数值积分与数值微分习题课

1、数值积分与数值微分习题课（共21页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-数值积分与数值微分习题课26一、已知Xo1,Xi1,X2给出以这3个点为求积424节点在0.1上的插值型求积公式解：过这3个点的插值多项式基函数为XX1XX2l02XX0X1X0X2XX0XX2li2XXiX0XiX2XX0XXil22XX2X0X2X11A01k2XdX,k0,1,2x0x1x0x2xx0xx2(x1x0x1乂2xx0xKx2x0x2x1A0101dx01xx1xx213xx241113424413xx441113242411xx42313144421dxdx0

2、1dx01dx0故所求的插值型求积公式为xdx2f:、确定求积公式1.1-fxdx5f.0.68f05f.0.619的代数精度，它是Gauss公式吗证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验2345,依次取fx1,x,x,x,x,x,有11dx11xdx115181519x 0.615怎80591o12ox2dx5x0.680251901x3dx151靛38035例192114a一x4dx-50.68045、0.651901x5dx15J06580551 9本题已经达到2n-1=5。故它是Gauss公式、试应用复合梯形公式计算积分21dx12x要求误差不超过103,并把计算结果与准确值比较。

3、解：复合梯形公式的余项为b._ba2.Rfaf(X)dXTnb a2nn1f(a)f(b)2f(Xk)k1baXkakh,h,k0,1,2,，nn本题fx1x3,M2maxfx1,2本题余项为)于是有100.1要使Rb-a2-1n=一IT1021021.1检验:2ln2h2maxf(x)12x1,20.109545,21.221.9x1丫12取h0.10.3468863.12111104103四、证明若函数fxC1a,b,则其上的一阶差商函数是连续函数，并借助此结果用Newtong插值余项证明梯形求积公式的余项为bba12x0Rffxdxafafba2证明：不妨设一阶差商函数为fx,a,fx0

4、hfalimfx0h,alimh0h0x0hafx0fhfalimf x0f af x0,ax0 ah0x0hafx0fafhlimh0x0hax0ha由x的任意性，可知一阶差商函数是连续函数由插值特点，显然有bbRffxL1xdxfxN1xdxaa线性插值的Newton余项公式为fxN1xfx,a,bxaxb故有bR1ffx,a,bxaxbdxa由fxh,afa,blimfxh,a,blimlim f x h,a f a,b h 0x bh0h0xhbfx,afa,bfx,a,bxb可知fx,a,b是变量x在a,b上的连续函数，而函数xaxb定理，存在bfxa在a,b上可积，不变号，根据积分

5、中值a,b由差商性质,N1x存在Ni3fdxfdx,a,bbxaxbdxa,a,bf-o所以xbdx12结论得证。五、导出中矩形公式babfxdxbafa2的余项。解：将fx在x?处进行泰勒展开fxfa2bfa2bab1xfx22a,bo对上式两边在a，b上积分，有bfxdxabfabdxbfaabab,1xdx-bfa2xabdxdx1bf2a2abxdx2中矩形公式的余项bfxdxbfadxbf aabab.fxdx0;222dxfbab2_fxdx2a22ft3f3ba24f24a,b六、设数值求积公式f(x)dxAkf(xk)k1代数精度至少为n-1的充分必要条件是它为插值型求积公式.

6、证:充分性.设原式是插值型求积公式,则式中的求积系数bAkalkn(x)dxlkn(x)f(xk) dxk k 1nInAkf(xk)k1bnlkn(x)dxf(Xk)bLn(x)dxa余项为由知代数精度至少为bf(，)(an!n-1)n(x)dx必要性.设原式代数精度至少为n-1,则对次数不超过n-1的多项式Pr(x)(rn1)原式成立等号，特别地取Lagrange插值基函数lkn(x)，有nlkn(X)dX aAjlkn(Xj),k1,2，nji因为1,ik,lkn(Xi)所以j，0,jk.bAlkn(X)dXa故原式为插值型求积公式七、令P(x虑n次实多项式，满足bk.aP(x)xdx0

7、,k0,n1.证明P(x*E开区间(a,b)中有n个实单根.b证明：因为P(x)dx0所以P(x底a,b上至少有一a个零点。若P(xXk(1)个零点x-i=1,2；k在a,b上，则有P(x)(xxi)(xx2)(x4)g(x)Qkxg(x)g(x)0,或g(x)0Qk(x)(xxi)(xx2)(xxk)k二Qk(x)akxkak1xk1a1xa0aix,(kn1)i0及bP(x)xkdx0,k0,1，,n1所以a,bP(x)Qk(x)dx akP(x)a, xi dxi 0k ba, & P(x)xdx 00若零点个数kn1,有b2g(x)Qk(x)dx 0abP(x)Qk(x)dxa矛盾，因

8、此kn,即P(x)在a,b至少有n个零点，但P(x)是n次实多项式，故k=n。八、已知点(a,f(a),f(a)和(b,f(b),f(b)，用该信息计b算定积分f(x)dx。a解：记山为f(x)关于节点a,b的Hermite插值多项H3(x)h0(x)f(a)h1(x)f(b)g0(x)f(a)g1(x)f(b)bh1(x)dx f (b) abbbf(x)dxH3(x)dxh0(x)dxf(a)bbg0(x)dxf(a)g1(x)dxf(b)aabho(x)dx abh1(x)dx ax ax b2 b aa b22 b a dx 2dxbgo(x)dxaa2dxbgi(x)dx a所以有2x a .dxb ab a22 a122b a122bbabaaf(x)dx2f(a)f(b)-2f(a)f(b)误差为-4-4bf4()22f4()5R(f)，xaxbdxbaa4720九、验证Gauss型求积公式eXf(x)dxAof(xo)Af(x)o求积系数及节点分别为A 2 1 A 2 1-A0好A玄心2行