缓冲算子、函数变换

1、 西华师范大学西华师范大学 灰色系统研究所灰色系统研究所 在建模过程中往往先通过看级比、级必偏差、光滑比来判断能否建模，若不能再选择恰当算子或变换处理后再看能否建模定义3.1.1 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n),我们分别称()()(),()| 1|(1)(1)xkxkkkxkxk为序列的级比(stepwise ratio).级比偏差(stepwise ratio dispersion). 序列的级比偏差 更合理，因为原来只适应单调性相同时的比较，单调性相反时，不行。3.1 级比与光滑比(Stepwise and Smooth Ratios)()|(1)(1)()|()x kkx

2、 kx kx k 定义3.1.1 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n),我们称1( 0 )()11()()()( )()(1)kixkx ikkxxk即为序列的光滑比(smooth ratio).3.1 级比与光滑比(Stepwise and Smooth Ratios)定义定义3.1.2 (传统定义)若序列X满足(1)(1()()kkk即123 0.5 则称X为准光滑序列(quasi-smooth sequence)., 0)(k1(1)(0)1(1)( )kixkxi称 为一 次 累 加 (同 理 二 次 累 加 ,.)新定义新定义: 相对低增长序列的光滑性相对低增长序列的光滑性

3、(系统工程理论与实践系统工程理论与实践09年年8期期)(魏勇魏勇) 相对于齐次指数序列的光滑性相对于齐次指数序列的光滑性(Kybernite09年年8期期) 相对于非齐次指数序列的光滑性相对于非齐次指数序列的光滑性(美国会议美国会议09年年10月月) 比较原则: 光滑序列小好，级比接近1好， 级比偏差接近0好就相对于低增长序列的光滑性而言比较原则就相对于低增长序列的光滑性而言比较原则:X比比Y好分三种情况好分三种情况单增之间单增之间 单减之间单减之间 一增一减一增一减 也是统一形式也是统一形式The Jornal of Grey System07年年1、3期，期，08年年1、4期。期。1111

4、11111()1()11/11()(),/( )( )1( )( )kkikiikixxkykkykkxkkxiiiyyi即1111()()( )11(kkiiykxkyx ikiy1111111111111( )( )( )( )|/| |/|( )( )( )111( )kkkkiiiikkkx kx ky ky kx ix iy iy ik1111( )( )/( )( )11111kkiiy kxkkyikix即 定理3.1.1 X为齐次指数序列的充分必要条件是,对于k=1,2, ,n,恒有(k)=const成立. 定义3.1.2 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n),若 则

5、称序列X具有负(降）的灰指数规律 则称序列X具有正(升）的灰指数规律 则称序列X具有绝对灰度为的灰指数规律(级比的绝对宽度) 0则称X 为单调增长序列;1中反向不等号成立,则称X 为单调衰减序列;存在k,k1 ,有 x(k)-x(k-1)0 x(k1)-x(k1-1)0则称X为振荡序列.设 M=maxx(k)|k=1,2, ,n,m=minx(k)|k=1,2, ,n1 称M-m 为序列X 的振幅.单调序列也有振幅（与物理振幅的区别。自由摆动时振幅的大小决定了振动的剧烈程度，用总变差或对应时刻的瞬时变差来刻划但外力强制振动则不然，往返的频率则是一个重要指标。定义3.2.2 设为系统真实行为序列

6、,而观测到的系统行为数据序列为其中为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列.要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列X(0)的系统之变化规律的正确把握和认识,必须首先跨越障碍 .如果不事先排除干扰,而用失真的数据X 直接建模、预测，则会因模型所描述的并非由X(0) 所反映的系统真实变化规律而导致预测的失败。)(,),2 (),1 () 0() 0() 0() 0(nxxxX (0)(0)(0)12(0)12( (1), (2), , ( )(1),(2), ,( ) ( ,.,)nnXxxx nxxxnX 这里排除方法:用缓冲算子处理数据后建模公理公理3.2.1(不动点公理不动点公理, Axiom

7、of Fixed Points) 设X为系统行为数据序列,D为序列算子, 则D满足 x(n)d=x(n)(因新信息优先原理)公理公理3.2.2(信息充分利用公理信息充分利用公理, Axiom on Suffi- cient Usage of Information)系统行为数 据序列X中的每一个数据 x(k),k=1,2, ,n,都应充分参与算子作用.公理公理3.2.3(解析化、规范化公理解析化、规范化公理, Axiom of Ana- lytic Representations) 任意的x(k)d，皆 可由一个统一的x(1), x(2), ,x(n)的初等 解析式表达。3.2.2 缓冲算子公

8、理缓冲算子公理(the axioms of buffer operator) 定义3.2.3 设X为系统行为数据序列,D为作用于X的算子,X经过算子D作用后所得序列记为 XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d)称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列. 序列算子的作用可以进行多次,若D1,D2,D3皆为序列算子,我们称D1D2为二阶算子,并称 XD1D2=(x(1)d1d2, x(2)d1d2 , ,x(n)d1d2)为二阶算子作用序列.定义3.2.4 称上述三个公理为缓冲算子三公理(three axioms of buffer operators),满足缓冲算子三公理的序列算子,称为

9、缓冲算子,一阶、二阶、 缓冲算子作用后的序列称为一阶、二阶、 缓冲序列(buffer sequences)。定义3.2.5 设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当X分别为增长序列,衰减序列或振荡序列时: 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小,我们称缓冲算子D为弱化算子;(是各瞬时速度还是仅平均速度?有歧义!)1 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)加快或振幅增大,则称缓冲算子D为强化算子. 定理3.2.1 设X为单调增长序列,XD为其缓冲序列,则有 D为弱化算子x(k)x(k)d k=1,2，n(缩小差别) D为强化算子x(k) x(k)d k=1,2，

10、n(扩大差别) 直观意义:最左、最高点没有变,其他点被抬高 问题: 抬得太高，改变了增减趋势，预测无效 弥补办法：王正新论文系统工程理论与实践 定理3.2.2 设X为单调衰减序列,XD为其缓冲序列,则有 D为弱化算子x(k) x(k)d (缩小差别)1 D为强化算子x(k) x(k)d (扩大差别)3.2.3 缓冲算子的性质缓冲算子的性质定理3.2.3 设X为振荡序列,XD为其缓冲序列,则有 D为弱化算子(大变小, 小变大) maxx(k)maxx(k)d min x(k)minx(k)d (缩小差别) 2 D为强化算子(大变大,小变小) maxx(k) maxx(k)d1 min x(k)

11、minx(k)d (扩大差别)3.2.3 缓冲算子的性质缓冲算子的性质 问题:以整体振幅变小为标志，可能出现局部变化幅度增大的情形，注意实变函数论全变差思想，并应用此思维方法改造缓冲算子定义3.2.3 缓冲算子的性质（续）缓冲算子的性质（续）12( ( )(2)( ( )(3)( ( )( )( )( (1)(2)( (1)(3)( (1)( )( ( )(1)( ( )(3)( ( )( ) ( (2)(1)( (2)(3)( (2)( )( ( )(1)( ( )(2)( ( ) +x kxx kxx kx nx k dyxxxxxx nx kxx kxx kx nyxxxxxx nx k

12、xx kxx k1(1)( ( )(1)( ( )(2)( ( )(1) ( )( )= ( )( )nnnikjnjijx nyx nxx nxx nx nx kx iyx jx i存在缓冲算子：存在缓冲算子：( )kyx k d满足ky对任意即缓冲算子除即缓冲算子除x(n)d=x(n)以外其余可以随可以随心所欲规定！仍然满足公理心所欲规定！仍然满足公理2)、3）3.3.2 实用缓冲算子的构造举例实用缓冲算子的构造举例定理3.3.2 设原始数据序列X=(x(1),x(2), ,x(n),令XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d) 其中则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D

13、皆为弱化算子(weakening operator).推论3.2.1 对于定理3.3.2中定义的弱化算子D,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2, ,x(n)d2)() 1()(11)(nxkxkxkndkx )() 1()(11)(2dnxdkxdkxkndkx 则D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列，皆为二阶弱化算子。定理3.2.3 设原始序列和其缓冲序列分别为X=(x(1),x(2), ,x(n)XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d)其中x(n)d=x(n) 则当X为单调增长序列或单调衰减序列时,D皆为强化算子(strengthening operator).（缺点： x(n

14、)d=x(n)不自然）推论3.2.2 设D为定理3.2.3中定义的强化算子,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2, ,x(n)d2)其中x(n)d2=x(n)d=x(n)则 D2 对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算子.(在强化基础上再强化!)(1)(2)(1)( )( ) (21xxxkkxkxk dk 分 母 刚 好 是 分 子 系 数 和 )12)() 1() 2 () 1 ()(2 kdkkxdkxdxdxdkx定理定理3.2.4 设X=(x(1),x(2), ,x(n),令XDi=(x(1)di,x(2)di, ,x(n)di)其中 x(1)d1=x(1), x(1)d2=

15、(+1)x(1) x(n)di=x(n) i=1,2则D1对单调增长序列为强化算子,D2对单调衰减序列为强化算子. （缺点： x(n)d=x(n)仍然是不自然）推论3.2.3 对于定理3.2.4中定义的D1,D2,则 , 分别为单调增长,单调衰减序列的二阶强化算子.2)() 1()(kxkxdkxi12D22D 现有缓冲算子的类型大部分是各种“平均”类型，在刘思峰教材,党耀国、关 叶青、王正新、谢乃明等人在系统工程、系统工程理论与实践、控制与决策、统计与决策、中国管理科学的文章。 万琴构造了近指数类型缓冲算子在英国、台湾杂志、国际会议上发表 李俊杰、苏海军构造了某种函数类型的缓冲算子在国际会议

16、上发表 魏勇构造了几类含参量的缓冲算子,讨论强、弱缓冲的数字特征在控制与决策2010年2期上发表，如 弱化缓冲算子作用建模预测效果好，强化缓冲算子作用建模预测效果是否好,说不清楚!因为数据变化更剧烈了!甚至需要用优化模型才行!11( )( ) ( )/( )nini kii kx k dx k x kx i21( )( ) ( )/( )nini kii kx k dx k x nx i6( )( ) ( )/()nii kini kx k dx k x nx i5( )( ) ( )/()nii kini kx k dx k x kx i231( )() )()() 1 /()/( )ini

17、ntnntikiikikikxixkxkdxkixkixi 几个其它算子 1.级比生成算子: 概念:级比 ,光滑比关系: 级比生成序列就是用前后级比来推测空缺值的一种方法.(首项用后,末走后门用前,中间项前后折中)( )( )(1)x kkx k11( )( )( )kix kkx i(1)(1)(1()()kkkk2.累加生成算子:3.累减生成算子:(1)(0)( )(1)11( )( ), ( )( )kkrriixkxixkxi( 1)(0)(0)( )( ( 1)( ( 1)( )( )( 1 ), ( )( )( 1 ) 1rrrxk x k x kxk xk xk 3.4.1 传统

18、数据变换传统数据变换 1.对数变换对数变换 2.开方变换开方变换 3.平移变换平移变换3.4 数据变换数据变换3.4.2 论文中出现的新数据变换论文中出现的新数据变换 1.余弦函数变换余弦函数变换 2.正切函数变换正切函数变换 3.负指数函数变换负指数函数变换 4.幂函数变换幂函数变换 5.中心位似函数中心位似函数(序列序列)变换变换(王淑华王淑华) 1(),11,1,nnnniiF abaaa aaaan 其中为压缩系数为位似中心3.4 数据变换数据变换 6.公比单位化序列变换公比单位化序列变换 （黄福勇（黄福勇)( )( ),1sF a sa s dd其中(0)(0)(0)1(0)(0)(

19、0)1(2)(3)( )(1(1)(2)(1)yyyndnyyyn算术平均）1( 0 )12( 0 )()()(1)nyndy几 何 平 均1,dd 不合理如果单调递减绝对错误单调递增, 取哪个值为好 等比时取公比非等比时取级比倒数的某种平均为好(王淑华)3.4 数据变换数据变换(提高光滑性、缩小级比偏差证明方法提高光滑性、缩小级比偏差证明方法)3.4.3 单增函数变换单增函数变换F(x)能缩小数据级比偏差能缩小数据级比偏差 F(x)/x 单减函数变换单减函数变换F(x)能缩小数据级比偏差能缩小数据级比偏差 F(x)x 缩小数据级比偏差缩小数据级比偏差提高数据光滑度提高数据光滑度 (08年全球

20、第七届控制论大会年全球第七届控制论大会,论文集论文集,EI收录收录)1( )(1)ln ( )( )1( ) 1( )( )1( ) ln ( ) ( )( )(1),( ) 1,1( )( ) ( )( )1,( )(1), ( )(1)( )()mx kx kx kyxx kx kmmx kyxx kxmx kkkkx kky kx kkx kx ky kxkykky kkk邓聚龙对对数变换:在大前提下缩小级比偏差的充分条件是对方根变换在且大前提下缩小级比偏差的充分条件是)认识的逐渐深化过程认识的逐渐深化过程:对一些具体结论不满意对一些具体结论不满意,如如:3.4 数据变换数据变换先对这些

21、具体结论作适当修改先对这些具体结论作适当修改:( (1), (2),.,( ),( (1), (2),., ( ), ( )=ln ( ) ( ) 1,1,2,.,( )( ),(!(!)1( )0,1,2,.,( )( )( ),1,2,.,( )ln(1l,n( )yxyxyxxxxX nyyyy ny kx kx kknxxxkkx kknkkx ke knkkaaa 对 理由?)对 理1)当时 有当时 有2)当当时 有由?时,要2lnln1ln1 ln()00(,( )0,1,2,.).,( )( )xyxaxaxxxx aexxx kknkk当当有当时且仅)e3.4 数据变换数据变换

22、11( (1), (2),.,( ),( (1), (2),., ( ), ( )=( ) 1( ),1,2,.,( )( ),1( )0,1,2,.,( )( )( )0,1,2,.,( )( ),mmmyxmmyxyxxxxX nyyyy ny kx kx kknkkmx kknkkmx kknkk 1)当时 有 当时 有2)当时 恒有 最后对这些具体修改结论作适当抽象化、一般化，最后对这些具体修改结论作适当抽象化、一般化，如当如当f单调增时，缩小序列级比偏差的充分必要条件探单调增时，缩小序列级比偏差的充分必要条件探询方法如下询方法如下:( )()( )( )11()(0 xxFxF aFxFxxaaF aaxx当时 ,要()()()()1()0()xxFxFxFaFxxaaFax