西工大与西安交大期末复习考研备考大学物理题库 十一、几何光学 34 几何光学

1、十一、几何光学 34 几何光学一、选择题(共1题)选择题：一束平行于光轴的光线，入射到抛物面镜上，反射后会聚于焦点F，如图所示可以断定这些光线的光程之间有如下关系：（） A 、 B 、 C 、 D、 最小，但不能确定和哪个较小 题目图片：答案：B难度：易二、填空题(共23题)填空题：两平面镜，镜面垂直相交在和上述两镜面都垂直的平面内，一条光线以任一入射角，投射到两镜之一的镜面上，经两镜反射后，反射出来的光线，它的传播方向将在_的方向上 答案：与入射光线反向平行 3分难度： 易填空题：调整读数显微镜看清楚一平面上的某点后，在平面上覆盖一厚玻璃片，要再看清楚此点，必须将显微镜镜头提高1 mm已知玻

2、璃片的折射率为1.5 ，则玻璃片的厚度必定是_mm 答案：3 3分难度：中填空题：一竖立的10 cm厚的玻璃板，折射率为1.5 ，观察者的眼睛离玻璃板10 cm远，沿板法线方向观察板后10 cm处的一个小物体，则看到它离眼睛的距离是_cm 答案：26.7 3分难度：中填空题：费马原理可用下面的说法来表述：光线由空间的一点进行到另一点时，实际传播路径的总光程同附近的路径比起来，不是_，便是_，或者_ 答案：最小 1分；最大 1分； 相同 1分（答出以上三点就得3分，与次序无关）难度：易填空题：平面镜成像的关系可以看作是球面镜成像关系的一种特殊情形，条件是只要球面镜的焦距_即可 答案：等于无穷大

3、3分难度：易填空题：有一凹球面镜，曲率半径为20 cm，如果把小物体放在离镜面顶点6 cm处，则像在镜_cm处，是_像（正或倒） 答案：后15（或-15） 2分；正 1分难度：易填空题：有一凸球面镜，曲率半径为20 cm如果将一点光源放在离镜面顶点14 cm远处，则像点在镜_cm处，是_像（实或虚）答案：后5.8(或-5.8) 2分； 虚 1分难度：易填空题：设凸球形界面的曲率半径为10 cm，物点在凸面顶点前20 cm处，凸面前的介质折射率n1 = 1.0 ，凸面后的介质折射率n1 = 2.0 则像的位置在凸面顶点_处，是_像（实或虚） 答案：后40 cm 2分； 实 1分难度：易填空题：设

4、凹球形界面的曲率半径是10 cm，物点在凹面顶点前15 cm处，凹面前的介质折射率n1 = 2.0 ，凹面后的介质折射率n2 = 1.0 则像的位置在凹面顶点_处，是_像（实或虚） 答案：前30 cm 2分； 虚 1分难度：易填空题：有一凸球面镜，曲率半径为40 cm，物体放在离镜面顶点20 cm处，物高是4 cm，则像高为_cm，是_像（正或倒） 答案：2 2分； 正 1分难度：中填空题：一个物点P经球形（半径为r）界面折射成像点Q的公式，当r，就成为一个物点P经平面界面折射成像点Q的公式 n1是物点p所在介质的折射率，n2是界面另一边介质的折射率，p是物距，q是像距，式中负号表示_，这一式

5、子的成立也应满足_要求 答案：像与物的虚、实相反 2分； 小角度近似（或傍轴近似） 3分难度：中填空题：一薄透镜的焦距f = -20 cm一物体放在p = 30 cm处，物高h0 = 5 cm则像距q = _cm，像高hi = _cm 答案：-12 2分； 2 1分难度：易填空题：一个双凸薄透镜，由折射率为1.50的玻璃制成这个透镜的一个表面的曲率半径为其另一个表面的曲率半径的两倍透镜的焦距为10 cm则这个透镜两表面中，曲率半径较小那个等于_cm 答案： 2.5 3分难度：易填空题：已知折射率n = 1.50的对称薄透镜，其表面的曲率半径为12 cm，若将其浸没于折射率n= 1.62的CS2

6、液体中，则它的焦距f = _cm 答案：-81 3分难度：易填空题：一照相机的透镜采用两个薄透镜胶合而成一个是焦距为10 cm的凸透镜，另一个是焦距为15 cm的凹透镜那么这一复合透镜的焦距为_cm 答案：30 3分难度：易填空题：一薄透镜对物体的横向放大率m = _，m值的正或负表示像的_ 答案：-( q / p ) 2分； 正或倒 1分难度：易填空题：发光体与光屏相隔一固定距离D今将焦距为f的会聚透镜先后放在物体与光屏之间的适当的两个位置上，这透镜将在光屏上分别产生实像则透镜所在的两个位置相距d = _ 答案： 3分难度：中填空题：一发光点与屏幕相距为D则可将光点经透镜的光会聚于屏上一点的

7、透镜的最大焦距等于_ 答案：D / 4 3分难度：中填空题：将开普勒型天文望远镜倒过来可作激光扩束装置设有一个这种类型望远镜，其物镜焦距为30 cm，目镜焦距为1.5 cm，则它能使激光束（看作平行光束）的直径扩大_倍 答案： 20 3分难度：中填空题：一薄凸透镜，其焦距为20 cm，有一点光源P置于透镜左方离镜30 cm之轴上，在透镜右方离透镜50 cm处置一光屏，以接收来自P发出而经过透镜的光光屏与镜轴垂直，光屏上受光部分具有一定形状和大小现将光屏移至另一位置，使受光部分的形状和大小与前相同，则此时光屏与透镜的距离为_ cm 答案：70 3分难度：中填空题：一台显微镜，物镜焦距为4 mm中

8、间像成在物镜像方焦点后面160 mm处，如果目镜是20X的，则显微镜的总放大率是_倍 答案： 800 3分难度：中填空题：一块厚透镜系统光轴上的六个基点是指_，若透镜两边是同一种媒质，那么_将会重合 答案：两个焦点，两个主点和两个节点 2分；两个节点分别与两个主点 2分难度：易填空题：在傍轴的区域内，一厚透镜第一主平面是指_所构成的平面；类似的，第二主平面是指_构成的平面 答案：通过物方焦点的入射光线与相应的平行于光轴的出射光线（延长线）的交点；2分平行于光轴的入射光线与相应的指向像方焦点的出射光线（延长线）的交点 2分难度：易三、计算题(共5题)计算题：远处物点发出的平行光束，投射到一个实心

9、的玻璃球上设玻璃的折射率为n，球的半径为r求像的位置 答案：解：设平行光束由玻璃球的左边入射，经球的前表面折射成像， p1 = ， 前表面折射所成的像，将作为球的后表面的物由于球的前后面相隔2r远， 2分 ， 像在球的右侧，离球的右边 处 3分难度：中计算题：一架幻灯机的投影镜头的焦距为7.5 cm当屏幕离镜头8 m远时呈清晰图像现将屏幕拉至10 m远处，镜头须改变多少位置才能再呈清晰图像？ 答案：解： q1 = 8 m远时： 得 当 10 m远时 得 2分式减式得 = - 0.014 cm 负号表明投影镜头需移近幻灯片 0.014 cm距离 3分难度：中计算题：一薄透镜组，L1的f1 = -

10、30 cm，L2的f2 = +20 cm两镜间的距离d = 10 cm求透镜组L2一侧的焦点与L2的距离q2和L1一侧的焦点与L1的距离q1 答案：解：透镜组的 = 40 cm 3分 = 15 cm 2分难度：中计算题：一块凹平薄透镜，凹面的曲率半径为0.5 m，玻璃的折射率为1.5 ，且在平表面上涂有一反射层在此系统左侧主轴上放一点物P，P离凹透镜1.5 m，求最后成像的位置，并说明像的虚实 题目图片：答案：解：设凹平薄透镜的焦距为f ， m 2分已知物距 p = 1.5 m，设经凹平薄透镜第一次成像后的像距为q1 ， 在透镜左方，是虚像 2分此虚像经平面反射层反射后，又成虚像于反射层右方

11、0.6 m处 2分再经凹平薄透镜第二次成像，设像距为q2（这时透镜右方为物方，左方为像方） ，最后成像的位置在透镜和反射层右方0.375 m处， 2分是虚像 2分难度：较难计算题：一个双凸薄透镜，两表面的曲率半径均为20 cm，透镜材料的折射率为n2 = 1.50此透镜嵌在水箱的侧壁上，一面的媒质是水，其折射率为n1 =1.33，另一面是空气，折射率为n3 = 1.00试问：平行光束从水中沿光轴方向入射到透镜上，光束会聚的焦点离透镜多远？平行光束从空气入射，会聚点又离透镜多远？ 答案：解：已知水、玻璃、空气的折射率分别为n1、n2、n3，如图所示 从水中入射时，两折射球面的光焦度分别是 0.8

12、5 m-1 2.5 m-1 因是薄透镜，所以总光焦度为 3.35 m-1 3分像方焦距 30 cm 3分从空气中入射时，F仍不变（F是系统的性质，与入射方向无关）. 2分但是这时像方焦距 40 cm 2分答案图片：难度：中四、理论推导与证明题(共12题)理论推导与证明题：如图所示三棱镜顶角为A，对入射单色光的折射率为n已知当光线对称地通过棱镜时，偏向角d 达到最小值d 0试证此时 题目图片：答案：证：按图示 当光线对称地通过棱镜时 3分其次，同图中还可以看出 在最小偏向角的情况下 ， 代入式 或 4分而 代入和，即得 3分难度：中理论推导与证明题：如图所示，设光导纤维玻璃芯和透明包层的折射率分

13、别为nf和nc（nf nc），垂直端面外媒质的折射率为na试证明，能使光线在纤维内发生全反射的入射光束的最大孔径角q 1满足下式 （nasinq1称为纤维的数值孔径） 题目图片：答案：证：根据折射定律 因为光线在玻璃芯和包层界面上发生全反射的条件为 sinq2nc / nf 2分 欲使光线在纤维内发生全反射，q 1必须满足 nasinq 1故数值孔径 3分难度：中理论推导与证明题：试根据费马原理导出折射定律 答案：证：如图所示，设Oxz平面上方的折射率为n1，下方折射率为n2A、B两点在Oxy平面内光线从A传播到B由费马原理知，光线的实际路径必定在Oxy平面内（因为不在此平面内的路径上光程都大

14、于在Oxy平面的投影路径的光程） 3分 设光线的路径为ACB，则光程 3分由费马原理，光程应取极值，即 3分从而得 1分上面已说明光线的实际路径在平面内，故有入射线与折射线与C点法线在同一平面内这就是折射定律答案图片：难度：较难理论推导与证明题： 试根据费马原理，导出光的反射定律 答案：证：如图所示：A与B是两个固定点由A来的光线在P点处反射之后通过B点问题是如何依照费马原理确定P点的位置，使经过P点的光线APB的总光程 nl = nl1 + nl2 为最小、或最大、或保持不变假设P点的法线、入射光线、反射光线都处于同一平面内，由于反射光回到原介质，所以也就是使APB的总长度 2分为最小、或最

15、大、或保持不变在任一情况下，都要求 dl / dx = 0 求式导数，使等于零，整理得 由图（a）可知 即 3分找出B的镜像点B，连接AB，交镜面于P，连接PBAPB即为符合式条件的光线对反射面上任何其他P点， 都与 相等，但显然当APB 是直线时，这一值最小, 所以满足上述条件的APB是最小长度. 可见, P点法线、入射光线和反射光线都处于同一平面上的假定是正确和必要的. 3分式和P点法线、入射光线及反射光线在同一平面内即是反射定律. 2分答案图片：难度：较难理论推导与证明题： 试用费马原理导出点光源傍轴光线经单个折射球面的成像公式 答案：证：如图所示，从物点P发出的光线经球面折射后交于像点

16、光线的光程为n、n分别是两种介质的折射率由C得 于是 2分由P MO得出 将上式代入后展开，得到 同理，由 MOP得到 3分因P为P的像，根据费马原理，P和P之间的各条光线的光程应相等，即 2分在傍轴条件下，d n1如图所示，P为物点，Q为像点，C是界面的球心，r为半径，O为界面的顶点p是物点到顶点的距离，q是像点到顶点的距离 从图可以看出： q 1 = a + g g = q 2 + b 入射点到轴线的垂线的高y可以表示为 y = p tga = q tg b = r sing 对于小角度我们有 a p = b q = g r 2分而小角度下的近似的折射定律 n1q 1 = n2q 2 1分

17、从、式消去所有角度，即可获得 公式成立条件是小角度，亦即所谓傍轴近似 2分答案图片：难度：中理论推导与证明题： 设一物点放在球面镜主轴上与镜面相距p处, 它的像点与镜面相距为q. 当该物点沿球面镜主轴方向移动微小距离dp时, 像点相应地移动-dq, 则称为球面镜的纵向放大率. 求证球面镜的纵向放大率是横向放大率的平方 答案：证：由球面镜的成像公式 1分两边取微分得 ， 3分而球面镜的横向放大率 2分 2分难度：中理论推导与证明题： 公式 叫做薄透镜成像公式的高斯形式这个公式的另一个形式，即牛顿形式中，对物距与像距作如下的考虑：令物体到第一焦点的距离为x，而从第二焦点到像的距离为x求证： 答案：

18、证：按题意可知 1分 1分代入高斯公式 简化后即得牛顿公式 3分难度：易理论推导与证明题： 两个薄透镜L1、L2组成的共轴系统，如图所示试证这个光学系统： (1) 从第一焦点或物方焦点到第一个表面的顶点的距离，即 ： (2) 从最后一个表面的顶点到整个系统的第二焦点的距离，即： 题目图片：答案：证：如果让q2， 则p2f2， 而从图中可以看出 代入 p2f2， 则 q1d - f2 3分又对L1我们有 当 q2， q1d - f2， 有 p1的这个值就是fv 3分类似地 如果让p1， 则 q1f1，这时的q2就是 4分难度：中理论推导与证明题：把焦距分别为f1与f2的两个薄透镜，放置得互相接触

19、求证：这两个薄透镜等效于一个单独的薄透镜，其焦距由下式给出 答案：证：当两个薄透镜分别使用： 现将这两个薄透镜放置成同轴接触使用，此时前一透镜的像将成为后一透镜的物，但它们之间的虚、实要相差一个符号，即 2分把式代入，再， 则得 做为等效的单独薄透镜 比较可知 3分难度：中理论推导与证明题：测量一个正透镜焦距的方便方法是利用下述事实：如果一对共轭的物点和实像（P和Q）的距离为L 4f，那么透镜将有两个位置（其距离为d），在这两个位置上得到同一对共轭点证明 答案：证：根据透镜成像公式 按题意 从、式消去q得 解p得 p1， 3分 2分难度：中理论推导与证明题：试从单球面折射成像的公式，导出薄透镜

20、成像的公式 答案：证：假定制成薄透镜的介质的折射率为n2，其前后介质的折射率为n1，在傍轴近似的条件下，对物光遇到的第一个球面，折射成像的公式是 3分r1是球面的半径，p1、q1为物距、像距符号规则是这样的： 物点在实物的一边，p为正，否则为负； 像在实物的另一边，q为正，否则为负； 曲率中心在实物的另一边，r为正，否则为负 由第一个球面折射成的像将构成对第二个球面的物薄透镜是指透镜厚度非常小，以致与其它线量相比时可以略去不计因而，如果对第一个球面的像距q1为正，则相应成第二个球面的物距p2将为负，反之亦然所以有 2分经第二个球面折射成像的式子为 2分、式联立，消去q1、p2，并以p、q代替p1、q2，得 令 则得薄透镜的成像公式 3分f为透镜焦距 难度：中五、回答问题(共5题)回答问题 ：据费马原理，光从一点传播到另一点，一般是沿着所需时间为极值的路径传播的试举出传播时间为极大值的一个例子 答案：答：设有一回转椭球面C