导数的乘除法法则（苍柏书屋）

1、1青苗学班B复习回顾复习回顾 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导数的和（差），即数的和（差），即)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf 求导的加减法法则：求导的加减法法则：2青苗学班B 前面学习了导数的加法减法运算法则，下面来前面学习了导数的加法减法运算法则，下面来研研究两个函数积、商的导数求法：究两个函数积、商的导数求法：引例：引例： 设设 在在 处的导数为处的导数为 ， ，求，求 在在 处的导数。处的导数。2)(xxg)()()(2xfxxgxfy)(xfy 0 x0 x)(xf 我们观察我们观察 与与 、 之间的联系

2、，之间的联系，)(xg)(xf )()(xgxf从定义式中，能否变换出从定义式中，能否变换出 和和 ？)(xg)(xf 3青苗学班B)()()(020020 xfxxxfxxy对于对于 的改变量的改变量 ，有，有0 xxxxfxxxfxxxy)()()(020020平均变化率：平均变化率：如何得如何得到到 、 ？)(xg)(xf xxxxxxgxxfxxfxxf202000)()()()()(即出现：即出现：解析解析4青苗学班Bxxfxxxxfxxfxx)()()()()(020200020 xxfxxxfxxxy)()()(020020)()()()()(020200020 xfxxxxxx

3、fxxfxx)(2)(lim)()()(lim00202000000 xgxxxxxxfxxfxxfxx20200)(limxxxx由于由于5青苗学班B)()()()()(2)(000000020 xfxgxfxgxfxxfx所以所以 在在 处的导数值是：处的导数值是：)()()(2xfxxgxf0 x因此，因此， 的导数是：的导数是：)(2xfx)()()(22xfxxfx)()()()()()(xgxfxgxfxgxf由此可以得到：由此可以得到：特别地，若特别地，若 ，则有，则有kxg)()()(xf kxkf6青苗学班B概括概括 一般地，若两个函数一般地，若两个函数 和和 的导数分别是的

4、导数分别是 和和 ，则：，则：)(xg)(xf)(xg)(xf )()()()()()(xgxfxgxfxgxf)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2)()(xf kxkf7青苗学班B)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf思考：思考：下列式子是否成立？试举例说明。下列式子是否成立？试举例说明。例如，例如， ，通过计算可知，通过计算可知23)(,)(xxgxxf)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf8青苗学班B例例1 求下列函数的导数：求下列函数的导数：xxyxxyexyxln)3(;sin)2(;)(21例例2 求下列函数

5、的导数：求下列函数的导数：xxyxxyln)2(;sin)1(2解析解析解析解析9青苗学班B2cos)(;)sin(ln)(xxxyxxxy212例例3 求下列函数的导数：求下列函数的导数： 例例4 求曲线求曲线 过点过点 的的切线方程。切线方程。xxxxfxln211)()0 , 1(解析解析解析解析10青苗学班B2cos2sin)3()2()2()13)(32()1(22xxxyxyxxy1. 计算下列函数的导数：计算下列函数的导数：2. 求曲线求曲线 在在 处的切线方程。处的切线方程。23)2(xxy)9 , 1(xy21xycos21194182xxy本题也可以用公式变形再用导数的加减

6、法法则计算。本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。1827 xy27 yk例例311青苗学班B11)3(11)2(cos1) 1 (2xxeeyxxyxxy1. 计算下列函数的导数：计算下列函数的导数：2. 求曲线求曲线 在在 处的切线方程。处的切线方程。xxysin3x2)(2143122xxxxxy2)(21xxeey6332 yk18)6332(2xy2)cos1 (sincos1xxxxy12青苗学班B小结小结)()()()()()(xgxfxgxfxgxf)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2)()(xf kxkf 导数的乘除法法则：导数的乘除法法则：结束

7、结束13青苗学班B（1）设）设 ，可知，可知xexgxxf)(,)(2xexgxxf)(,2)(xxxxexxexxeex)2(2)(222)()()()()()(xgxfxgxfxgxf由导数的乘法法则：由导数的乘法法则：可得：可得：解：解：14青苗学班Bxxxxxxxxxxcos2sin)(sinsin)()sin(（3）由导数的乘法法则可得：）由导数的乘法法则可得：可得：可得：（2）由导数的乘法法则）由导数的乘法法则)()()()()()(xgxfxgxfxgxf1ln1ln1)(lnln)()ln(xxxxxxxxxx例例2 215青苗学班B（1）设）设 ，则可知，则可知xxgxxf)

8、(,sin)(1)(,cos)(xgxxf由导数的除法运算法则由导数的除法运算法则)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2可得可得22sincos1sincossinxxxxxxxxxx解：解：16青苗学班Bxxxxxxxxxx222ln)1ln2()(ln1ln2ln2（2）由导数的除法运算法则可得：）由导数的除法运算法则可得：练习练习17青苗学班B 无论题目中所给的式子多么复杂，但是求导的实无论题目中所给的式子多么复杂，但是求导的实质不会改变，求函数积（商）的导数时，都满足运算质不会改变，求函数积（商）的导数时，都满足运算法则：法则：)()()()()()(xgxfxgx

9、fxgxf)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2分析：分析：18青苗学班B解：解：（1）可设）可设xxxgxxfsinln)(,)(2xxxxxxxxxxxxxxxxcossin2ln2)cos1()sin(ln2)sin(ln222则有：则有：xxxgxxfcos1)(,2)(根据导数的乘法法则，得：根据导数的乘法法则，得：本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。19青苗学班B（2）由导数的除法法则，可得：）由导数的除法法则，可得：34222222cos2sin2cos2)1sin()(2)(cos)(coscosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例例420青苗学班B要求切线方程，先求斜率，即导数。要求切线方程，先求斜率，即导数。由求导运算法则可知：由求导运算法则可知：xxxxxxxxxxxxfxx