九年级数学下册第28章圆28.1圆的认识2圆的对称性课件13

1、2.圆的对称性 1.1.圆的对称性圆的对称性(1)(1)圆是圆是_图形图形, ,无论绕无论绕_旋转多少度旋转多少度, ,仍与自身重合仍与自身重合, ,对称中心是对称中心是_,_,因而圆也是中心对称图形因而圆也是中心对称图形. .(2)(2)圆是圆是_对称图形对称图形, ,它的任意一条它的任意一条_所在的直线都是它的对所在的直线都是它的对称轴称轴. .旋转对称旋转对称圆心圆心圆心圆心轴轴直径直径2.2.圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系(1)(1)探究：如图，请完成下列问题：探究：如图，请完成下列问题： AOB=_AOB=_，AB=_.AB=_.AB=CD,AOB=_, =_.AB

2、=CD,AOB=_, =_.AOB=COD,AB=_, =_.AOB=COD,AB=_, =_.ABCD，CODCODCDCDCODCODABCDCDCDABCD(2)(2)圆心角、弧、弦之间的关系：圆心角、弧、弦之间的关系：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量_，那么它们所对应的其余各组量都分别，那么它们所对应的其余各组量都分别_. . 相等相等相等相等3.3.垂径定理及推论垂径定理及推论(1)(1)垂径定理垂径定理: :垂直于弦的直径垂直于弦的直径_这条弦这条弦, ,并且并且_弦所对的弦所对的两条弧两条弧. .(2)(

3、2)推论推论: :平分弦平分弦( (不是直径不是直径) )的直径的直径_于这条弦于这条弦, ,并且并且_弦所对的弧弦所对的弧. .平分弧的直径平分弧的直径_这条弧所对的弦这条弧所对的弦. .【点拨点拨】圆心角、弧、弦三者之间的关系可由旋转对称性推圆心角、弧、弦三者之间的关系可由旋转对称性推导；垂径定理及推论可由圆的轴对称性推导导；垂径定理及推论可由圆的轴对称性推导. .平分平分平分平分垂直垂直平分平分垂直平分垂直平分(3)(3)如图如图, ,在在O O中中, ,直径直径ADBCADBC交交BCBC于于E,PE,P为为OEOE上任意一点上任意一点. .若不若不再添加任何线或字母再添加任何线或字母

4、, ,则有：则有：相等的线段有：相等的线段有：_；全等的三角形有：全等的三角形有：_；相等的角有：相等的角有：_,_,_；相等的劣弧有：相等的劣弧有：_._.ABPABPACP,ACP,BPEBPECPE,CPE,ABEABEACEACEABE=ACE,AEB=AEC,ABP=ACP,APB=APCABE=ACE,AEB=AEC,ABP=ACP,APB=APCBPE=CPE,BAE=CAEBPE=CPE,BAE=CAE BACA BDCD，BE=CE,AB=AC,BP=CPBE=CE,AB=AC,BP=CP【预习思考预习思考】圆心角、弧、弦间的关系成立的前提是什么？圆心角、弧、弦间的关系成立的

5、前提是什么？提示：提示：圆心角、弧、弦间的关系成立的前提是圆心角、弧、弦间的关系成立的前提是“在同一个圆在同一个圆中中”, ,对于等圆，关系仍然成立对于等圆，关系仍然成立. . 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系【例【例1 1】如图所示，在如图所示，在O O中，中，ABAB为直径，为直径，AC=AD.AC=AD.求证：求证：BCBD.【解题探究解题探究】1.1.在在O O中中, ,要证要证 则证得两弧所对的圆心角则证得两弧所对的圆心角相等即可相等即可, ,即需要证明即需要证明COB=COB=BODBOD；2.2.在条件中有弦在条件中有弦ACAC与弦与弦ADAD相等相等, ,根据圆

6、心角、弧、弦三者之间的根据圆心角、弧、弦三者之间的关系可得关系可得AOC=AOC=AODAOD；3.3.由图可以得出：由图可以得出：COB+AOC=COB+AOC=180180,AOD+BOD=,AOD+BOD=180180；结；结合合2 2可得出可得出COB=COB=BODBOD, ,从而证明从而证明BCBD,BCBD.【互动探究互动探究】在运用圆心角和它所对的弧相等时在运用圆心角和它所对的弧相等时, ,应注意什么？应注意什么？提示：提示：圆心角和它所对的弧相等圆心角和它所对的弧相等, ,这里的相等指的是这里的相等指的是“角与弧的角与弧的度数相等度数相等”，而不是，而不是“角与弧相等角与弧相

7、等” 【规律总结规律总结】运用圆心角定理时应注意的两个问题运用圆心角定理时应注意的两个问题1.1.圆心角、弧、弦之间的关系的结论必须在同圆或等圆中才能圆心角、弧、弦之间的关系的结论必须在同圆或等圆中才能成立；成立；2.2.一条弦所对的弧有两条一条弦所对的弧有两条, ,应用时应注意区分应用时应注意区分. .【跟踪训练跟踪训练】1.1.下列结论正确的是下列结论正确的是( )( )(A)(A)长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧 (B)(B)半圆是弧半圆是弧(C)(C)相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等 (D)(D)弧是半圆弧是半圆【解析解析】选选B.A.B.A.根据圆内相关定

8、义根据圆内相关定义, ,能够完全重合的弧是等能够完全重合的弧是等弧弧, ,故本选项错误故本选项错误; ;B.B.弧分为优弧、劣弧、半圆弧分为优弧、劣弧、半圆, ,故本选项正确；故本选项正确；C.C.根据在同圆或等圆中根据在同圆或等圆中, ,相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等, ,故本选项错误；故本选项错误；D.D.弧分为优弧、劣弧、半圆弧分为优弧、劣弧、半圆, ,故本选项错误故本选项错误. .2.2.如图如图, ,已知：已知：ABAB是是O O的直径的直径,C,C，D D是是 上的三等分点上的三等分点, ,AOE=60AOE=60, ,则则COECOE是是( )( )(A)40(

9、A)40 (B)60(B)60 (C)80(C)80 (D)120(D)120 BE【解析解析】选选C.AOE=60C.AOE=60, ,BOE=180BOE=180-AOE=120-AOE=120, , 的度数是的度数是120120. .CC，D D是是 上的三等分点上的三等分点, , 与与 的度数都是的度数都是4040, ,COE=80COE=80. .BEBECDED3.3.如图如图, ,在在O O中中, A=40, A=40, ,则则B=_B=_度度. .【解析解析】AB=AC.AB=AC.A=40A=40, ,B=C=(180B=C=(180-A)-A)2=702=70. .答案：答

10、案：7070ABAC,ABAC, 垂径定理的应用垂径定理的应用 【例例2 2】(8(8分分)(2012)(2012南通中考南通中考) )如图，如图，O O的的半径为半径为17 cm17 cm，弦，弦ABCDABCD，AB=30 cmAB=30 cm，CD=CD=16 cm16 cm，圆心，圆心O O位于位于ABAB，CDCD的上方，求的上方，求ABAB和和CDCD间的距离间的距离. .易错提醒易错提醒: :不能正确解答此类问题的原因有不能正确解答此类问题的原因有: :不会作辅助线；不会作辅助线；想不到利用勾股定理想不到利用勾股定理. . 【规范解答规范解答】分别作弦分别作弦ABAB，CDCD的

11、弦心距，设垂足分别为的弦心距，设垂足分别为E E，F,F,AB=30 cm,AB=30 cm,CD=16 cm,CD=16 cm,AE=AE=CF= CF= 2 2分分在在RtRtAOEAOE中，中，OE=OE=11AB3015(cm),2211CD168(cm).222222OAAE17158(cm).在在RtRtOCFOCF中，中，OF=OF=15(cm)=15(cm)，6 6分分EF=OF-OE=15-8=7(cm). EF=OF-OE=15-8=7(cm). 8 8分分2222OCCF178【规律总结规律总结】在运用垂径定理时辅助线的作法及两点注意在运用垂径定理时辅助线的作法及两点注意

12、1.1.辅助线作法：有关圆内弦的长度计算，一般情况下，经常过辅助线作法：有关圆内弦的长度计算，一般情况下，经常过圆心作垂直于弦的半径，构建直角三角形圆心作垂直于弦的半径，构建直角三角形. .2.2.两点注意两点注意: :(1)(1)这里的垂径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线这里的垂径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段；段；(2)(2)条件中的条件中的“弦弦”可以是直径，结论中的可以是直径，结论中的“平分弧平分弧”既意味着既意味着平分弦所对的劣弧，又意味着平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧，又意味着平分弦所对的优弧. .【跟踪训练跟踪训练】4.(20114.(2011临沂中考临

13、沂中考) )如图如图,O,O的直径的直径CD=5 cm,ABCD=5 cm,AB是是O O的弦的弦, ,ABCD,ABCD,垂足为垂足为M,OMOD=35,M,OMOD=35,则则AB AB 的长是的长是( )( )(A)2 cm (B)3 cm (C)4 cm (D)(A)2 cm (B)3 cm (C)4 cm (D)2 21 cm【解析解析】选选C.C.连结连结OAOA，O O的直径的直径CD=5CD=5OC=OD=2.5OC=OD=2.5OMOD=35OMOD=35在在RtRtAOMAOM中中, ,ABCDABCDAB=2AM=4.AB=2AM=4.OM1.5.2222AMOAOM2.

14、51.52.5.(20115.(2011牡丹江中考牡丹江中考) )已知已知O O的直径的直径AB=40,AB=40,弦弦CDABCDAB于点于点E,E,且且CD=32,CD=32,则则AEAE的长为的长为( )( )(A)12 (B)8(A)12 (B)8(C)12(C)12或或28 (D)828 (D)8或或3232【解析解析】选选D.D.依据题意依据题意, ,画出如图图形画出如图图形, ,连结连结OCOC，由，由CDAB,CDAB,可得可得OEC=90OEC=90, ,在在RtRtOECOEC中，中，OC= OC= 所以所以OE= OE= 所以当点所以当点E E在线段在线段AOAO上时，上

15、时，AE=AE=AO-OE=20-12=8AO-OE=20-12=8；当点；当点E E在线段在线段OBOB上时，上时，AE=AO+OE=20+12=32.AE=AO+OE=20+12=32.AB120CECD1622，2222OCCE201612,6.(20126.(2012成都中考成都中考) )如图，如图，ABAB是是O O的弦，的弦，OCABOCAB于于C C，若，若AB=AB= OC=1 OC=1，则半径，则半径OBOB的长为的长为_._.【解析解析】OCAB,OCAB,根据垂径定理，得根据垂径定理，得BC=BC=在在RtRtOCBOCB中，根据勾股定理，得中，根据勾股定理，得答案：答案

16、：2 22 3,22OBBCOC2.3,7.(20117.(2011佛山中考佛山中考) )如图如图, ,已知已知ABAB是是O O的弦的弦, ,半径半径OA=20 cm,OA=20 cm,AOB=120AOB=120, ,求求AOBAOB的面积的面积. .【解析解析】作作OCABOCAB于点于点C,C,则有则有AC=CB,AOC=AC=CB,AOC=在在RtRtAOCAOC中中,OA=20 cm,OA=20 cm,所以所以AC= cm,OC=10 cm.AC= cm,OC=10 cm.所以所以AOBAOB的面积的面积 1AOB60 ,210 321AB OC100 3(cm ).21.1.如图

17、如图,AB,AB是是O O的直径的直径,BC,BC，CDCD，DADA是是O O的弦的弦, ,且且BC=CD=DA,BC=CD=DA,则则BCD=( )BCD=( )(A)105(A)105 (B)120 (B)120 (C)135 (C)135 (D)150 (D)150【解析解析】选选B.B.由题意知由题意知, ,弦弦BCBC，CDCD，DADA三等分半圆三等分半圆, ,弦弦BCBC，CDCD和和DADA对的圆心角均为对的圆心角均为6060, ,连结连结ODOD，OC,OC,则则DOCDOC，BOCBOC为等边三角形为等边三角形, ,BCO=OCD=60BCO=OCD=60. .BCD=1

18、20BCD=120. . 2.(20122.(2012黄冈中考黄冈中考) )如图，如图，ABAB为为O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于于E E，已，已知知CD=12,BE=2,CD=12,BE=2,则则O O的直径为的直径为( )( )(A)8 (B)10 (C)16 (D)20(A)8 (B)10 (C)16 (D)20【解析解析】选选D.D.连结连结OC,OC,设设OC=ROC=R，则，则OE=R-2OE=R-2，由垂径定理得，由垂径定理得CE=6,CE=6,由勾股定理得由勾股定理得6 62 2+(R-2)+(R-2)2 2=R=R2 2, ,解得解得R=10,R=10,所以所以

19、O O的直径为的直径为20.20.3.3.如图如图,D,D，E E分别是分别是O O的半径的半径OAOA，OBOB上的点上的点,CDOA,CEOB,CDOA,CEOB,CD=CE,CD=CE,则则 弧长的大小关系是弧长的大小关系是_._.ACCB与【解析解析】CDOA,CEOB,CDOA,CEOB,CDO=CEO=90CDO=CEO=90,CD=CE,CO=CO,CD=CE,CO=CO,CODCODCOE.COE.AOC=BOC.AOC=BOC.答案：答案：相等相等ACCB.4.(20124.(2012六盘水中考六盘水中考) )当宽为当宽为3 cm3 cm的刻度尺的一边与圆相切的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示( (单位：单位：cm)cm)，那么该圆的半径为那么该圆的半径为_ cm._ cm.【解析解析】过圆心作弦的垂线，设该圆的半径为过圆心作弦的垂线，设该圆的半径为R R，则弦心距为则弦心距为R-3,R-3,由勾股定理得：由勾股定理得：得得R= cm,R= cm,即该圆半径为即该圆半径为 cm.cm.答案：答案：2221R(R3)(8) ,2