程序编制中的数学处理--非圆曲线节点的计算

1、程序编制中的数学处理非圆曲线节点的计算数控系统一般只有直线和圆弧插补功能，对于非圆曲线轮廓，只能用直线或圆弧去逼近它。节点就是逼近线段与非圆曲线的交点，也是个逼近线段的起点和终点。一个已知曲线方程的节点数与逼近线段的形状（直线还是圆弧）、曲线方程的特性以及允许的逼近误差有关。节点计算，就是利用这三者之间的数学关系，求解出各节点的坐标。一、等间距的直线逼近的节点计算已知非圆曲线方程 y=f（x）从曲线X轴的起点坐标开始，以等间距x来划分曲线起点到终点的区间，可得一系列X轴的坐标点的值，设起点的X坐标值为x0=a，则有：x1=a+x，x2=a+2x，x3=a+3x，. Xi=a+ix，.

2、将这些X坐标值代入方程 y=f（x），则求得一系列Y坐标值：yi=f（xi）（i=1，2，3，.）那么（xi，yi）（i=1，2，3）就是所求得的节点坐标值。相邻两点的直线段就是逼近线段。等间距法的关键是合理确定x，既要满足允许误差的要求，又要使节点尽可能少。通常采用试算和校验的方法确定x，方法步骤如下：1取x初值，一般取0.1。2计算（xi，yi）（i=1，2，3）。3误差验算：设任一逼近直线MN，其方程为：ax+by+c=0，则与MN平行且距离为允的直线MN的方程为：求解联立方程：若：    只有一个解，则逼近误差等于允，x正好满足误差要求。

3、0;       没有解，则逼近误差小于允，x满足误差要求，可适当增大其取值，返回2。        有两个解，则逼近误差大于允，x太大，应减小其取值。返回2。    等间距法计算简单，但由于必须保证曲线曲率最大处的逼近误差小于允许值，所以程序可能过多。二、等弦长直线逼近的节点计算    使所有逼近线段的长度相等。计算步骤如下：（1）确定允许的弦长。 用等弦长逼近，最大误差max一定在曲线的曲率半

4、径最小Rmin处，则为：（2）求Rmin。曲线任一点的曲率半径为：        取dR/dx=0，即 根据求得，并由       式（2-3）求得x后， 将x值代入式（2-2）       求、得Rmin。（3）以曲线起点A为圆心，做半径为的圆交曲线于B点，联立求解：得节点坐标xB、yB。（4）顺序以B、C、.为圆心，重复步骤（3），即可求得其余各节点坐标值。三、等误差直线逼近的节点计算 

5、60;  使所有逼近线段的误差相等。计算步骤如下：（1）以起点A（xa，ya）为圆心，以允为半径作圆，称为允差圆，其方程为：记为：（2）作圆与曲线的公切线PT，求其斜率k。K=（yT-yP）/（xT-xP）为求yT、yP、xT、xP，求解联立方程：（3）以A为起点，作平行于公切线PT的直线AB，交曲线于B点。AB的方程为：（4）求B点的坐标值。联立求解曲线方程和AB的方程：（5）按上述步骤顺序求得C，D，各节点的坐标。四、圆弧逼近的节点计算曲率圆法，是一种等误差圆弧逼近法。计算步骤如下：（1）以曲线的起点（xn，yn）开始作曲率圆，其参数为：     圆心：半径：（2）以点（n，n）为圆心，（Rn±允）为半径作偏差圆，求偏差圆于曲线的交点（xn+1，yn+1）。解联立方程：（3）求过（xn，yn）和（xn+1，yn+1）两点，半径为R