次取到白球的取球次数，则X的可能取值为1，2，3，4。记为“第i 次取出的球为黑球”，i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.(1) 由乘法公式可得P(X=1)=P =将计算结果列表为X1234P7/107/307/1201/120(2) 如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，则由乘法公式得P(X=1)=P

6、 = 将以上计算结果列表为 X1234P7/106/2527/5003/5004. 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球，4个黑球；第二个盒子装有2个白球，3个黑球；第三个盒子装有3个白球，2个黑球。现任取3个球。以X表示取到的白球数.(1) 试求X的概率分布列; (2) 取到的白球不少于2个的概率是多少?解: (1)记为“取到第i个盒子”，i=1,2,3.由全概率公式得将以上计算结果列表为X0123P1/61/23/101/30(2)5. 一批产品工有100件，其中10件是不合格品.根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检测，假如5件中无不合格品，则这批产品被接收，否则就要重新对这批产品逐个检

7、验.（1） 试求5件产品中不合格数X的分布列；（2） 需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？解 (1) X的分布列为: (2) “需要对这批产品进行逐个检验”则意味着“检验5个产品，至少有一个不合格品”，因此所求概率为6. 设随机变量X的分布函数为试求X的概率分布列及解 X的概率分布列为 X0136P1/41/121/61/27设随机变量X的分布函数为 试求:解 这里X是连续随机变量，所求概率分别为，8若其中试求解 9从1，2，3，4，5 五个数中任取三个，按大小排列记为令试求:(1) X的分布函数；(2) 及解 (1) 因为X的分布列为 所以X的分布函数(2) .-11Op(x)x图2.2

8、10. 设随机变量X的密度函数为 试求X的分布函数.解 由于密度函数在上分为四段(如图2.2)，所以其分布函数也要分四段设立，具体如下：当时，；当时，当时，；当时，.综上所述，X的分布函数为.O21p(x)x图2.311. 如果X 的密度函数是 试求P().解 因为密度P(x)的图形如图2.3.因此所求概率为 .12. 设随机变量X的密度函数为 , 试求 (1)系数A; (2) X落在区间内的概率.解 (1) 因为 由此解得A=1/2.所求概率为：.13. 设连续随机变量X的分布函数为试求: (1) 系数A;(2) X落在区间(0.3,0.7)内的概率; (3) X的密度函数.解 (1 ) 由

9、F(x) 的连续性,有由此解得A=1.(2)(3) X的密度函数(如图2.4)为:14. 学生完成一道作业的时间X是一个随机变量,单位为小时,它的密度函数为(1) 确定常数c;(2) 写出X的分布函数;(3) 试求在20min内完成一道作业的概率；(4) 试求10min以上完成一道作业的概率。解：(1)因为由此解得c=21.(2)当x<0时,; 当时，； 当x>0.5时，。所以X的分布函数为 (3)所求概率为 。 (4)所求概率为 。 15. 设随机变量X和Y同分布，X的密度函数为已知事件和独立，且，求常数 a。解：由同分布可得P(A)=P(B),从而，由此解得P(A)=0.5，进

10、而由,解得 。注：随机变量X与Y同分布，并不意味着X=Y，反之成立，即X=Y，则X与Y同分布。16. 设连续随机变量X的密度函数p(x)是一个偶函数，F(x)为X的分布函数，求证对任意实数a>0，有(1)；(2)；(3)。证：因为是一个偶函数，所以，且从，可得 。(1) 在中令x=-t，则，所以 。(2).(3)。17. 设连续随机变量 X的密度函数关于c点是对称的，证明：其分布函数有 。证：有关于 c点对称的，知，。由 ，对上式右端积分作变量变换，则,再对上式右端积分作变量变换，则。c-xOp(x)F(x)图2.5cc+xxxOc-xcc+xF(c-x)1F(c+x)F(c)结论得证。

11、对称分布函数的这个性质可用图2.5表示18 设与都是分布函数，又是两个正常数，且。证明：也是一个分布函数。证：为此要验证具有分布函数的三个基本性质。 (1)单调性，因为都是分布函数，故当时，有，于是(2)有界性. 对任意的x，有0，且(3)右连续性. 讨论:若取又令 F(x)10.5O1x图2.6由此可得与的凸组合的分布函数为(如图2.6)显然,F(x)不是连续函数,故F(x)对应的随机变量不是连续随机变量.又因为不是阶梯函数,故对应的随机变量不是离散随机变量.用上述凸组合方法可以构造很多非离散又非连续的随机变量及分布函数.§2.2 随机变量的数学期望内容概要1. 数学期望 设随机变

12、量X的分布用分布列或用密度函数p(x)表示，若 则称为X的数学期望，简称期望或均值，且称X的数学期望存在.否则称数学期望不存在.数学期望是由分布决定的,它是分布的位置特征.只要两个随机变量同分布,则其数学期望总是相等的.假如把概率看作质量、分布看作某物体的质量分布,那么数学期望就是该物体的重心位置.2. 数学期望的性质 以下所涉及的数学期望均假定其存在.(1) X的某一函数 g(X)的数学期望为(2) 若c是常数,则E(c)=c;(3) 对任意常数a,有E(aX)=aE(X);(4) 对任意的两个函数和,有习题与解答2.21. 离散型随机变量X的分布列为X-2 0 2P0.4 0.3 0.3试

13、求E(X)和E(3X+5).解 E(X)=E(3X+5)=2. 某服装店根据历年资料得知：一位顾客在商店购买服装的件数X的分布列为X012345P0.100.330.310.130.090.04 试求顾客在商店平均购买服装的件数解 E (X) =3. 某地区一个月内发生重大交通事故数X服从如下分布X0123456P0.3010.3620.2160.0870.0260.0060.002试求该地区发生重大交通事故的月平均数解 E(X)= 4. 一海运船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中5桶被海水污染了。若从中随机抽取8桶，记X为8桶中被污染的桶数 ，试求X的分布列，并求E(X).解

14、因为 X的可能取值为且将计算结果列表为X012345P0.05110.22540.39730.23840.05420.0036由此得5. 用天平称某物品的质量(砝码仅允许防在一个盘中)，现有三组砝码；(甲)1，2，2，5，10，(g);(乙)1,2,3,4,10(g);(丙)1,2,5,10(g)，称重时 只能使用一组砝码。问：当物品的质量为概率是相同的，用哪一组砝码称重用的平均砝码最少？解 分别用X，Y，Z表示甲乙丙三组砝码称重时所用的砝码数。、（1） 用甲组砝码称重时，一个砝码可称4种物品2个砝码可称4种物品三个砝码可称2种物品所以X的分布列为 X123P4/104/102/10因此平均所

15、用砝码数为：（2） 用甲组砝码称重时，一个砝码可称5种物品( .4,10(g);2个砝码可称3种物品(5,6,7(g);3个砝码可称2种物品(所以Y的分布列为X123P5/103/102/10因此平均所用砝码数为：（3） 用甲组砝码称重时，一个砝码可称4种物品2个砝码可称3种物品(3,6,7(g);3个砝码可称2种物品(4,8(g);4个砝码可称一种物品(9(g);所以Z的分布列为 X1234P4/103/102/101/10因此平均所用砝码数为： 所以乙组砝码称重时，所用的平均砝码数最少。6 .假设有十只同种电器元件，其中两只不合格品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则仍掉重

16、新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望。 解 记Ai为“第i次取出的是合格品”，i= 1,2,3.随机变量X为“取到合格品之前，已取出的不合格品数.”。则7 对一批产品进行检查，如查到第件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格。设产品的数量很大，可认为每次查到不合格品的概率都是。问这批产品平均要查多少件?解 设每批要查X件,记则X的分布列为 X123¼所以 E(X)= =8. 某厂推土机发生故障后的维修时间T是一个随机变量(单位：)，其密度函数为 ，试求平均维修时间。解： 9 某

17、新产品在未来市场上的占有率X是仅在区间(0，1)上取值的随机变量，它的密度函数为 ，试求平均市场占有率。解 这里平均市场占有率就是E(X)。E(X)= =2-4+3-=.10. 设变量X的密度函数为： ，试求E(2X+5).解 因为 E(X)=所以E(2X+5)=7.11. 设随即变量X的分布函数如下,试求E(X).p(x)xO图2.711/41/2F(X)=解 X的密度函数(如图2.7)为所以E(X)=12 某工程队完成某项工程的时间X(单位：月)是一个随机变量，它的分布列为X10111213P0.40.30.20.1(1) 试求该工程队完成此项工程的平均月数；(2) 设该工程队所获利润为Y

18、=50(13-X)(万元)。试求工程队的平均利润；(3) 若该工程队调整安排，完成该项工程的时间(单位：月)的分布列为X1101112P0.50.40.1则其平均利润可增加多少？解 (1)该工程队完成此项工程平均需11个月。(2)该工程队所获平均利润为100万元。(3)调整安排后，所以平均利润为，由此得平均利润可增加120-100=20(万元)。13设随机变量X的概率密度函数为 ,对X独立事件重复观察4次，Y表示观察值大于的次数，求的数学期望解 因为事件“观察值大于”可用X>表示，从而而Y的分布列为 所以 14设随机变量X的密度函数为试求的数学期望。解: 15. 设X为仅取非负整数的离散

19、随机变量，若其数学期望存在，证明证 由于存在，所以该级数绝对收敛，从而有 =16设随机变量X的分布函数为F(x)，且数学期望存在，证明证 将第一个积分改写为二重积分,然后改变积分次序，得第二个积分可改写为二重积分，然后改变积分次序，得这两个积分之和恰好是所要求证明的等式。17甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为p，乙胜的概率为q=1-p，比赛进行到有一人连胜两局为止，求平均比赛局数。解 设X为决胜负所需的局数，X可取2,3,4,等正整数值，事件“”表示到第k-1局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以利用15题提供的公式，可得又因为对任意的p(0<p<1)总有p(1-p),故

20、 ,这表明：这种象棋比赛决定最终胜负的平均局数不超过3局，它在两选手势均力敌(P=1/2)时达到上界。18设随机变量X的分布函数为F(x)=试求E(x).解 利用16题提供的公式，可得 E(x)= .=§2.3 随机变量的方差与标准差内容提要1方差 称随机变量X对期望E(X)的偏差平方的数学期望(设其存在)为X的方差，称方差的正平方根为X的标准差方差是由分布决定的，它上分布的散度特征，方差愈大，分布愈分散；方差愈小，分布愈集中。标准差与方差的功能相似，只是纲领不同。2. 方差的性质 以下所涉及的方差均假设其存在。(1)(2)若c是常数，则(3)若ab是常数，则(4)若随机变量X的方差

21、存在，则的充要条件是X几乎处处为某个常数a，即3. 切比雪夫不等式 设的数学期望和方差都存在，则对任意常数 有 或 切比雪夫不等式给出随机变量取值的大偏差(指事件)发生概率的上限，该上限与分布的方差成正比。4. 随机变量的标准化 对任意随机变量X如果X的数学期望和方差存在，则称为X的标准化随机变量，此时习题与解答2.31设随机变量X满足，已知， 试求.解：由，及题设条得，从中解得2假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品。装配仪器时，从这批元件中任取一件，如是不合格品，则扔掉重新任意取一只；如仍是不合格品，则仍掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差。解 记X为取到合格品

22、之前，已取出的不合格品数，则X分布列为X012P8/1016/902/90由此得 3. 已知，求解 4. 设随机变量X的分布函数为，试求Var(X).解 X的密度函数()为所以由此得 5. 设随机变量X的密度函数为 ，试求Var(3X+2). 解 因为所以由此得Var(3x+2)=9Var(X)=1.5.6. 试证：对任意的常数有证 由于,所以由此得 7. 设随机变量X仅在区间 a,b 上取值，试证, .证 仅对连续随机变量X加以证明。设p(x)为X的密度函数，因为同理可证：。由上题结论知注：此命题表明有界随机变量的数学期望和方差总是存在的。证2设随机变量X的分布函数为F(x)，则同理可证：。

23、由上题结论知8. 设随机变量X取值的概率分别是，.证明证 仿上题有。9. 设g(x )为随机变量X取值的集合上非负不减函数，且E(g(X)存在，证明：对任意 >0,有 ：证 仅对连续随机变量X加以证明。记p(x)为X的密度函数，则注：此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大：第一次放大被积函数；第二次放大积分区间证2设随机变量X的分布函数为F(x)，则10. 设X为非负随机变量，a>0若存在，证明 ：对任意的x>0，有证 因为当a>0时，g(x)= 是非负不减函数，所以由上题即可得结论，11. 已知正常成年男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×，标准差是0.7

24、×。试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×至9.4×之间的概率的下界。解 记X为正常成年男性每升血液中的白细胞数，由题设条件知E(X)=7.3，s (X)=0.7×，所以由切比雪夫不等式P(5.2<X<)=P(<2.1)=1-=.12. 设X为非负连续随机变量，证明：对x0,有：P(X<x)证设X的密度函数为p(x),则有13. 向 ABC中随机投掷一点P,求P点到AB的距离X的数学期望，方差与标准差. 解 先求X的分布函数.作ABC的高CD,记CD的长度为h (如图2.8) 设X的分布函数为F(x), 则当x&l

25、t;0时，有F(x)=0；当xh时，有F(x)=1；而当时，为了求概率，作EFAB，使EF与AB间的距离为x. 利用确定概率的几何方法,可得：FCEXhBADP图2.8综上可得 由此得X的密度函数为故X与的数学期望为 从而得X的方差与标准差分别为 (X)=14设X为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：证 由于Var(X)存在，所以级数绝对收敛，从而有其中 代回原式即得证.§ 2.4 常用离散分布内容概要1. 二项分布(1)若X的概率分布列为 则称X服从二项分布，记为,其中0<p<1.(2) 背景：n重伯努利试验中成功的次数X服从二项分布,其中p为一次伯努利试验中成功

26、发生的概率.(3) n=1时的二项分布称为二点分布，或称分布.因为当时，X可表示一次伯努利试验中成功的次数，它只能取值0或1.(4) 二项分布b()的数学期望和方差分别是E(X)= (X)=(1-p).(5) 若(),则Y=n-(n,1-p),其中Y=n-X是n重伯努利试验失败的次数。 2泊松分布(1)若X的概率分布列为 (X=k)=k=0,1,则称X服从泊松分布，记为XP()，其中参数。(2)背景：单位时间(或单位面积、单位产品等)上某稀有事件(这里稀有事件是指不经常发生的事件)发生的次数常服从泊松分布P()，其中为该稀有事件发生的强度。(3)泊松分布P()的数学期望和方差分别是 E(X)=

27、，(X)=.(4) 二项分布的泊松近似(泊松定理)在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验中发生的概率为(与试验次数n无关)，如果当n时，有，则3超几何分布(1)若X的概率分布列为P(X=k)= k=0,1,则称X服从超几何分布，记为其中r=min,且M£N, 均为正整数。(2)背景：设有N个产品，其中有M个不合格产品。若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品的个数X服从超几何分布。(3)超几何分布的数学期望和方差分别是E(X)= (4) 超几何分布的二项近似 当时，超几何分布可用二项分布近似，即 其中(5) 实际应用中，在不返回抽样时，常用超几何分布描述抽出样品中不合格品数的

28、分布；在返回抽样时，常用二项分布描述抽出样品中不合格品数的分布；当批量N较大，而抽出样品数n较小时，不返回抽样可近似看作返回抽样。4几何分布(1)若X的概率分布列为P(X=k)=(1-p) k=1,2,则称X服从几何分布，记为其中0<p<1.(2) 背景：在伯努利试验序列中，事件A首次出现时的试验次数X服从几何分布其中p为每次试验中事件A发生的概率。(3)几何分 布的数学期望和方差分别是 E(X)= (4)几何分布的无记忆性：若则对任意正整数m与n有5负二项分布(1) 若X的概率分布列为 则称X服从负二项分布或巴斯卡分布，记为其中r为正整数，0<p<1.(2) 背景：在

29、伯努利试验序列中，事件A第r次出现时的试验次数X服从负二项分布其中p为每次试验中事件A发生的概率。(3) r=1时的负二项分布为几何分布，即(4) 负二项分布的数学期望和方差分别是 (5) 负二项分布的随机变量可以表示成r个独立同分布的几何分布随机变量之和，即若 其中是相互独立、服从几何分布的随机变量。用图形表示如图2.9，图“1”表示A，“0”表示图2.9这里的随机变量间的相互独立是一个变量的取值不影响其他变量的取值，详见§3.26.常用离散分布表 名称与记号分布列期望方差0-1分布二项分布泊松分布超几何分布几何分布负二项分布习题与解答2.41. 一批产品中有10%的不合格产品，现

30、在从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率。解 记X为取出的3件产品中的不合格品数，则(3,0.1),所求概率为 2. 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8，现检查五件，求至少有2件一级品的概率。解 记X为检查5件产品中的一级品数，则X，所求概率为3. 某射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3。试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率。解 记X为三次射击中命中10环的次数，则因为“所得的环数不少于29环”相当于“射击三次至少二次命中10环”，故所求概率为4. 经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%，如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来

31、到餐厅而没有座位的概率是多少？解 记X为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则因为“顾客来到餐厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为，5. 设随机变量已知求两个参数与各为多少？解 从和中解得6. 设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布.若，试求. 解 从 中解得.由此得.7. 一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品.分别用以下方法求拒收的概率：(1)用二项分布作精确计算；(2)用泊松分布作近似计算.解 记为抽取的40件产品中的不合格品数，则.而“拒收”旧相当于“”（1） 拒收的概率为.（2） 因为

32、，所以用泊松分布作近似计算，可得近似值为.可见近似值与精确值相差0.0007，近似效果较好.8. 设服从泊松分布，且已知，求.解 由D得，从中解得，由此得.9. 已知某商场一天来得顾客数服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为的泊松分布.证 用表示商场每一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数有这表明：Y服从参数为的泊松分布。10从一个装有m个白球、n个黑球的袋中进行有返回的摸球，直到摸到白球停止。试求取出黑球数的期望。解 令X为取到白球时已取到的黑球数，则Y=X+1服从几何分布Ge(m/(n+m)，所以E(Y)=(n+m)/m

33、=n/m+1，由此得E(X)=E(Y)。11. 某种产品上的缺陷X服从下列分布列： 求此种产品上的平均缺陷数。解 因为服从几何分布，所以，由此得.12. 设随机变量X的密度函数为 ,以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，试求.解 因为，其中，所以.13. 某产品的不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检验，若发现其中不合格品数多于1，就去调整设备。若检验员每天检查4次，试问每天平均要调整几次设备。解 令X为每次检验中不合格的个数，则Xb(10,0.1)，而调整设备的概率为P(X>1)=0.2639。又记Y为每天调整设备的次数，则Yb(4,0.2639)，所以平均每天调整次数

34、为E(Y)=40.2639=1.0556。14. 掷一枚不均匀硬币，一直掷到正、反面都出现为止。记出现正面的概率为p(0<p<1)，试求平均抛掷次数。解 记X为直到正、反面都出现时的抛掷次数，则X可取值，且有,可以验证：这是一个分布列.由此得的数学期望为 从上式中可以看出：与时的平均抛掷次数是一样的，都为91/9；与时的抛掷次数是一样的，都为21/4；而越接近于0.5时，越小；若，即掷一枚均匀硬币，则直至正、反面都出现的平均抛掷次数是3。15设某商店中每月销售某产品的数量X服从参数为7的泊松分布。问在月初应进货多少件，才能保证当月不脱销的概率不小于0.90。解 用k表示在月初进货商

35、品的件数，则由题意知k应满足如下不等式查泊松分布表中数值知, 故应在月初至少进10件，才能保证当月不脱销的概率不小于0.90。16一本500页的书共有500个错误，若每个错误等可能的出现在每一页上(每一页上至少有500个印刷符号)。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 设X为指定一页上错误的个数，则，且。所求的概率为利用二项分布的泊松近似，取，于是上述概率的近似值为17 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？解 设每箱装件产品，则每箱中的不合格品数服从二项分布.根据题意要求，使小于等于的概率至少

36、为0.9，即，也就是求满足下述不等式的在此，较大，可用二项分布的泊松近似，得于是上式可改写为: 查泊松分布表得 故取k=5是恰当的，即每箱中装105件产品可使每箱中至少有100件合格品的概率不小于0.9. 18. 设X是只取自然数为值的离散随机变量.若X的分布具有无记忆性,即对任意自然数n与m，都有: 则X的分布一定是几何分布.证 由无记忆性知或 若把n换成n-1仍有: 上两式相减可得若取n=m=1，并设，则有 若取n=2,m=1,可得 若令，则由归纳法可推得这表明X的分布就是几何分布. §2.5 常用连续分布 内容概要1.正态分布(1)若X的密度函数和分布函数(如图2.10)分别为

37、则称X服从正态分布，记作 ，其中参数 (2)背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量(服从正态分布的变量).测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布.(3) 关于参数：· 是正态分布的数学期望，即，称为正态参数的位置参数.· 是正态分布的对称中心，在的左侧和下的面积为0.5；在的右侧和的面积也为0.5，所以也是正态分布的中位数(见后面2.7).· 若 则在离愈近取值的可能性愈大，离愈远取值的可能性愈小.关于参数· 是正态分布

38、的方差，即· 是正态分布的标准差，愈小，正态分布愈集中；愈大，正态分布愈分散.又称为正态分布的尺度参数.· 若，则其密度函数在处有两个拐点.(4) 称时的正态分布为标准正态分布.记U为标准变量，和为标准正态分布的密度函数.和分布函数.和满足：(a) ; (b) .(5) 标准化变换：若，则，其中称为的标准化变换.(6) 若XN(a,s 2)，则对任意实数a与b，有 (7) 正态分布的3原则：设X N(),则P()=2.均匀分布（1） 若X的密度函数和分布函数(如图2.11)分别为 1/(b-a)xbaOp(x)1xbaOF(x)(a) 密度函数p(x)(b) 分布函数F(x

39、)图 2.11则称服从区间(a,b)上的均匀分布，记作XU(a,b). (2) 背景：向区间(a,b)随机投点，落点坐标X一定服从均匀分布U(a,b).这里“随机投点”是指：点落在任意相等长度的小区间上的可能性是相等的。(3) 均匀分布U(a,b)的数学期望和方差分别是 (4) 称区间(0,1)上的均匀分布U(0,1)为标准均匀分布，它是导出其他分布随机数的桥梁。3. 指数分布（1） 若的密度函数(如图2.12)和分布函数分别为 则称X服从指数分布，记作XExp()，其中参数 (2) 背景：若一个元器件(或一台设备，或一个系统)遇到外来冲击是即告失效，则首次冲击来到的时间X(寿命)服从指数分布

40、，很多产品的寿命可认为服从或近似服从指数分布。(3) 指数分布Exp()的数学期望和方差分别为 (4) 指数分布的无记忆性：若XExp(),则对任意s>0,t>0,有4伽玛分布(1)伽玛函数 称为伽玛函数，其中参数.伽玛函数具有如下性质：(a) (b) ；(c) ；(d)(2) 伽玛分布 若X的密度函数(如图2.13)为则称X从伽玛分布，记作XGa(),其中为形状参数，为尺度参数。p(x)a<1a >1a=1(a-1)/la-1)/lp(x)p(x)1<a£2a>2xxxOOO图2.13(3) 背景：若一个元器件(或一台设备，或一个系统)能抵挡一些

41、外来冲击，但遇到第k次冲击时即告失败，则第k次冲击来到的时间X(寿命)服从形状参数为k的伽玛分布Ga(k,)(4) 伽玛分布Ga()的数学期望和方差分别为 (5) 伽玛分布的两个特例：(a) 时的伽玛分布就是指数分布，即Ga(1,)=.(b) 称时的伽玛分布为自由度为n的(卡方)分布，记为其密度函数为c2(n)分布的期望和方差分别为 (6) 若形状参数为整数 k,则伽玛变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和，即若XGa(k,), 则X=其中是相互独立且都服从指数分布Exp()的随机变量，见图2.14，其中“表示冲出来到的时间。´´´X图2.14X1X2Xk5.

42、贝塔分布(1) 贝塔函数 称B(a,b)= 为贝塔函数，其中参数a>0,b>0.贝塔函数具有如下性质：(a)B(a,b)=B(b,a); (b) B(a,b)= .(2)贝塔分布 若X的密度函数(如图2.15)为则称X服从贝塔分布，记作XBe(a,b),其中a>0,b>0都是形状参数。(3) 背景：很多比率，如产品的不合格率，机器的维修率，某商品的市场占有率，射击的命中率等都是在区间(0，1)上取值的随机变量，贝塔分布Be(a,b)可供描述这些随机变量之用，而在应用中，可调节a与b以适应实际中的要求。(4) 贝塔分布Be(a,b)的数学期望和方差分别为 (5) a=b=

43、1 时的贝塔分布就是区间(0，1)上的均匀分布，即Be(1,1)=U(0,1).a>1b>1Ox1x21xa<1b³1x1p(x)Op(x)O1xO1xp(x)图2.15p(x)a<1b<1a³1b<1a=1b>1a>1b=1a=1b=16.常用连续分布表 名称与记号密度函数期望方差正态分布均匀分布U(a,b)指数分布伽玛分布分布n2n贝塔分布Be(a，b)习题与答案2.51 设随机变量X服从区间(2，5)上的均匀分布，求对X进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率为解 在一次观测中，观测值大于3的概率为 2. 3.

44、设K服从(1,6)上的均匀分布,求方程x2+Kx+1=0有实根的概率解: 方程x2+Kx+1=0有实根的的充要条件是6. 设某种商品每周的需求量X服从区间(10,30)上的均匀分布,而商店进货数为(10,30)中的某一整数,商店每销售1单位商品获利500元;若供大于求则削价处理,每处理1单位商品则亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商店获利的期望值不少于9280元,市确定最少进货量.解: 设进货量为a,则利润为=所以平均利润为根据题意要求有解得因此最少进货为21单位.7. 已知 XExp(),试在=0.1下求.解 8. 统计调查表明,英格兰在187

45、5年至1951年期间,在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T(以日计)服从均值为241的指数分布,试求P(50<T<100).解 P(50<T<100)=F(100)-F(50)=9. 若一次电话通话时间X(单位:min)服从参数为0.25的指数分布，试求一次通话的平均时间.解 因为X E(X)=1/=1/0.25=4(min),10. 某种设备的使用寿命X(以年计)服从指数分布，其平均寿命为4年，制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换，如果设备制造厂每售出一台设备赢利100元，而调换一台设备制造厂需花费300元。试求每台设备的

46、平均利润。解 令Y=即Y是一台设备在使用一年之内的损坏的台数，显然Y b(1,p), 其中p=P(设备在使用一年之内损坏)=P(X1)=因为每台设备的利润率为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为E(Z)=100-300E(Y)=100-3000.2212=33.64(元)11. 设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间X(以min计)服从指数分布，其密度函数为某顾客在窗口等服务，若超过10min，他就离开。他一个月到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求P(Y)。解 因为Yb(5，p)，其中所以得P(Y³1)=1-P(Y=0)=12.某仪器装了3个独立工作

47、的同型号电子元件，其(单位：h)都服从同一指数分布，密度函数为p(x)=试求：此仪器在最初使用的200h内，至少有一个此种电子元件损坏的概率。解 设Y为仪器在最初使用的200h内损坏的元件个数，则Yb(3，p)，其中p=所以至少有一个电子元件的概率为P(Y)=1-P(Y=0)=1-(1-p)=1-1-(1-e)=1-e=0.632113. 设随机变量X的密度函数为p(x)=试求k，使得P(X)=0.5。解 因为0.5=P(X)=e，由此解得k=ln2/。14设随机变量X的密度函数为p(x)=若P(X)=2/3，试求k的取值范围。图2.16O136x1/31y解 由题设条件2/3=P(X

48、9;k)=1-P(X<k)，知F(k)=1/3。又由p(x)得分布函数如下F(x)=F(x)的图形如图2.16,由此得1k3。15. 写出以下正态分布的均值和标准差.,解 对有,所以的平均值.对有,所以 的均值,对有,所以的均值,标准差.16.某地区18岁女青年的血压(收缩压,以mm-Hg计)服从N(110，122).试求该地区18岁青年的血压在100至120的可能性有多大?解 P(100<X<120)= =2其中是用内插法得到的。17某地区成年男子体重X(kg)服从正态分布N().若已知P(X)=0.5,P(X)=0.25.(1) 求与各为多少？ (2) 若在这个地区随机地

49、选出5名成年男子,问其中至少有两人体重超过65kg的概率是多少？解 (1) 由0.5=P(X)=.知 ,由此解得=70. 又由0.25=P(X60)=即0.75=查表知10/=0.675，由此解得。(2)记Y为选出的5名成年男子中体重超过65kg的人数，则Yb(5,p),其中p=P(X>65)=,所以5名中至少有两人体重超过65kg的概率为P(Y)=1-0.367618. 由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从正态分布N(10.05,0.06)，若规定长度在范围10.05内为合格品，求螺栓不合格的概率.解 记螺栓的长度为X，则P( 螺栓不合格)=1-P(10.05-0.12X10.050.

50、12) =2-219. 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似地服从=72的正态分布，已知96分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率。解 记X为考生的外语成绩，由题设条件XN(72,)，其中未知，但由题设条件知：0.023=P(X>96)=1- 即因此查表知24/=2，由此解得=12，从而得XN(72，12)由此所求概率为P(60<X<84)=220. 设XN(3,2),(1)求P(2<X5)；(2)求P();(3)确定c使得P(X>c)=P(X<c).解 (1)P(2<X(2) P()=P(X>2+P

51、(X<-2)=1-)=.(3) 因为1=P(X>2)+P(X<c),所以由题设条件P(X>c)=P(X<c)得P(X<c)=0.5,进而有(c-3)/2=0,由此得c=3.21设 XN(4,32), (1) 求 P(-2<X£10)；(2) 求 P(X>3)；(3) 设d 满足 P(X>d)³0.9, 问 d 至多为多少？解 (1)(2) (3) 22. 测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X(m) 具有密度函数p(x)=e,-求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率。解 记Y为三次测量中误差的绝对值不超过30m的次数，则Yb(3,p),其中p为“一次测量中误差的绝对值不超过30m”的概率，由XN(20,40)，可知p=P(-3030)=所以“三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m”的概率为P(Y³)=1-P(Y=0)=1-(1-p)=1-0.5069=0.8698.23. 从甲地飞往乙地的航班，每天上午10：10起飞，飞行时间服从均值是4h，标准差是20min的正态分布。(1) 该机在下午2：30以后到达乙地的概率是多少？(2) 该机在下午2：20以前到达乙地的概率是多少？(3) 该机在下午1：50至2：30之间到达乙地的概率是多