数学(理)人教A新设计大一轮讲义+习题：第二章第2节函数的单调性与最值

1、第2节函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质叵.顾教材,夯实基础I知识衍化体验知识梳理1.函数的单调性单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任忠两个自变重的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(xj)>f(x2)、那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的q叫k自向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上

2、是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的止义域为I,如果存在实数M?两足条件对于任意xCI,都有f(x)&M；(2)存在xoI,使得f(xo)=M(3)对于任意xI,都有f(x)为M;存在xoCI,使得f(xp)=M结论M为最大值M为最小值微点提醒11 .函数y=f(x)(f(x)>0)在公共止义域内与y=f(x),y=f的单调性相反.2 .“对勾函数"y=x+a(a>0)的单调增区间为(8,7a),他，+00)；单调x减区间是【一ya,0),(0,洞.基

3、础自测疑误解析1.判断下列结论正误(在括号内打或"X”)对于函数f(x),xD,若对任意X1,X2D,且XiWX2有(XIX2)f(xi)f(X2)>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.()一一1,(2)函数y=-的单调递减区间是(8,0)U(0,+°°).()x对于函数y=f(x),若f(1)vf(3),则f(x)为增函数.()(4)函数y=f(x)在1,+00)上是增函数，则函数的单调递增区间是1,+oo).()解析(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1=1,x2=1,则f(1)<f(1),故应说成单调递减区间为(一°°,

4、0)和(0,+oo).(3)应对任意的x1<x2,f(x1)<f(x2)成立才可以.(4)若f(x)=x,f(x)在1,+00)上为增函数，但y=f(x)的单调递增区间是R.答案，(2)X(3)X(4)X教材衍牝、2.(必修1P39B3改编)下歹1函数中，在区间(0,+8)内单调递减的是()A.y=；-xB.y=xy=1一x在(0, + 8)内是减函数；B, C选项中的函数在(0, +8)上均不单调； x选项D中，y=ex在(0, +8)上是增函数.答案 A. 23.(必修1P31例4改编)函数y=一；在区间2 , 3上的最大值是.x 1-xxC.y=lnxxD.y=e解析对于A,

5、y1=1在(0,+°°)内是减函数，丫2=乂在(0,+8)内是增函数，则x一一，2，一一解析函数y=在2,3上是减函数，x1,2一2当x=2时，y=取得取大值=2.x-12-1答案2考题体验4.(2018广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()1A.y=f(x)在r上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数1c.y=f(X)在R上为增函数D.y=f(x)在R上为减函数1解析如f(x)=x3,则v=的定义域为(8,0)U(0,+oo)在定义域上f(x1无单调性，A错；则y=f(x)|在R上无单调性，B错；则y=的定义域为f(x)(8,0)U

6、(0,+OO),在定义域上无单调性，C错.答案D5.(2019石家庄调研)若函数f(x)=(m1)x+b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是()A.f(m)>fB.f(m)<41)C.f(m)>f(1)D.f(m)<f(1)解析因为f(x)=(m1)x+b在R上是增函数，则m-1>0,所以m>1,所以f(m)>f(1).答案A6.(2017全国II卷)函数f(x)=ln(x22x8)的单调递增区间是()A.(_oo,2)B.(oo,1)C.(1,+°°)D.(4,+00)解析由x22x8>0,得x>4或x&l

7、t;2.设t=x22x8,则y=Int为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t=x22x8的单调递增区间.函数t=x22x8的单调递增区间为(4,+8),函数f(x)的单调递增区间为(4,+oo).答案D分类由练，以例求法I考点聚焦突恻考点一确定函数的单调性(区问)【例11(1)(2019东北三省四校质检)若函数y=log1(x2ax+3a)在区间(2,十川2上是减函数，则a的取值范围为()A.(oo,4)U2,B.(-4,4C.-4,4)D.-4,4解析令t=x2ax+3a,贝Uy=log-t(t>0),2易知t=x2ax+3a在a，单调递减，在！2,+8'单调递增

8、.:y=log-(x2ax+3a)在区间(2,十°°)上是减函数,22.t=xax+3a在(2,+8)上是增函数，且在(2,+OO)上t>0,a-2>2,H4-2a+3a>0,ae4,4.答案D(2)判断并证明函数f(x)=ax2+1(其中1<a<3)在xC1,2上的单调性.x、解f(x)在1,2上单调递增，证明如下:设10xi<x202,则f(x2)-f(x1)=ax2+-ax2-=(x2-x1)la(x1+x2)，、，x2x1，j由10x1<x202,得x2x1>0,2Vx1+x2<4,1<X1X2<4,

9、1<<.'X1X24又因为1<a<3,所以2<a(x+x2)<12,/口1得a(X1+X2)>0,X1X2'从而f(X2)f(X1)>0,即f(X2)>f(X1),故当aC(1,3)时，f(X)在1,2上单调递增.规律方法1.(1)求函数的单调区问，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用2.(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性;导数法.(2)函数v=fg(X)的单调性应根据外层函数v=f(t)和内层函数t=g(X)的单调

10、性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练11(一题多解)试讨论函数g)=*0)在(一1,1)上的单调性.X1解法一设一1<X1<X2<1,1+1、111f(X户aHT尸aJ+X-1>1111a(X2X1)f(X1)f(X2)=aJ+X11尸aJ+X2-1J=(X1-1)(X2-1)'由于一1<X1<X2<1,所以X2X1>0,X11<0,X21<0,故当a>0时，f(X1)f(X2)>0,即f(X1)>f(X2),函数f(X)在(一1,1)上单调递减；当a<0时，f(X1)f(X2)<0,即f(X1

11、)<f(X2),函数f(X)在(1,1)上单调递增.(aX)'(X1)aX(X1)a(X1)aX_a_fX2、22、22、2.人(x-1)(x-1)(x-1)当a>0时，f'x)<0,函数f(x)在(一1,1)上单调递减;当a<0时，f'x)>0,函数f(x)在(一1,1)上单调递增.考点二求函数的最值【例2】已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a解析(1)f(x) = ax+logax在1, 2上是单调函数，所以 f(1) + f(2)=loga2+6,2则 a+loga1+a + loga2= loga2+6,即(a 2

12、)(a+3) = 0,又 a>0,所以 a=2.(2)f( 3)=lg(3)2+1 = lg 10=1, ff(-3) = f(1)=0,当x>1时，f(x)=x+ 2-3>2V2-3,当且仅当x =42时，取等号，止匕时f(x)min x=2啦3<0;当 x<1 时，f(x) = lg(x2+1)>lg 1=0,当且仅当 x=0 时，取等号，此时 f(x)min =0.；f(x)的最小值为2亚3.答案 (1)C (2)0 272-3规律方法求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点

13、、最低点，求出最值 .1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为()11八A.2B.4C.2D.4(2)已知函数f(x)=$x+x3'x>1,则ff(3)=,f(x)的最小值是Jg(x2+1),x<1,(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备正二定三相等”的条件后用.基本不等式求出最值(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.1【训练2】(1)(2019郑州调研)函数f(x)=F在x1,4上的最大值为M,最小值为m,则Mm的值是()31八911A.16B.2C.4D/4(2)(2018召B阳质检)定义maxa,b,c

14、,为a,b,c中的最大值，设M=max2x,2x-3,6x,则M的最小值是()A.2B.3C.4D.6解析(1)易知耳乂)=而一J在1,4上是增函数，x131、.M=f(x)max=f(4)=216=16，m=f(1)=0.-31(2)画出函数 M = 2x, 2x-3,因止匕M-m=6x的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2,4)处取得最小值22=6-2=4,故M的最小值为4.答案(1)A(2)C考点三函数单调性的应用“'A多维探究角度1利用单调性比较大小【例3-11已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当X2>xi>1时，f(x2)f(x1) (x2X

15、i)<0 包成立，设 a=f2j,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c解析由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，所以a=f1j=f|j当X2>X1>1时，f(X2)f(X1)(X2X1)<0恒成立,等价于函数f(X)在(1,+00)上单调递减，所以b>a>c.答案D角度2求解函数不等式2X,x<0,【例32(2018全国I卷)设函数f(x)=*则满足f(x+1)

16、<f(2x)的xU,x>0.的取值范围是()A.(8,1B.(0,+OO)C.(T,0)D.(0°,0)解析当x00时，函数f(x)=2-x是减函数，则f(x)>f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象知，要使f(x+1)<f(2x),当且仅当'x+1<0,x+1>0,2x<0,或2x<0,L2x<x+1解得 x< 1 或一1<x<0,即 x<0.答案D角度3求参数的值或取值范围(2a)x+1,x<1,f(xi)f(x2)【例33】已知f(x)=满足对任意xil2,都有f()f(

17、)>0、ax,x>1xi-x2成立，那么实数a的取值范围是.f(xi)f(x2)解析对任意xiWx2,都有>0,xix2所以y=f(x)在(一8,+oo)上是增函数.f2-a>0,-23所以a>i,解得2&a<2.1(2-a)xi+Ka,73、故实数a的取值范围是另，2；二3、答案2,2)规律方法I.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(i)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

18、求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去f'.【训练3】(I)已知奇函数f(x)在R上是增函数，若a=Cogz；，b=f(log24.i),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b若函数f(x)=x2+2ax与g(x)=一此在区间i,2上都是减函数，则a的取值xII范围是()A.(-I,0)U(0,i)B.(T,0)U(0,iC.(0,i)D.(0,i解析(1)由f(x)是奇函数，得a=fog25J=f(log25).又log25>log24.1>2&

19、gt;20.8,且y=f(x)在R上是增函数，所以a>b>c.(2)因为f(x)=x2+2ax=(xa)2+a2在1,2上为减函数，所以由其图象得a<1,g(x)=g'x)= 一(x+ 1)要使g（x）在1,2上为减函数,需g'x）<0在1,2上恒成立,故有a<0,因此a>0,综上可知0<a01.答案（1）C（2）D反思与感悟思维升华1 .利用定义证明或判断函数单调性的步骤：取值；（2）作差；（3）定号；（4）判断.2 .确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3 .求函数最值

20、的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；开区间上的“单峰”函数一定存在最大值（最小值）.易错防范1 .区分两个概念：”函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2 .函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接,不要用.例如，函数f（x）在区间（一1,0）上是减函数，在（0,1）上是减函数,1但在(一1,0)U(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)=1.x分层训练鬻蕤无能力)D.2I分层限时训练基

21、础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1 .函数f(x)=x+X在12,3上的最大值是(A.3B.-8C.-22 3解析易知f(x)在1一2,11上是减函数，.、13f(x)max=f(2)=22=2.答案A2.(2019广州,K拟)下列函数f(x)中，满足“？x1,x2C(0,+8)且x1wx2,(x1x2)f(x1)f(x2)<0"的是()A.f(x)=2xB.f(x)=x-1|-1C.f(x)=xD.f(x)=ln(x+1)x解析由(x1x2)1f(x1)f(x2)<0可知，f(x)在(0,+8)上是减函数，A,D选项1一中，f(x)为增函数；B中，f(x)=x

22、1|在(0,+00)上不单调，对于f(x)=-x,因x、，1,为丫=1与y=x在(0,+00)上单调递减，因此f(x)在(0,十0°)上是减函数.答案C3 .(2019兰州一模)已知函数f(x)=loga(x22x+3)(a>0且aw1),若f(0)<0,贝U此函数的单调递增区间是()A.(-oo,-1B.1,+00)C.-1,1)D.(-3,-1解析令g(x)=x22x+3,由题意知g(x)>0,可得一3<x<1,故函数的定义域为x3<x<1.根据f(0)=loga3<0,可得0<a<1,又g(x)在定义域(3,1)内的减

23、区间是1,1),，f(x)的单调递增区间为1,1).答案C2-x4 .函数y=xC(m,n的取小值为0,则m的取值氾围是()'x+1、-、，A.(1,2)B.(1,2)C.1,2)D.-1,2)2x3(x+1)3解析函数y=-1在区间(1,+8)上是减函数，且x+1x+1x+1f(2)=0,所以n=2.根据题意，x(m,n时，ymin=0.；m的取值范围是1,2).答案D5 .(2019蚌埠本K拟)已知单调函数f(x),对任意的xCR都有甲(x)2=6,则f(2)=()A.2B.4C.6D.8解析设t=f(x)2x,则f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,则f(t)=2t+t=

24、6,=”)是单调函数，且f(2)=22+2=6,.t=2,即f(x)=2x+2,则f(2)=4+2=6.答案C二、填空题1,x>0,6 .设函数f(x)=<0,x=0,g(x)=x2f(x1),则函数g(x)的递减区间是.I1,x<0,x2(x>1),解析由题意知g(x)=<0(x=1),函数的图象如图所示的实线部分，根据【-x2(x<1),图象，g(x)的递减区间是0,1).答案0,1)ax+17 .设函数f(x)=Xx21在区间(2,+8)上是增函数，那么a的取值范围是ax+2a22a2+12a2-1解析f(x)=ax+2ax+2a:函数f(x)在区间(

25、2,+8)上是增函数,2a2-1>0,2a2-1>0,i即4IPa>1.2a02,a>1,答案1,+oo)a,a<b,8 .(一题多解)(2019成都诊断)对于任意实数a,b,定义mina,b=J设Jb,a>b.函数f(x)=x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=minf(x),g(x)的最大值是解析法一在同一坐标系中，作函数f(x),g(x)图象,依题意,h(x)的图象如图所示的实线部分易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1.log2x,0<x<2,法二依题意，h(x)=$、一x+3,x>2.当0&l

26、t;x02时，h(x)=log2x是增函数，当x>2时，h(x)=3x是减函数,因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1.答案1三、解答题9 .已知函数f(x)=一(a>0,x>0).ax'(1)求证：f(x)在(0,+00)上是增函数；若f(x)在2I上的值域是2，2L求a的值.(1)证明设x2>xi>0,则x2xi>0,xix2>0, f(x2)f(x1)=x2卜原一AJ=-x2 、由就思可行loga4=1,解得a=4，?两足条件.>0,.f(x2)>f(x1),ax2axx1x2x1x2 f(x)在(0,+8)上是增函数.

27、解:")在12,2I上的值域是g21,又由得f(x)在&2上是单调增函数， f尸2，f(2)=2,易得a=g.10.函数f(x)=loga(1x)+loga(x+3)(0<a<1).(1)求方程f(x)=0的解.(2)若函数f(x)的最小值为一1,求a的值.1x>0,解(1)由V得3<x<1.、x+3>0,；f(x)的定义域为(一3,1).贝Uf(x)=loga(x22x+3),xC(3,1),令f(x)=0,得一x22x+3=1,解得x=一1±V3e(3,1).故f(x)=0的解为x=1班.由(1)得f(x)=loga(x+1)

28、2+4,x(3,1),由于0v(x+1)2+404,且aC(0,1),.2loga(x+1)+4>loga4,所以a的值为1.4能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017全国I卷)已知函数f(x)在(一oo,+oo)上单调递减，且为奇函数.若f(1)=1,则满足一1&f(x2)&1的x的取值范围是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3解析f(x)为奇函数，f(x)=f(x).f(1)=1,.f(1)=f(1)=1.故由一10f(x2)<1,得f(1)<f(x-2)<f(-1).又f(x)在(一oo,+oo)单调递减，1&x201,.1WxW3.答案D12.已知函数f(x)=x22ax+a在区间(一81)上有最小值，则函数g)：为在x区间(1,+8)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析因为函数f(x)=x22ax+a=(xa)2+aa2在区间(一0°,1)上有最小值，所以函数f(x)的对称轴x=a应当位于区间(一oo,1)内，f(x)a即a<1,又g(x)=x=x+x2a,当a<0时，g(x)=x+a2a在区