数列求和7种方法(方法全,例子多)

1、料褊喀融陶霁承期赢H盘墨酶,皓嗓瞰遹血数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）Oy-f总论：数列求和解种方法却利用等差1等比数列求和公式迟c心心二C0。乞/nju0m,o=错位相减法求和；谷季,4a；反序相加法求和fbnpN当：Z?H笈OPE蜃缢。8二分组相加法求和/，匕Ja/a，V-uW裂项消去法求和.4C&A?jh4t3，Z,Pc.二三百3jTjrCfo。分段求和法（制法求和）二c/rVD:j-Clo2，赤KJnu利用数列通项法求和99A3mrJ。fcjp.0P*uUf*4JGQ汽数;3b乜W幺黑出工序自期.13?上三、逆序相加法、nn,数列是高中代数的重要内容1又是学习高等数学的甚础.

2、在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位;数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外！大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧；一、利用常用求和公式求和利用F列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.等薨数列求和公式:玳4+%)_2叫+蝴雌第1(q = 1)(1)52等比数列求和公式，S”飞L8-Q国-1-1一41XE3/$=才341)4*=4=S+.睚t5、品=1?55+1)/*_1.aE菊X7日如小售3大=3重工十，2十/十八十*+一串的而n项和.5*/*VO-；1唯尹O矛班同嬴学嘉哥球备痛H辘a聒嘴

3、礴颤命樨脚黝2由等比数列求和公式得SJ9=x+x*+尤3+,+鼠利用常用公式）12n例2设=1+2+3+石，直礼求/（）=o0|s.o的最大值.解;由等差数列求和公式得Sn,=-n(n+1)&S4=-(n+l)(n+2)C利用常用公式，.这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法串这种方法主要用于求数列居b）的前n项和击其中fd:th分别是等差数列和等比数列.碗雪求和工sn=1+3比+5/千7/+一+12-1冲2懈由脚曲h阀一gT的超触餐*痴肛说一日能3身嗓母例便咒曲翔蛇飙设1t+342+5x3+7d+12-。工。一，；设制错位一得。一月墨=12x+2x2+2/+2d+2父1（2匕-1

4、）/:错位相减）1再利用等雌m的求和公式修a-洱=i十以k一1T暧（2以r1（2以+1力5?。十a十X）(If。二一 2 4加J求教力于解:由题可知,6-2t._d.；小三产，前n项的和.23T,.的蠹吸是等整数列2口的讪iMJ等比裁列*4孑的通鲸;积.筐、2；、j + +,-七，”4 ”.着222r 2*-1 2汹6=2n.；、.& ；* ，+ + -4 叶-立鼻眇/鼻2 n2212，22公目二1-22222露一殿得(1-3)” =耳十尹+至+F+十强2 设=46 田小 y2n萍-妥1”2力.2足s =4_u 2t练习题1已知，求数列a的前立项和$答案i2M2“诩阳柒05门”7练习题2的前n

5、项和为答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法八就是将T数列倒过来排列工反序，再把它与原MMr藕可以融小也中43例5求证！C；+3C；45C：+h+1)C：=5+1)2”证明；设$口；=+M；+5媒：+丁+(2+1诲事”.”.1也6里门,我.恩趣域有边倒转过来得S”=(2府+DC；+枷-1国,+，f3或+C?晟康)又由:：=&可得Sn=(2m十I为，十(2n中”+鼻+初f反序相加）得2S-(2n+2)(C：+C；+,二+C片+C，)q2(n+1)2n%=9十4蒙ZMsin2r+sin22r+su?30+-+sin288o+siii289B解：设S=sin2V+s1n图

6、$出23*乐一+si112gg-+向pg青将式右边反序得S=sin289+sin188+sin23esin2#+又因为sirix=cos(90一士工sin2x+cos2x=lOf&反序相加)2S=(sin21B+coslB)-k(sii?2fl+cosa2)+(sm189*+cos8989AS=44.5题1已知函数的值.懈（1）先利用指教的相关性腐对函数化俺R.厨E明左加右淳（为利用第门）小题已经证明的结论可知，OOZOB4.QBU.,，Gw两式相加得:疑脚部9练习.求值，,ot所以口小10pf1、分组法求和有一噢财少度不是丹逐数见也不曷等比数列，若将这舞顺I适当旌不可分为川中等仁等比或常见的

7、数列，然后分别求和，再将其合并即可FOQ.%O,aO-.，e-a-a/TsinIsCOS/fCOS(；1+1)=tan(“千IftannUJjJ她即被学您手鬻举与酶K会相逢蹴遹版=1+1(，2 2n-l 2/1 + 11I1=三一一(4)%的TK初+1)拉(他441n比+1见“kIJS+2)=115*1)(n+l)(n+2)琮喃密12 p力,+2/=n(n+1)212(m+1)一(第+1)年则3三1一一*(+l)2n(An+B)lAn+C)C-BAn+BAji+C爆卢JJ7+J也+119求数列?1+V2隹+6而+病斤碘4婀郦设=Jk+i(裂项)则院F裂项求和-j-，2T+1去血谯十收;而七府口

8、=J2&)+(V3-+8+1-Vn)例1Q在数列中，/F+1+1JI+1，求数夕收bj的前项的和,n,ahor几十1hn+：71412+rz+1,一Q，2n+1=哈山22二夕岁排?的前M嘛t$&=国口-$+一：)+4一+*,=8(1_-!)网ndb1,相+17月/i+l(裂项求和)例11求证#cosl+土+2=-cos0cosTcosFcos2*cos88*cos89*sinTfro*d=.cj*：.：、3r11解，设S二一- cosO cosl+二-+cosl,cos2cos88cos89=tan(1日sin!COSHCOS(H+ly工s=-_J+5P裂项求和?cosOcosFcoslfco

9、$2：cos88atos89?=-(tanl*ltanOc)+(tan2-tan1*)+(tan3*tanT)+tan890ttan88eJlsinI二-，.乙l。，cosl?(tan89B-tanO)-cotF=sinIsmlsinIA原等式成立练习题L痂唠售13练习题2.答案:六、分段求和法（合并法求和）:针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时可将这-.n-TmHF飞工.-Lb-b、rQ-,b.些项放在。起先求和，然后再求S.+ :cosl79-a的值.例12求ccsl+c32g+cos3+ctsl78?flE:L*gru:，。s：.。.幡;曩.&

10、=；cosla+pbs2a+Cds3ft+一+cosl78o+:;Cpsl79dVcosif-cos（l80fl-W）（找特殊性援玻）AJSs=，码依#萦=*&6gg=2%*4=-L40d=乜,。，M&t+I+。6力&1+。6转+口M+4;+公融+5+理帖+6=64找性oSr=%+%+/+7+/ok；/合并求和=g；M=log&M,N得5n=(logy%+log3/j)斗。口+唾3”4士斗(log&q+log3)合并求和)J乙申.Vai三(logaaI0)+(log5Qw/)+(log3以506)=kg*9+log39+/logm910球也崎第15； p练习,求和工谕斶蜉雪球承竭H联辩商曙娜趣

11、。练习题2,若&=1-卦3-4+1+(-1)皿，小则Sa%+Sx等于C)答案:A.1BbIQ0工2M：对前n项和要分奇偶分别解决册即；制源习题310炉-99注98L97*，叶2=1?的值是瓦5000B.5050C.10100p.20200就并现求机蜀蛹（我.欣=口00+99）+福融力+展1）=5050.修会B,丁，%：.0ato.s*：a8,*fo岂*a、:七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的曲n项和屋是一个重要的方法.r-UPJF”*.a-g.例15J求1+11+111+-+1111比和域上崎印17O矛:解幅蜉

12、盘再豳孝顼谢卷鬓崛唱豌圈港版1x999=1(10-1)学吐i,141141lli+lllfk7J鹏忖iiia一(10-D+g(10-l)+g(103-+八+(10网一二上。01+io?+io,+H+ionj-Q+i+y+!)9%胡而找通项及特征分组求和1io(iow丁1)n8101-6t叫物19 P例16已知数列Kb%篇FT求色+建/*J.“川）的值解：丫5/锹%4+1：=8（+项(仃+1)(n4-3)(“+2X”+4)，找通项及特征。J。？（设制分组A t,门+ 4/i+3k+4裂项Oi+2X/i+4)+(n+3)(+4)工 (fix%g=4(（分组、裂项求和）1I三一一一广之（九+2m+4右:=4式一上3+834413*Ai一提高练习:1 .已知数列%中是其前项和更并且5向=44+2（”=1,2*/=1?设数列感=a用一2册伽=L2,f；）,求证二数列阮是等比