数列极限和数学归纳法练习(有答案)

1、,掌握公比q当,并用于解决简单的问,会利用归纳、猜想和数列极限和数学归纳法、知识点整理数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限0<|q<1时无穷等比数列前n项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式题。2.一n11、理解数列极限的概念：n,(-1)，等数列的极限n2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广13、吊见数列的极限：jim-=0,nlimq=0(q|<1),/=C4、无穷等比数列的各项和：SqlimSn=言(0<|q<1)数学归纳法：数学归纳法

2、原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题证明”处理数列问题(1)、证明恒等式和整除问题(充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明32n攵-gn-9能被64整除，32k*8(k+1)9)=9(32k也8k9)+64(k+1),证明的目标非常明确；(2)、归纳猜想证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。、填空题3n12n1、计算：nm/；产12、有一列正方体，棱长组成以1为首项、,为公比的等比数列，体积分别记为2lim(V1V2Vn)=8n一.二73、limn 20n-F： 3n 131114、数列an)的通项公式an = <1n(n 1),n =1

3、 _ - 、 、* 一一. _ _ _(n二N ),刖n项和为Sn,则lim Snn - 2n5、设4n是公比为1的等比数列，且lim(a1+a3+a5+'+a2nl)=4,则a1=32n6、在等比数列 Gn)中，已知 aia2 =32,a3a4 =2 ,则 lim f &+a2+H|+an 1= ±16 n-'7、数列，的通项公式是 an =3- +(-2)- + ,贝U lim(a1 +a2 +an)=-.n ，二一68、已知数列an是无穷等比数列，其前n项和是Sn, 右 a2 + a3 = 2 , a3 * ad=1 ,叫骑的值为J36一.9、设数列-满

4、足当an >n2 (n N*)成立时，总可以推出前十>(n +1)2成立.下列四个命题(1)若 a3 W9 ,贝u a4 M16 . ( 2)若 =10 ,则 % >25 . (3)若 a5 W 25 ,则 a4 M16 .(4)若a。>(n +1)2,则a。卡>n2 .其中正确的命题是 _ (2) (3)_(4) .(填写你认为正确 的所有命题序号) *10、将直线 l1 ： x + y1=0, l2： nx + yn=0, l3 ： x + nyn = 0 ( n= N , n 2 2)围成的三角形面积记为Sn ,则lim Sn =1_nr”211、在无穷等比

5、数列an中，所有项和等于2,则a1的取值范围是 (0,2)|J(2,4)-1/52 a a2 = lim( a4 a5 1H an),12、设无穷等比数列an的公比为q,若nT心，则4=右一/122、，12、一，13、 已知点 A'1 +- , 0 1, B 0,2十一 i, C 2十一，3十一 I,其中n为正整数，设Sn表示1nl < nJ n n n.)ABC的面积，叫&& =2.5_14、 下列关于极限的计算，箱误的序号 (2)24bm + 1m + hn甩,圮T9 力花TCO=0+0+ +0=0(3)(4)2foi为奇数), 3力5为偶物已知(15)已知f

6、(x谑定义在实数集R上的不恒为零的函数，且对于任意a,bR,满足f(2)=2,f 2n2n,其中nwN .考察下列结论：f(0)= f(1)；f (x强R上的偶函数；数列an为等比数列 正确结论的序号有；数列bn为等差数列.其中二、选择题：16、已知 a a0, b >0,若 limn j 二n 1 n 1a - b-=5 ,则a + b的值不可能 n n a - b(D)7.(B) 8.(C) 9.(D) 10.17、若lim匚，存在，则r的取值范围是 n 二 1 2r(A) )(A)r-13(B) r < 1 或1 , -、r > 一一；( D)3观察下列式子：11工22

7、2 :- 322232427,"4可以猜想结论为(C).11(A) 1 -231+2n2n 1(B)2232(n 1)2(C)1 12211 I322(n 1)2n 1LnN*)(D) 1223219、已知an2n -1.n <2012,Sn是数列&的前n项和(.n -20122n -1<n2n 1(n N*)(n N*)(A)(A)liman和limSn都存在；(B)liman和limSn都不存在。n-n-n-n(C)liman存在，limSn不存在；(D)liman不存在，limSn存在。n.，nn=：nn=：nn二n2220、设双曲线nx(n+1)y=1(n

8、、N)上动点P到定点Q(1,0)的距离的最小值为dn,则n叽dn的为(A)(aT2(B)i(D)三、综合题：21、在数列I中，&=1,an=2an上十-n(n*2,nN*)。(1)求a2,a3,a4;n(n1)(2)猜想数列Ln7的通项公式，并证明你的结论82359小、n2a2=,a3=,a4=;(2)an=32一345.2222、已知数列满足anA0,双曲线Cn:人-y-=1(nwN*)。anan1(1)若ai=1,32=2,双曲线Cn的焦距为2Cn,cn="-1,求an的通项公式；(2)如图，在双曲线Cn的右支上取点R(xpn,n),过Pn作y轴的_垂线，在第一象限内交C

9、n的渐近线于点Qn,联结OPn,记AOPnQn的面积为SnO若liman=2,求limSn。nn.Cnn-'n(关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若limun=A(un之0),_n.；：则limun="A。)n-.Jn2nT,nisodd29.(1)an=4;(2)2n-2,niseven数列综合题1 .定义：如果数列an的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称an为主角形”数列.对于主角形”数列Ln,如果函数y=f(x)使得bn=f(an)仍为一个主角形”数列，则称y=f(x)是数列an的保三角形函数”，(nwn*).(1)已知an是首项为2,公差为1的等差数列，

10、若f(x)=kx,(k>1)是数列(aj的保三角形函数”，求k的取值范围；(2)已知数列g的首项为2010,Sn是数列LJ的前n项和，且满足4Sn由一3Sn=8040,证明匕是主角形”数列。解：(1)显然=附+L%+%>对任意正整数都成立，即(是三角形数列因为k>1,显然有)<,由/(%)+/&+二"曝)得所以当2时，75)二£是数列的保三角形函数”.(2)由=得伺3&t=2040，两式相减得匕=0门广】=20W_所以，经检验，此通项公式满足45-4=8040=2010-+2010-=2C10-显然16所以1%是主角形”数列.2 .已

11、知数列tn)的前n项和为Sn,ai=1,3anJ40=3(n为正整数).(1)求数列Qn的通项公式；(2)记S=a1+a2+an+，若对任意正整数n,kS<Sn包成立，求k的取值范围？(3)已知集合A=xx2+a<(a+1)x,a>0若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Tn,问是否存在实数a使得对于任意的nWN*,均有TnA.若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.23.由题意知，当n之2时，户小'恪=3两式相减变形得：亘史=(n之2)3%48nL3an3又n=1时，a2=，于是也=1分23a131故an是以a1=1为首项，公比q=-1的等比数列3I *

12、、,an=/。一，=N)分(一3)1341八(2)由8=7=得k<-Sn=1-n=f(n)汾II 43(-3)388当n是偶数时，f(n)是n的增函数，于是f(n)min=f(2)=-,故k<87分当n是奇数时，99f(n)是n的减函数,因为|imf(n)=1,故k01.n.10综上所述，k的取值范围是(§)9(3)当a对时,A=x|1<x'a,T2=a+a2,若T2亡A，贝”Wa+Ka.-2aa-1_0,又过点当0<a<1时,A=x|a<x<1.Tn二a,a2-HI,an=一a(1-an)而1-a是关于n的增函数.a之1此不等式组的

13、解集为空集.且1%二言，故小，言）.分181一1直线P2Pl的方程为y-4=(x-4),即y=22P1(4,4),1分2x=4y*+2由1得P2(2,1),2分yx22得Ja2<0,即当a之1时,不存在满足条件的实数a0:二a；1,因此对任意的nNTnwA,只需a1-1.0：二a1-a解得23.已知抛物线x2=4y,过原点作余率为1的直线交抛物线于第一象限内一点1一，,1率为1的直线交抛物线于点F2,再过P2作斜率为1的直线交抛物线于点P3,241,般地，过点Pn作斜率为一的直线交抛物线于点Pn41,设点Pn（xn,yn）.2n求点嗑的坐标.（1）直线OP1的方程为y=x,由x2=4y解

14、得y=x(1)(2)令bn=x2n由一x2n，求证：数列bn是等比数列；(3)记P奇（x奇,y奇）为点列P,P3,P2n山一的极限点，,如此继续。直线113.P2P3的方程为y1=(x+2),即丫=_x+_由442所以x3x1=34=1.x2=4y113解得，y二一x一42，3,分9P3(3，；)(2)12、为Pn(xn,4xn)'-,12,r,r,、ya1（-xn；）,由抛物线的方程和斜率公式得到4221xn1-xn4xn1xn1一二4一”xn1xn52n所以4+xn=2两式相减得,6分用2n代换n得bn=x2n书-x2n=44n由（1）知，当n=1时,上式成立，所以bn是等比数列，

15、通项公式为bn=44n7分(3)由x2n书-x2n_1得,4x3_x=,x§_x3=4以上各式相加得x2nl.=8'3即点噎的坐标为i.13,9J42'434n4=一下，8分10分所以x奇=limx2n书=-n二312分194、设数列an的首项,3厂a1为常数.a1=一，且a5J3nn书=3n2an(nWN*).(1)证明：小、5等比数列；（2）若a13,an中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不2存在说明理由.（3）若匕0是递增数列，求a1的取值范围.32.证明：（1）因为1八n1an1一工35anT35=-2,所以数列3n<an一%是等比数列

16、；3分53n一(2)4an-一卜是5公比为一2,首项为a139-二一的等比数列.通项公式为5103n33n9an=一十口一一（2）2=一十一（一2）2,4分若an中存在连续三项成等差数列，则必有5.55103n193n93n92an=an十an虫，即23+(-2)=+(-2)+3+(-2)解得n=4,510510510a4,a5,a6成等差数列.7分.3n13n3n3n1(3)如果an+>an成立，即+a1-1(2)>+a1-1(-2)对任意自然数均成立5.55.5化简得±3n._(ai_3)(_2)n9分当n为偶数时a1>3_(3)n,1555152343n一因为

17、p(n)=(一)是递减数列，所以p(n)max=p(2)=0,即a1A0；10分5152343c343c当n为奇数时，a1<3十土(金)n,因为q(n)=3+2(3)n是递增数列，51525152所以q(n)min=q(1)=1,即a1<1；11分故a1的取值范围为(0,1).12分5、已知各项均不为零的数列an)的前n项和为Sn,且4Sn=anan书十1(nWN"),其中口=1.(1)求证：&,a3,a5成等差数列；(2)求证：数列口是等差数列；(3)设数列>满足2bn=1+1(nWN"),且Tn为其前n项和，求证：对任意正整数n,不等式an2T

18、n>log2an+恒成立.证：(1)当n=1时，由a1=1,及4=4S=a1a2+1得a2=3;当n=2时，由4S2=4(1+3)=a2a3+1=3a3+1得a3=5;(2分)当n=3时，由4&=4(1+3+5)=a3a4+1=5a4+1得a4=7;当n=4时，由4S4=4(1+3+5+7)=a4a5+1=7a5+1得a5=9;一(4分)由此可得：a1,a3,a5成等差数列.(5分)(2)当n22时，由4an=4Sn-4Sn,=(anan+1)(an二an+1)=an(an由一an)，(7分)由an#0,故an+an=4,即ant-an=4(nnN*).从而a2mlaa14(m-

19、1)=4m-3=2(2m-1)-1,a2m=a24(m-1)=4m-1=2(2m)-1,因此an=2n-1(nwN"),故数列an是等差数列.(10分).一-*、6、已知数列an、bn的各项均为正数，且对任意nWN，都有an,bn,an中成等差数列bnan书，bn书成等比数列，且a1=10,a2=15.（1）求证：数列Jb是等差数列；（2）求数列an、bn的通项公式。an7、在数列In）中，已知a2=1,前n项和为Sn,且Sn=naa1）.（其中nN*）。（1）求2数列化）的通项公式；（2）求lim:n2（1）因为Sn=n（an-a1）-,令n=2,得a1+a2=2a-a1）,所以a

20、=0；222分）(或者令n=1,得a1=f=0)2当n8时，.书=913二呢=他1妈±an 1an=,推得红n -1a322(n1)an1nanan1=Sn1-Sn=；22又a2=1,a3=2a2=3,所以an由=n当n=1,2时也成立，所以an=n1,(nN*)(6分)Sn1.(2)lim=19分)i：n228、已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+an=4,nwN*(1)求数列an的通项公式；(2)已知，=2n+3(nN*),记d0=g+logcan(C>0且C=1),是否存在这样的常数C,使得数列dn是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由.解(1)a1=4a，所以a1=21分由Sn+an=4得n*2时，Sn/+an=4