弧,弦与圆心角的关系定理（苍柏书屋）

1、1青苗C学班（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直）圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线。线。忆一忆忆一忆一、一、圆的对称性如何？（导航圆的对称性如何？（导航17页请你思考页请你思考1）（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。二、想一想二、想一想圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合？圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合？（3）结论：圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原结论：圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原图形重合，这是圆的旋转不变性。图形重合，这是圆的旋转不变性。2青苗C学班什么叫圆心角？什么叫圆心角？（导航（导航17 17页请你思考页

2、请你思考2 2） 圆心角圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角。顶点在圆心的角叫圆心角。(如如AOB). 弦心距弦心距 过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的圆心与垂足之间的距离叫弦心距。距离叫弦心距。(如线段如线段OD). 想一想想一想 P94OABD3青苗C学班根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位的位置时，置时， AOBAOB，OAOB点点 A与与 A重合，重合，B与与B重合重合OAB做一做做一做OABABAB三、三、.ABA B弧弧AB与弧与弧AB重合，重合，AB与与AB重合重合 如图，将圆心角如图，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋

3、转到旋转到AOB的位置，的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（导航你能发现哪些等量关系？为什么？（导航17页请你思考页请你思考3）4青苗青苗C学班学班弧、弦与圆心角的关系定理（弧、弦与圆心角的关系定理（ ）在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等所对的弦也相等四、说一说四、说一说 定理定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否中，可否把条件把条件“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”去掉？为什么？去掉？为什么？ 等对等定理等对等定理5青苗青苗C学班学班 不

4、能去掉不能去掉. 反例：如图，虽然反例：如图，虽然AOB=AOB，但但ABAB，弧，弧AB弧弧AB 定理定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否中，可否把条件把条件“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”去掉？为什么？去掉？为什么？ 6青苗C学班推论推论 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条两条弧弧, ,两条弦两条弦（4 4）两条弦心距）两条弦心距中中, ,有一组量有一组量相等相等, ,那么它们所对应的其余各组量都分别那么它们所对应的其余各组量都分别相等相等. . 猜一猜猜一猜P

5、96OABDABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB在这里可以不说在这里可以不说“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”吗？吗？7青苗C学班 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE与与OF相等吗？相等吗？为什么？为什么？CABDEFOAOBCOD AB=CDCD=ABAOBCOD AB=CD四、练习四、练习CD=ABCD=AB OEOF证明：证明： OEAB OF CD

6、 ABCD AECF OAOC RTAOE RT COF OEOF8青苗青苗C学班学班证明：证明： AB=AC又又ACB=60， AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO五、例题五、例题AC=AB例例1 如图，在如图，在 O中，中， ,ACB=60,求证求证AOB=BOC=AOCAC=AB9青苗青苗C学班学班巩固深化 在同圆或等圆中，一弦是另一弦的二在同圆或等圆中，一弦是另一弦的二倍，那么它所对的弧是另一弦所对的倍，那么它所对的弧是另一弦所对的弧的二倍吗？试画图分析弧的二倍吗？试画图分析 反之呢？反之呢？10青苗青苗C学班学班如图，如图，AB是是 O 的直径，的直径， COD=35，求

7、，求AOE 的度数的度数AOBCDE BOC= COD= DOE=35 1803 35AOE 75解：解：六、练习六、练习=DECD=BC=DECD=BC11青苗青苗C学班学班七、思考七、思考 （2）如图，圆）如图，圆O的两条弦的两条弦AB、CD互互相垂直且交于点相垂直且交于点P，OE垂直于垂直于AB，OF垂直于垂直于CD,垂足分别是垂足分别是E、F,且弧且弧AC=弧弧BD，试探究四边形，试探究四边形EOFP的形状，的形状，并说明理由。并说明理由。12青苗青苗C学班学班2、如图，点、如图，点O是是EPF的平分线上的一点，以的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于为圆心的圆和角的两边分

8、别交于 点点 A、B和和C、D。 求证：求证：AB=CDMN证明：作证明：作OMAB，ONCD，M，N 为垂足。为垂足。 。CDABONOMCDONABOMNPOMPO推广：若将上题中的点推广：若将上题中的点O看作是沿着看作是沿着EPF的平分线运动的。的平分线运动的。 在在EPF的每边与圆的每边与圆O有两个交点的时候，是否都能够得到上题的结论？有两个交点的时候，是否都能够得到上题的结论？13青苗青苗C学班学班七、思考七、思考 D C A B O（4） 如图，已知如图，已知AB、CD为为 O的两条的两条弦，弧弦，弧AD=弧弧BC, 求证求证AB=CD14青苗青苗C学班学班MNOBAC（5）如图，

9、已知）如图，已知OA、OB是是 O的半径，的半径，点点C为为AB的中点，的中点，M、N分别为分别为OA、OB的中点，求证：的中点，求证：MC=NC15青苗青苗C学班学班OBCAE（6）如图，）如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的半径，弦的半径，弦BEOA,求证：求证：AC=AE 16青苗青苗C学班学班3、如图，、如图，A、B分别为分别为CD和和EF的中点，的中点，AB分别交分别交CD、EF于点于点M、N，且，且AM=BN。 求证：求证：CD=EF 证：连结证：连结OA、OB， 设分别与设分别与CD、EF交于点交于点F、G A为为CD中点，中点，B为为EF中点中点 OACD，OBEF 故故AFC=BGE=90 又由又由OA=OB， OAB=OBA 且且AM=BN AFM BGN AF=BG OF=OG DC=EF FG17青苗青苗C学班学班圆的对称性圆的对称性圆的轴对称性（圆是轴对称图形）圆的轴对称性（圆是轴对称图形）垂径定理垂径定理及其推论及其推论圆的中心对称性（圆是中心对称图形）圆的中心对称性（圆是中心对称图形）圆心角、弧、弦、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关弦心距之间的关系系证明圆弧相等证明圆弧相等：