数学物理方程第三章行波法与积分变换法

1、第三章行波法与积分变换法(第十三讲)土分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。土行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。4积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。3.1维波动方程的达朗贝尔(Dalembert)公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy问题：-2,20U=a2,:x(1)ut=0=9(x),Utt=0=w(x),-oox0时杆上温度分别情况。解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：=a22f(x,t),-二：:x：二，t0,:t；xt9=(x),-二二x：:二.很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。下面我们用Fou

2、rier变换法求解。用U(s,t),G(s,t)表示u(x,t),f(x,t)的Fourier变换，关于x对上方程作Fourier变换可得dU(s,t)22“_asUGdt此为一阶ODE,在由原问题的初始条件作Fourier变换可得上常微分方程的定解条件口=：)从而可得22十U=：，(s)eG(s,)e再利用Fourier逆变换可得原问题的解。由Fourier变换表知x222.1-2-FJest=一e4at2a二t再由Fourier变换的卷积性质知(x- )2,、1u(x,t)二2a .二t(-)e 4a2t d- +-1=2a、二(x - )2-24a2(tT 占e d%。总结：积分变换法解

3、定解问题的一般过程1 .根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对方程进行积分变换把问题简化；2 .对所得简化问题求解；3 .运用逆变换，求得原问题的解。例2.一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为0C0,求杆上温度分布规律。解：由题意可知，等价于求下定解问题-2u20u,二ar,0:x:-,t0,2t:xt=e=0,0 ： x ：二.ux=0=f(t),此问题不能用Fourier变换法(？)。要用Laplace变换法求解。若关于x作Laplace变换，则需要有u关于x的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于t的Laplace变换。记U(x,p)=Lu(x,t)

4、,F(p)=Lf(t),则作Laplace变换可.2d2UpU=FxLF(p)从而可得px-pxU=AeaBea由定解条件知，当xtg时，U有界，从而可得B=0.又U_pxU=F(p)ea为求原问题的解，下用Laplace逆变换，查表可知2erfc(y)=Lerfc1=e p x令k =二，则知a2 二12erfc(y) = 一 e dt： y4.1 = p.L e a = erfc( p再由Laplace变换的微分性质知2at22=2 . x e dy 4a2txx 一p1 - pL e a = L p e ap最后，由Laplace变换卷积性知,-二_y2x e dy 二4a2t2a、-：

5、t3/2x24a 2t eu(x,t)=2a 二x2;adJ注：从例1和例2解的表达公式不难看出：函数x2e7商对热传导问题起重要2a.二 t作用。令则例1的解可写为-bek(x，t) = 2a而t0x24 a2t3/2 e t 0u(x,t) =； ( )k(x- ,t)d0 .f ( , . )k(x - ,t - . )d d .此公式为Possion公式，称函数Tx,t; &1)=k(x 一&t 一石)为热传导方程的基本解。它表示在杆上处时刻的一个瞬时单位热源所引起的杆上温度分布。位点热源的影响函数。例3.用Laplace变换法求解定解问题：故有时称基本解为瞬时单_ 2.u二 u.:t

6、 Fx2,0 ：二 x :二 2, t 0,xz0 = UX3 =0，t 0，sin二x,0:二x：2.t寸：解：由题意知，需关于时间t作拉普拉斯变换，记U(x,s)=Lu(x,t),对方程做拉氏变换可得d2U一sU = -sin -：x,用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解一sin二xU0二-77s又上常微分方程相应的齐次问题的通解为5-AesxBe”所以，上常微分方程的通解为sxsxsin二xU=AeBe2,s-再由定解条件可得A= B= 0,从而sin二xU=2s-二故而，原定解问题的解sin 二x2 二e11，u(x,t)=LU=L第十六讲-2.u例4.用积分变换法解定解问题-2.二Uc299:t4u|Xz0=cost,u卫=0,Jimux,t=0,=0,什一t00二x：二解：对方程两端对t取Laplace变换，设U(x,s)=Lu(x,t)=Cu(x,t)e-stdt，可得2dUx,sdx22s一_一一Ux,s=0：69对定解条件的两端对t取Laplace变换，记F(s)=Lbost】=LcostBtdt，则有:U0,s)；=F