数学(理)人教A新设计大一轮讲义+习题：第二章第8节函数与方程

1、第8节函数与方程最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.I知识衍化体验I藕!亶亶独趣翔建分霎基砒藕知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)=0有实数根？函数y=f(x)的图象与x轴有交点？函数y=f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y=f(x)满足：在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线；ff(b)<0；则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点，即存在cC(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)

2、=0的根.2.二次函数v=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系A=b24ac2>0A=0A<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象必11.与x轴的交点(xi,0),(x20)(xi_,0)无交点零点个数210微点提醒1 .若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实根.J弓2 .由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间a,b上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0,如图所示，所以f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件.基础自测

3、疑误解析1.判断下列结论正误(在括号内打或"x”)(1)函数f(x)=lgx的零点是(1,0).()(2)图象连续的函数y=f(x)(xCD)在区间(a,b)?D内有零点，则f(a)f(b)<0.()二次函数y=ax2+bx+c(aw0)在b24ac<0时没有零点.()解析(1)f(x)=lgx的零点是1,故错.(2)f(a)f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)X(2)X(3)，教材衍化2.(必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)一4-2147在下列区

4、间中，函数f(x)必有零点的区间为()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f<0,所以函数在(2,3)内有零点.答案B3.(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)内，那么下列命题正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间2,16)上无零点D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析由题意可确定f(x)唯一的零点在区间(0,2)

5、内，故在区间2,16)内无零点.答案C考题体验4 .(2018济南月考)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是()A.(0°,1)B.(1,+00)C.(8,1D.1,+oo)解析因为函数f(x)=x2+2x+a没有零点，所以方程x2+2x+a=0无实根，即A=44a<0,由此可得a>1.答案B5 .(2018全国出卷)函数f(x)=cos3x+6板0,nt的零点个数是.解析由题意知，cospx+6j=0,所以3x+6=2+kkCZ,所以x=：+罪kCZ,当k=0时，x=9；当k=1时，x=狭当k=2时，x=?均满足题意，所以999函数f(x)在0,

6、T的零点个数为3.答案36.(2019西安调研)方程2x+3x=k的解在1,2)内，则k的取值范围是.解析令函数f(x)=2x+3xk,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时，f(1)f<0,即(5k)(10k)<0,解得5<k<10.又当f(1)=0时，k=5.则方程2x+3x=k的解在1,2)内，k的取值范围是5,10).答案5,10)I考点聚焦突破I富|噩噩|嚣噩噩襄篡案鸣腿例求泼藕考点一函数零点所在区间的判定【例1】(1)设f(x)=lnx+x-2,则函数f(x)零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,

7、4)x2、一3-1(2)设函数y=x与y=21的图象的父点为(x0,yO),右xoC(n,n+1),nCN,则X0所在的区间是解析(1)因为y=ln乂与丫=x-2在(0,+°°)上都是增函数,所以f(x)=lnx+x-2在(0,+00)上是增函数,又f(1)=ln1+12=1<0,f(2)=ln2>0,根据零点存在性定理，可知函数f(x)=lnx+x2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内.x_2(2)设f(x)=x3gj,则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y=x32的图象如图所示.1因为 f(1)=1 2J1<001f(2)=8-C)=7&

8、gt;0,所以 f(1)f(2)<0,所以 xoC(12).答案(1)B(2)(1,2)规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法:(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数v=f(x)在区间a,b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练1若a<b<c,则函数f(x)=(xa)(xb)+(xb)(xc)+(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+

9、oo)内D.(a)和(c,+oo)(2)函数f(x)=lnxx2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析(1)-a<b<c,.f(a)=(ab)(ac)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知：在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.(2)易知f(x)=lnx2在定义域(0,+8)上是增函数，又f(1)=2<0,f(2)=ln2x-2>0.根

10、据零点存在性定理，可知函数f(x)=lnx§有唯一零点，且在区间(1,2)内.x答案(1)A(2)B考点二确定函数零点的个数x?+x2,x00,【例2】(1)(一题多解)函数f(x)=一八的零点个数为()1+lnx,x>0A.3B.2C.1D.0x2+2,x0,1),(2019安庆二模)定义在R上的函数f(x),满足f(x)=，2彳且2x,x1,0),F(x) = f(x)g(x)在(0, +oo)内的零f(x+1)=f(x1),若g(x)=3log2x,则函数点有()A.3个B.2个C.1个D.0个x>0,1+ln x=0,解析(1)法x<0,由f(x)=0得12

11、+x2=0或'解得x=-2或x=e.因此函数f(x)共有2个零点.法二函数f(x)的图象如图1所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.31I-2-4(2)由f(x+1)=f(x1),即f(x+2)=f(x),知y=f(x)的周期T=2.在同一坐标系中作出丫=£仅)与丫=g(x)的图象(如图2).由于两函数图象有2个交点.所以函数F(x)=f(x)g(x)在(0,+8)内有2个零点.答案(1)B(2)B规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)=0,有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0

12、,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【训练2】(1)函数f(x)=3x|lnx|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2019桂林调研)设函数f(x)=2x|+x23,则函数v=f(x)的零点个数是()A.4B.3C.2D.1解析(1)函数f(x)=3x|lnx|1的零点数的个数即函数g(x)=|lnx|与函数h(x)=x图象的交点个数.x1,作出函数g(x)=|lnx|和函数h(x)=gj的图象，由图象可知，两函数图象有两个交点，故函数f(x)=3x|lnx|一1有2个零点.(2)易知f(x)是偶函数，当x0时

13、，f(x)=2x+x2-3,.x>0时，f(x)在(0,+8)上是增函数，且f(1)=0,；x=1是函数y=f(x)在(0,+8)上唯一零点.从而x=1是y=f(x)在(一8,0)内的零点.故y=f(x)有两个零点.答案(1)B(2)C考点三函数零点的应用'ex+a,x<0,【例3】(1)已知函数f(x)=3(aCR),若函数f(x)在R上有两个零3x1,x>0、-点，则a的取值范围是()A.(OO,1)B.(OO,1)C.(-1,0)D.-1,0)ex,x<0,(2018全国I卷)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个Jnx,x>

14、;0,零点，则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+8)C.1,+00)D.1,+oo)解析当x>0时，f(x)=3x1有一个零点x=；.3因此当x00时，f(x)=ex+a=0只有一个实根，.a=ex(x00),则一10a<0.(2)函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程f(x)=xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y=xa有2个交点.作出直线y=xa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，一a<1,解得a>-1,故选C.答案(1)D(2)C规律方法1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参

15、数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.x4,x>A,【训练3】(2018浙江卷)已知入CR,函数f(x)=$2X4x+3,x<入当人=2时，不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点，则入的取值范围是.解析(1)若仁2,当x2时，令x-4<0,得2<x<4;当x<2时，令x2-4x+3<0,解得1<x<2.综上可知，1<x<4,所以不等式f(x)&

16、lt;0的解集为(1,4).(2)令f(x)=0,当x>入时，x=4,当乂<入时，x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1虐3或A4.答案(1)(1,4)(2)(1,3U(4,+-)反思与感悟思维升华1 .转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2 .判断函数零点个数的常用方法通过解方程来判断.根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数y=f(x)g(x)的零点个数转化为函数y=f(x)与y=g(x)图象公共点的个数来判断.易错防

17、范1 .函数的零点不是点，是方程f(x)=0的实根.2 .函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.I分层限时训练分层训练.提升能力基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题2x-1,x<1,1 .已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为()、1+lOg2X,x>1,1 1_A./,0B.-2,0C.2D.0解析当x01时，令f(x)=2X1=0,解得x=0;，,“i1当x>1时，令f(x)=1+log2x=0,解得x=2，又因为x>1,所

18、以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案Dx2x,x00,2.(2019岳阳二模)已知函数f(x)=$1x>0则函数丫=f(x)+3x的零点个数x'，是()A.0B.1C.2D.3解析函数y=f(x)+3x的零点个数就是y=f(x)与y=3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.答案C3.函数 f(x) = 2x2a x的一个零点在区间(12)内，则实数a的取值范围是()A.(1 ， 3)B.(1,2)C.(0, 3)DQ2)解析因为函数f(x)=2x2a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)=2x2axx的一个零点在区间(1,2)内，则

19、有ff(2)<0,所以(一a)(41a)<0,即a(a3)<0,所以0<a<3.答案C.114.函数f(x)=lnx+x-2的零点所在的区间是()2x1 /-A.e，1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)e解析易知f(x)在(0,+°°)上单调递增且f(2)=，21<0,f(e)=+e-222e2>0./.f(2)f(e)<0,故f(x)的零点在区间(2,e)内.答案C5 .(2019湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(Ax)只有一个零点，则实数人的值是(3D. 一81

20、17A.4B.8c8解析令y=f(2x2+1)+f(Ax)=0,则f(2x2+1)=f(卜x)=f(x；),因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2+1=x%只有一个实根，即2x2-x+1+人=0只有一个实根，则A=18(1+=0,解得甘-8.答案C6 .已知函数f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=log2x1的零点依次为a,b,c,则()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c解析令函数f(x)=2x+x+1=0,可知x<0,即a<0；令g(x)=log2x+x+1=0,贝U0<x&

21、lt;1,即0<b<1；令h(x)=log2x1=0,可知x=2,即c=2.显然a<b<c.答案A1,x<0,7 .已知函数f(x)=Sl则使方程x+f(x)=m有解的实数m的取值范围是1X，x>0,x()A.(1,2)B.(°0,2C.(-oo,1)U(2,+3D.(0°,1U2,i)解析当x00时，x+f(x)=m,即x+1=m,解彳3m<1；当x>0时，x+f(x)=m,即x+J=m,解得m>2,即实数m的取值范围是(一00,1u2,+oo).x答案Dln(x+1)(x>0),8.(2019北京燕博园联考)已

22、知函数f(x)=x3_3x(x<0)若函数y=f(x)k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(-2,2)B.(-2,1)C.(0,2)D.(1,3)解析当x<0时，f(x)=x33x,则f'x)=3x23,令f'x)=0,，x=由(舍去正根)，故f(x)在(oo,1)上单调递增，在(1,0)上单调递减.又f(x)=ln(x+1)在(0,+°°)上单调递增.则函数f(x)图象如图所示.f(x)极大值=f(1)=2,且f(0)=0,故当kC(0,2)时,y=f(x)k有三个不同零点答案C、填空题9.函数f(x)=x2g)的零点个数为.1x1

23、x解析令f(x)=0,得x2=2).在同一坐标系中画出函数y=x3y=的图象.如图所示，由图可知两函数图象有1个交点，故f(x)的零点只有一个.-2-J0L23答案110 .在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=xa|1的图象只有一个交点，则a的值为.解析函数y=|xa|1的图象如图所示，因为直线y=2a与函数y=|x-a|11的图象只有一个父点，故2a=1,解得a=2.1答案2|lgx|,x>0,211 .已知f(x)=12冈x<0则函数y=2f(x)23f(x)+1的零点个数是21解析由2f(x)23f(x)+1=0得f(x)=2或f(x)=1,作出函数y=f(x)

24、的图象.，1，由图象知y=2与y=f(x)的图象有2个父点，y=1与y=f(x)的图象有3个父点.因此函数y=2f(x)2-3f(x)+1的零点有5个.答案 512.(2018天津卷)已知a>0,函数f(x) =2+2ax+a,x<0,、一x2+2ax2a,x>0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是.解析当x00时，由x2+2ax+a=ax,得a=x2ax；当x>0时，由一x2+2ax2a=ax,彳#2a=x2+ax.x2ax,x<0,令曲=x2+ax,x>0.2a作出y=a(x00),y=2a(x>0),函数g(x)的图象如图所小，g(x)的取大值为一彳十a2a2a22"=了，由图象可知，若f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a<i<2a,解得4<a<8.答案(4,8)能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2019永州市莫拟)已知函数f(x)=a+log2(x2+a)(a>0)的最小值为8,则实数a的取值范围是()A.(5,6)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)解析由于f(x)在0,+8)上是增函数，在(OO,0)上是