数分高代定理大全

1、数分高代定理大全高等代数第一章带余除法对于P冈中任意两个多项式f(X)与g(x)，其中g(x)=0,一定有Px中的多项式q(x),r(x)存在，使f(x)=q(x)g(x)r(x)成立，其中；：(r(x)：:;:(g(x)或者r(x)=O,并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的.定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(xp=O,g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.定理2对于Px中任意两个多项式f(x),g(x),在Px中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个组合，即有Px中多项式u(x),v(x)使d(x)二

2、u(x)f(x)v(x)g(x).定理3Px中两个多项式f(x),g(x)互素的充分必要条件是有Px中的多项式u(x),v(x)使u(x)f(x)v(x)g(x)=1.定理4如果(f(x),g(x)=1，且f(x)|g(x)h(x)，那么f(x)|h(x).定理5如果p(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x),g(x),由P(x)|f(x)g(x)一定推出p(x)|f(x)或者p(x)|g(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数一1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式f(x)=p'x)P2(x)LPs(x

3、Aq(x)q2(x)Lq(x),那么必有s二3并且适当排列因式的次序后有Pi(x)"qdi-1,2,L,s,其中敢=1,2s)是一些非零常数.定理6如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k_1),那么它是微商f(x)的k-1重因式.定理7(余数定理)用一次多项式x一：去除多项式f(x),所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(J.定理8Px中n次多项式(n_0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算？定理9如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过n,而它们对n?1个不同的数：1,：2±:-n1有相同的值，即fCi)=g(:i),i=1,2,Ln1,那么f

4、(x)=g(x).代数基本定理每个次数_1的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数_1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数_1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10(高斯(Gauss)引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理12设f(x)二anxn?axn)L-a0是一个整系数多项式，而r是它的有理根，s其中r,s互素，那么必有s|anJ|

5、a。.特别地，如果f(x)的首项系数a八1,那么f(x)的有理根是整根，而且是a。的因子.定理13(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)设f(xanxnan4xnJL-a。是一个整系数多项式，如果有一个素数p,使得1. pIan；2. p|anj,an2a。；3. p2|a。那么f(x)在有理数域上是不可约的第二章定理 1 对换改变排列的奇偶性.定理 2 任意一个n 级排列与排列12L n 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.aiia21Ma12a22Ma1 na2n）A表示兀素a的代数余子式，则下列公式成Man2a nn_ d,当 k ",-3

6、klAi1 ' 3k2Ai2 L 'akn Ain0,当k =i.ai|A|j a2lA2janl Anj_ d,当 1 =j,-0, 当 1 = j.定理4（克拉默法则）如果线性方程组a11x1*a12x2+L+a1nXn=b1,a21x1*a22x2*L*a2nxn=b2,LLLLa1n I32nMaMX1?an2X2Lannkbnan312的系数矩阵A二a21322MM_anan2ann1那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为X1=虫,X2=吐，Xn二虫，其中dj是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项dddb1,b2,L,bn所成的行列式，即aiiLai,

7、j j D ai,j i L ama21 L a2,j 二 b2 a2,j 1 L a2ndjM,j = 1,2,L , n. M M M ManiLan,jjbnan,jiLann定理5如果齐次线性方程组匕彳卜橙+a12X2+L+a1nXn=0,a2iXi*a22X2+L*a2nXn=°,LLLLaniXi+an2X2+L+annXn=O的系数矩阵的行列式AAO5那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有A=0.定理6（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定了k（1乞k乞n-1）个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.a 一 11

8、a12L定理7两个n级行列式D1 =a21a22LMMan1an 2LC11LC12q na .1nbnb12La 2n和D2 =b21b22LMMMa nnbn1bn2Lbb2rM1r乘积等于一个n级行列式C =C21C22 LC2nM MCn1 Cn2 LCnn中 Ci,是D1的第1仃儿素分别与D2的第j列的对应元素乘积之和：Cj二属+a2b2j+L+ainbnj.AVV*不早定理1在齐次线性方程组印1为+印2乂2+L+amXn=0,a2lXi+a22X2+L+a2nXn=0,LLLLaniXian2X2LannXn=0中，如果s<n,那么它必有非零解定理2设ai,a2L,ar与bi

9、,b>,L,br是两个向量组，如果1）向量组可以经ti,t2,L,tr线性表出,2)r>s,那么向量组ai,a2L,ar必线性相关.定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量定理4矩阵的行秩与列秩相等.a.ii定理5n'n矩阵a-ci2a21a22a2n_ani an2ann的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.定理6一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零,定理7aX a2X2 L a2i时所有r+1级子式全为零.（线性方程组有解判别定理）线性方程'ainxn二biXi822X2LL L L LXi +an2X2+ L +a nnXn=

10、0a.iiai2a2ia22Usias2a2nXnama2na sna.iiai2与增广矩阵A =a2iasi有解的充分必要条件为它的系数矩a22as2a nbja2nb2M Masn bs它有基础解系，并且基础解a.ni系所含解的个数等于n-r，这里r表示系数矩阵的秩.aiiXi+ai2X2+L+ainXn=bi,A =定理9如果r0是方程组有相同的a2iXA +a22xA +L *a2nXn =b2,砧 人吐肥耐/、广-的一篦鬟万定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下,LLLLUniXi+an2X2+L+a.nXn=g程组的任一个解都可以表成r=r0+h，其中h是导出组+a12x2+L+a

11、1nxn=0,32倩+a22x2+L+舫&=0,的一个解.因此，对于方程组的任一个特解r0,当h取LLLL耳必+an2X2+L+annXn=0遍它的导出组的全部解时，r二r0+h就给出本方程组的全部解.第四章定理1设A,B是数域P上的两个nF矩阵，那么AB|=A|B?,即矩阵的乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.定理2设A是数域P上n'm矩阵，B是数域P上m's矩阵，于是秩(AB)£min秩(A),秩(B)，即乘积的秩不超过各因子的秩.定理3矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而a-1=#a*(d=a?0).定理4a是一个s'n矩阵，如果p是s&

12、#39;s可逆矩阵，q是n'n可逆矩阵，那么秩(A尸秩(PA尸秩(AQ).定理5任意一个s'n矩阵A都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵A的标准形，主对角线上1的个数等于A的秩(1的个数可以是零).定理6n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：A=QQ2LQm第五章定理1数域p上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和曲坛+1就定理2在数域p上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定理3任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。定理4任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形

13、是唯一的。定理5(1)任一复对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵；，其中，对角线上i的个数r等于a的秩.(2)任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵：,其中对角线上1的个数p及-1的个数rp(r是a的秩)都是唯一确定的,分别称为A的正、负惯性指数?它们的差2p-r称为A的符号差?定理6n元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.定理7实二次型nnf(xiX2,L,xn尸遛ajjXjXj=XXx''i=1j=1是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零定理8对于实二次型f(x,，X)=XAX,其中A是实对称的，下列条件等价：(1f(x,人)是半正定的

14、，)它的正惯性指数与秩相等,有可逆实矩阵C,使(2)d2CAC二dn其中，d-o1,2,n(4) 有实矩阵C使A=CC，(5) A的所有主子式皆大于或等于零.第六章定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量'1/2n,且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而-12an就是V的一组基.定理2如果线性空间V的非空子集合W对于V的两种运算是封闭的，那么W就是一个子空间.定理31)两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2)f1乙，)的维数等于向量组：1/2A：r的秩.定理4设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，：1,2八：m是W的一组基，那么这组向量

15、必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在V中必定可以找到n_m个向量ml,：m2,n,使得、2厂n是V的一组基.定理5如果”是线性空间V的两个子空间，那么它们的交VV2也是V的子空间.定理6如果VV是V的子空间，那么它们的和UV也是V的子空间.定理7（维数公式）如果MM是线性空间V的两个子空间，那么维（y）+维（V2）=维（VV2）+维（yV2）.定理8和*5是直和的充分必要条件是等式:ji2二0,:iVi（i=1,2）只有在，全为零向量时才成立.定理9设VV是V的子空间，令wV2,则w=乂二V2的充分必要条件为维（W）=维（y）+维（V2）.定理10设u是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一

16、个子空间W使v=u-w.定理11wNs是V的一些子空间，下面这些条件是等价的：1） ）W=AVi是直和；2） 零向量的表法唯一；3） VixVj±0?（i=1,2,s）;j工4） 维（w）=、'维（V）.定理12数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.第七章定理1设1,2,.；n是线性空间V的一组基，：仆，是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换，使，i十，i=1,2,6定理2设1,仝,，；n是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个nn矩阵.这个对应具有以下的性质：1) )线性变换的和对应于矩阵的和；2) 线性变换的乘积对应于矩

17、阵的乘积；3) 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4) 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵定理3设线性变换，在基1,-，m下的矩阵是A,向量？在基；1,-，力下的坐标是(X1,X2,，xj,则厂在基1,2,，；n下的坐标(,2,，n)可以按公式定理4设线性空间V中线性变换公在两组基(6)1,2,，n下A7阵分另I为A和B,从基(6)到基(7)的过渡矩阵是X,于是B=XAX.定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵定理6相似的矩阵有相同的特征多项式.哈密尔顿凯莱(Hamilton-Cayla

18、y)定理设A是数域P上一个nn矩阵,f(J=|'E_A|是A的特征多项式，则f(A)=人厂佝1a22an)An(-1)nAE=O.定理7设二是n维线性空间V的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，Z有n个线性无关的特征向量.定理8属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理9如果d，鼻是线性变换Z的不同的特征值，而：“，：飞是属于特征值，的线性无关的特征向量,i=1/',k,那么向量组：w,，5,，：；，：叽也线性无关.定理10设，是n维线性空间V的线性变换，1,；2,，；n是V的一组基，在这组基下，的矩阵是A,则1)，的值域ZV是由基像组生成的子空间，

19、即.-V二L(m，=；n).2)二的秩二A的秩.定理11设，是n维线性空间V的线性变换，则=V的一组基的原像及2-(0)的一组基合起来就是V的一组基.由此还有_L的秩的零度=n.定理12设线性变换公的特征多项式为f(-),它可分解成一次因式的乘积则V可分解成不变子空间的直和V=乂二V2二-Vs，其中V二1(一；i)"=0-V?.定理13设二是复数域上线性空间V的一个线性变换，则在V中必定存在一组基，使，在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.定理14每个n级复矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似.定理15数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积.第八

20、章定理1一个nF的I-矩阵A(l)是可逆的充分必要条件为行列式|A(I)|是一个非零的数.定理2任意一个非零的S'n的I-矩阵A(l)都等价于下列形式的矩阵其中r?1d(l)(i1,2,r)是首相系数为1的多项式，且q(i)iq+1(i),(i=1,2L,r-1).定理3等价的I-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.定理4I-矩阵的标准形是唯一的.定理5两个l-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子?定理6矩阵A(l)是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积定理7设a,b是数域p上的两个n'n矩阵.a与b相似的充分必要条件是它们

21、的特征矩阵lE-A和IE-B等价?定理8两个同级复数矩阵B相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子?定理9首先用初等变换化特征矩阵IE-A为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幕的乘积，则所有这些一次因式的方幕(相同的按出现的次数计算)就是A的全部初等因子.定理10每个n级矩阵的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.定理11设二是复数域上线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使Z在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被，唯一决定的.定理12

22、复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全为一次的.定理13复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的不变因子都没有重根.定理14数域P上n'nP$A在P上相似于唯一的一个有理标准形，称为A的有理标准形.定理15设二是数域p上n维线性空间的线性变换，则在V中存在一组基，使Z在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由，唯一决定，称为Z的有理标准形.第九章定理1n维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基定理2对于n维欧式空间中任意一组基，知一，；n,都可以找到一组标准正交基人鸽，人，使L(e)q,L斥)二L(h1,h2,L)h1),i=1,2L,n.定理3两

23、个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.定理4设二是n维欧式空间v的一个线性变换，于是下面四个问题是相互等价的：(1)，是正交变换；(2)A保持向量的长度不变，即对于a嵋/,a|二叵；(3)如果1,2,n是标准正交基，那么笛)Aq,L,Aen也是标准正交基；(4)A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.定理5如果子空间乂八，Vs两两正交，那么和V1+V2+L+Vs是直和.定理6n维欧式空间V的每一个子空间V!都有唯一的正交补.定理7对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T,使TACT=T-1AT成对角形.nn定理8任意一个实二次型邋aijXiXj,aij=ajii=1

24、j=1都可以经过正交的线性替换变成平方和11y2+12y2+L+lny2，其中平方项的系数1？1n就是矩阵A的特征多项式全部的根.第十章定理1设v是P上一个n维线性空间，1，;”,;n是v的一组基，%a2,a!是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f(e)=a，i=1,2L,n.定理2L(V,P)的维数等于V的维数，而且f1，f2，L，fn是L(V,P)的一组基.定理3设1,2厂，及1,2，n是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1,f2，L,fn及91,0?,L,91.如果由3,2,，；n到1,2,n的过渡矩阵为A,那么由f1,f2,L,fn到g,场,L,g的过渡矩阵为(A沪.定理

25、4V是一个线性空间，V*是V的对偶空间的对偶空间.V到V*的映射是一个同构映射.X?X定理5设V是p上n维线性空间，f(a,b)是V上对称双线性函数，则存在v的一组基1,2，力，使f(a,b)在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.数学分析第一、二章定理1.1（确界原理）设S为非空数集?若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界?定理2.1数列CaJ收敛于a的充要条件是：Can-a为无穷小数列.收敛数列的性质：定理2.2（唯一性）若数列Caj收敛，则它只有一个极限.定理2.3（有界性）若数列faj收敛，则为有界数列，即存在正数M,使得对一切正整数n有|aAM.定理2.4（保号性）若uman

26、=a>0（或v0）,则对任何a"w（0,a）（或2八（a,0），存在正数N,使得当n?N有ana（或a*：a）.定理2.5（保不等式性）设：an与：坷均为收敛数列.存在正数No,使n?N。时有an兰bn,则限弘兰nmbn.定理2.6（迫敛性）设收敛数列：aj,f：bn）都以a为极限，数列cj满足：存在正数N。，当n>No时有a.兰Cn兰0,贝擞列cj收敛，且=a.定理2.7（四则运算法则）若aj与收敛，则数列a*+bn>,a*bn,an'bn也都是收敛数列，且有lim（an二bn）二liman二limbnn：n厂n:Hm?bn）Jim：annmbn特别当bn

27、为常数C时有nim（ an C） Jim：an C，nmcancnman.若在假设bn=0及limbn=0，则an也是收敛数列，且有lim虫二liman.limbn.5bn5bnnY/nw定理2.8数列fa”?收敛的充要条件是：£?的任何非平凡子列都收敛.定理2.9(单调有界定理)在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理2.10(柯西收敛法则)数列曲收敛的充要条件是：对任何给定的；：0，存在正整数N,使得当n,maN时有a”-amc名.第三章定理3.1limf(x)=A：=limf(x)=limf(x)=A.X-Aoax0-函数极限的性质：定理3.2(唯一性)若极限limf(x)存在

28、，则此极限是唯一的.AAX0定理3.3(局部有界性)若limf(x)存在，则f在X。的某空心邻域U。(X。)内有界.定理3.4(局部保号性)若limf(x)=A»0(或<0),则存在任何正数rcA(或AX)：-A)存在U0(X。)，使得对一切XU0(X。)有f(X)r0(或f(x)：一r:0).定理3.5(保不等式性)设limf(x)与limg(x)都存在，且在某邻域xU0(x0;、)有f(x)<g(x),则limxfJX(0x)空limAJKgQ(x).定理3.6(迫敛性)设limf(x)=limg(x)二A,且在某xUQ(x°A)内有f(x)三h(x)三g(

29、x),则有limh(x)=A.XTX3定理3.7(四则运算法则)若极限limf(x)与limg(x)都存在，贝U函数f_g，fgXJXQXJX)当X"X0时极限也存在，且1) limf(x)_g(x)=limf(x)-limg(x)；a-%QXJ>XSq0aaxq2) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)；x%XXQX>XQ又若limg(x)=0,则fg当x;x。存在，且有limdlim3) f(x),；g(x).xog(x)x必lim定理3.8(归结原则)设f在X?U0(x0；.)厥t散.limf(x)存在的充要条件o八0是：对任何含于xU0(x)八)内

30、且以xo为极限的数列xj,极限limf(xn)都存在且相等.x=x)定理3.9设函数f在点x0的某空心右邻域U0(玄)有定义.limf(x)二A的充要条件是:对任彳以X。为极限的递减数列：Xn；=UO(x。)，有limfx今An_定理3.10设f为定义在U0(x。)上的单调有界函数，则右极限limf(x)存在.十定理3.11(柯西准则)设函数f在Uxoi)内有定义.limf(x)存在的充要条*件是：任给；0,存在正数(-)，使得对任何x,X5(x)a)有If(X)-f(X)卜：；.定理3.12设函数f,g,h在U0(x0)内有定义，且有f(x)g(x)(x；X0).(i)若limf(x)h(x

31、)=A，贝Ulimg(x)h(x)二A；八X0x一;K0(ii)若lim凹二B,则lim回二B.T0f(x)xfg(x)定理3.13(i)设f在U0(X0)内有定义且不等于0.若f为x>X0时的无穷小量,1则一为X;X0时的无穷大量.f1(ii)若g为xx0时的无穷大量，则一为Xx0时的无穷小量.第四章定理4.1函数f在点X。连续的充要条件是：f在点X。既是右联系，又是左联系.连续函数的性质：定理4.2(局部有界性)若函数f在点X。连续，则f在某U(Xo)内有界.定理4.3(局部保号性)若函数f在点X。连续，则f(x)AO(或v0),则对任何正数r：:f(Xo)(或r：:-f(X。)，存

32、在某U(Xo),使得对一切xU(X0)<f(x)r(或f(x)：-r).定理4.4(四则运算)若函数f和g在点X0连续，则f_g,fg,fg(g(xo)=o)也都在点X0连续.定理4.5若函数f在点xo连续，g在点uo连续，u。=f(X。)，则复合函数gf在点Xo连续.定理4.6(最大、最小值定理)若函数f在闭区间la,b1上连续，则f在la,b1上有最大值和最小值.定理4.7(介值性定理)设函数f在闭区间l.a,b1上连续，且f(a)=f(b).若u为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a):u:f(b)或f(a)uf(b),则至少存在一点xAiab使得f(x)=u.定理4.8若

33、函数f在l.a,b上严格单调并连续，则反函数f,在其定义域lf(a),f(b)1或If(b),f(a)1上连续.定理4.9(一致连续性定理)设函数f在闭区间l.a,b1上连续则f在1abl上一致连续.定理4.10设a0，:-，:为任意实数，则有aa-二a,(aV二a'.定理4.11指数函数ax(a0)在R上是连续的.定理4.12一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.定理4.13任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.第五章定理5.1若函数f在点次可与，则f在点X0连续.定理5.2若函数y二f(x)在点xo的某邻域内有定义，则f(xo)存在的充要条件是f(xo)与f_(xo)都存在

34、，且f(xo)=f_(xo).定理5.3(费马定理)设函数f在点xo的某邻域内有定义，且在点xo可寻.若点xo为f的极值点，则必有f(xo八。.定理5.4(达布定理)若函数f在la,b上可与，且f.(a)=f_(b),k为介于f(a),f_(b)之问任一实数，则至少存在一点三a,b,使得f)=k.定理5.5若函数u(x)和v(x)在点xo可与，则函数f(x)=u(x)_v(x)在点x。可与，且f(Xo)(xo)_v(xo).定理5.6若函数u(x)和v(x)在点xo可与，则函数f(x)二u(x)v(x)在点x。可与，且f(x)八U(x)V(Xo)U(Xo)V(Xo).定理5.7若函数u(x)和

35、v(x)在点x。可由且v(xob八o,则f(x)二咚在点x。可v(x)fu(xo)v(Xo)-U(Xo)v(xo)导，且f(xo)二2v(Xo)定理5.8设丫=f(x)为x=(y)的反函数，若(y)在点yo的某邻域内连续，严格单调且(yo尸0,贝Uf(x)在点xo(X。(y。)可与，且1f(Xo)：(Yo).定理5.9设U八(x)在点Xo可与，y=f(u)在点Uo二(Xo)可与，则复合函数f*在点X。可与，且(fj(Xo)=f(Uo)"八)=fc(xo)r(Xo).定理5.10函数f在点xo可微的充要条件是函数f在点X。可与，而且.：y二A=x：(=x)中的A等于f(Xo).第六章定

36、理6.1(罗尔中值定理)若函数f满足如下条件：f在闭区间lab1上连续；(ii)f在开区间a,b内可与；(iii)f(a)二f(b),则在a,b内至少存在一点？，使得f(A0.定理6.2(拉格朗日中值定理)若函数f满足如下条件：f在闭区间la,b1上连续；(ii)f在开区间a,b内可与；则在a,b内至少存在一点，使得f()七'b二/a”.ba定理6.3设f(x)在区间I上可与，则f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是f(x)-0(乞0).定理6.4若函数f在a,b内可与，则f在a,b内严格递增(递减)的充要条件是：(i)对一切xa,b,有f(x)0(f(x)八。)；(ii)在a,b内

37、的任何子区间上f(x)不恒为0.定理6.5(柯西中值定理)设函数f和g满足(i)在a,b1上都连续；(ii)在a,b内都可与；(iii)f(x)和g(x)不同时为零；(IV)g(a)=g(b),则存在-a,b,使得g牡)g(b)-g(a)定理6.6若函数f和g满足：(i)limf(x)二limg(x)=0;(ii)在点xo的某空心邻域U(xo)内两者都可与，且g(x)=0;(iii)lim凶二A(A可为实数，也可为二二或：)，I。g"(x)则limf(x)Jimf(x)=A.x%g(x)x%g(x)定理6.7若函数f和g满足：(i) limf(x)limg(x)=:；AxAAxo(i

38、i) 在X。的某右邻域U°(x。)内两者都可与，且g(x)=0；(iii)lim叶衿二A(A可为实数，也可为一：或：)，Fglx)则lim他=lim3=A.X两g(x)Xfg(x)定理6.8若函数f在点x。存在直至n阶导数，则f(x)=Tn(x):(x-x。)即f(x)=f(x)f(X)(X-Xo)f-("(x_沧)2f(X-X)n:(x-X)n)2!n!定理6.9(泰勒定理)若函数f在l.a,b1上存在直至n阶的连续与函数，在a,b内存在(n1)阶与函数，则对任意给定的x,x0?a,b1,至少存在一点a,b,使得f(X0)y2.f(X。).f(nT)f(x)=f(x)f(

39、X)(X-Xo)。(X-X。)0(X-X)(X-X)2!n!(n+1)!定理6.10(极值的第一充分条件)设£在点X。连续，在某邻域U0(X。-)内可与.(i)若当X?(Xo-,Xo)时f(x)_0,当X?(Xo,Xor)时f(x)_0，则f在点X。取得极小值?(ii)若当X(x。-、.，Xd)时f(x)_0,当x(Xo,Xd、)时f(X)_0，则f在点Xo取得极大值?定理6.11(极值的第二充分条件)设f在x。的某邻域U(Xd;.)内存在一阶可寻,在x=x。处二阶可与，且f(x)=0,(x)=0.(i)若f(x):0,则f在点X。取得极大值.(ii)若f(x)?0,则f在点X。取得

40、极小值.定理6.12(极值的第三充分条件)设£在X。的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在X。处n阶可由且f(k)(X0)=0(k=1,2,)n-1),f(X0)=0则(i)当n为偶数时，f在点X。取得极值，且当f(x。)：0时取得极大值，f(n)(X0)0时取得极小值.(ii)当n为奇数时，f在点X。处不取得极值.定理6.13设f为区间I上的可与函数，则下述判断互相等价：1f为I上的凸函数；2为|上的增函数；3对I上的任意两点x1,X?,有f(x2)-f(xjf(xj(x2-xj.定理6.14设f为区间I上的二阶可与函数，则在I上f为凸(凹)函数的充要条件是fr(xp>0(f&

41、quot;(x)0),xEI.定理6.15若f在X。二阶可导，则(X。,f(X。)为曲线y=f(X)的拐点的必要条件是f(x)二0.定理6.16设f在X。可与，在某邻域U(x。)内二阶可与.若在U.(X。)和U_(x。)上f(x)的符号相反，则(x。,f(X0)为曲线y=f(x)的拐点.第七章定理7.1(区间套定理)若CIan,bj)是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得：三a,bnJ,n=1,2，)即an_-bn,n=1,2，)定理7.2(魏尔斯特拉斯聚点定理)实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚占八、?定理7.3(海涅-博雷尔有限覆盖定理)设H为闭区间l.a,bl的一个(无限)开

42、覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖la,b.有界性定理若函数f在闭区间la,b上连续，则f在la,b上有界.最大、最小值定理若函数f在区间la,b1上连续，则f在la,b1上有最大值和最小值.介值性定理设函数f在闭区间la,b上连续，且f(a尸f(b).若u介于f(a)与f(b)之间的任意实数(f(a)cuvf(b)或f(a)>u>f(b),则存在Xq三i:a,b,使得f(X。)=u.一致连续性定理若函数f在区间l.a,b1上连续，则f在区间l.a,b上一致连续.第八章定理8.1若函数f在区间I上的连续，则f在I上存在原函数F,F(x)二f(x),xI.定理8.2设F是f在区间

43、I上的一个原函数，则(i)FC也是f在|上的原函数，其中C为任意常量函数；(ii)f在I上的任意两个原函数之间，只可能差一个常数.定理8.3若函数f与g在区间I上都存在原函数，K,k2为两个任意常数，则k1fk2g在I上也存在原函数&f(x)k2g(x)dx=kf(x)dxk2g(x)dx.定理8.4(换元积分法)设g(u)在-I上有定义，u二(x)在la,b上可与，且aM申(x)兰0,x?Ia,b，并记f(x)=g(申(x)?(x).(i)若g(u)在L:加1存在原函数G(u),则f(x)在la,b也存在原函数F(x),F(xG(x)C即f(x)dx二g(x)(x)dx二g(u)du

44、=G(u)C=G(x)C.(ii)又若(x)=0,xl.a,b1,则上述命题(i)可逆，即当f(x)在l.a,bl存在原函数F(x)时，g(u)在!.：/1也存在原函数G(u),且G(u>F(u),C即g(u)du二jg(x)(x)dx二jf(x)dx=F(x)C=F(u)C.定理8.5(分部积分法)若u(x)与v(x)可与，不定积分u(x)v(x)dx存在，则u(x)v(x)dx存在，并有u(x)v(x)dx二u(x)v(x)-u(x)v(x)dx.第九章定理9.1若函数f在la,b1上连续，且存在原函数F,即F*)fx),xl.a,bl,则f在la,b1可积，且"f(x)=F(b)-F(a).a定理9.2若函数f在l.a,b1上可积，则f在l.a,b