第三章随机变量的数字特征

1、第三章 随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.第一节 数

2、学期望 一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用.定义 设是离散型随机变量的概率分布为如果绝对收敛, 则定义的数学期望(又称均值)为 二、连续型随机变量的数学期望定义 设是连续型随机变量, 其密度函数为,如果绝对收敛, 定义的数学期望为 三、 随机变量函数的数学期望设是一随机变量, 为一实函数,则也是一随机变量。定理1 设是一个随机变量, ,且存在, 则（1） 若为离散型随机变量, 其概率分布为则的数学期望为（2） 若为连续型随机变量, 其概率密度为, 则的数学期望为注: (i)定理的重要性在于:求时, 不必知道的分布, 只需知

3、道的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;四、数学期望的性质1. 设是常数, 则2若是常数，则3. 4. 设独立, 则;注: 由不一定能推出独立。 例1 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为, 它们的分布律分别为试评定他们的成绩的好坏. 解： E（）=00+10.2+20.8=1.8 E（）=00.6+10.3+20.1=0.5例2 已知随机变量X的分布函数, 求 解：随机变量X的分布密度为 , 故 第二节 方差随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价, 而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标. 一、 方差的定义定义1 设是一个随机变量, 若

4、存在,则称它为的方差, 记为方差的算术平方根称为标准差或均方差, 它与具有相同的度量单位, 在实际应用中经常使用.方差刻划了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.从方差的定义易见:(1)若的取值比较集中,则方差较小;(2)若的取值比较分散,则方差较大;(3)若方差, 则随机变量以概率1取常数值,此时也就不是随机变量了. 二、 方差的计算若是离散型随机变量,且其概率分布为则 若是连续型随机变量,且其概率密度为 则利用数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式:. 三、方差的性质1. 设常数, 则;2. 若是随机变量, 若是常数, 则3. 设是两个随机向量,则

5、特别地, 若相互独立, 则注: 对维情形, 有: 若相互独立, 则 四、 条件数学期望和条件方差简介由于随机变量之间存在相互联系, 一个随机变量的取值可能会对另一随机变量的分布产生影响, 这种影响会在数字特征上得到反映. 下面要讨论的是：在某个随机变量取某值的条件下，求另一个与之相关的随机变量的数字特征. 作为简介，这里我们直接给出它们的定义. 1. 设是离散型随机向量, 其概率分布为定义2 称（绝对收敛）为在 条件下的条件数学期望.类似地，称 （绝对收敛）为在 条件下的条件数学期望;2设是连续型随机向量, 是在条件下的概率密度，是在条件下的概率密度.定义3 (i) 称 （绝对收敛）为在 条件下的条件数学期望;类似地，称（绝对收敛）为在 条件下的条件数学期望; 例1 设随机变量具有数学期望方差 记 则的数学期望为0, 方差为1. 称为X的标准化变量.例2 设随机变量具有分