基于单个槽的分析来合成齿槽转矩波形

1、上海大学 2011 2012 学年冬季学期研究生课程考试小论文课程名称： 电机理论研究 课程编号： 091201901 论文题目: 介绍一种基于单个槽的分析来合成齿槽转矩波形 研究生姓名: 唐斌松 学 号: 11721231 论文评语:成 绩: 任课教师: 评阅日期: 注：后接研究生小论文，格式参照公开发表论文的样式。介绍一种基于单个槽的分析来合成齿槽转矩波形唐斌松（上海大学 机自学院，上海200072）摘要：一种简单的解析法被介绍，通过单个槽的齿槽转矩分析，来综合PMBLM电机的齿槽转矩波形。解析法的表达式被推导，他解释了两者的关系。然后将解析法应用在两个分数槽电机。结果显示综合得到的齿槽转

2、矩有很高的精度，通过有限元和实验的方法验证。并不是所有单个槽里面的齿槽转矩的谐波都会出现在综合以后的齿槽转矩当中，其他最主要的分量可以用解析法来识别出来。关键词：解析法，无刷电机，齿槽转矩，有限元，永磁体Synthesis of Cogging-Torque Waveform FromAnalysis of a Single Stator SlotAbstract:A simple analytical technique is proposed to synthe-size the cogging-torque waveform of a permanent-magnet brush-les

3、s machine from the cogging torque, which is associated with a single stator slot. An analytical expression is derived, which reveals the relationship between the two. It is then applied to two motors, which have a fractional number of slots per pole. It is shown that the resultant cogging-torque wav

4、eform can be synthesized to a high accuracy, as confirmed by both finite-element analysis and measurements. It is also shown that not all the cogging-torque harmonics that exist in the cogging-torque waveform due to a single slot will be present in the resultant cogging torque, and that the most sig

5、nificant components can be identified analytically.Index Terms:Analytical modeling, brushless machines, cog-ging torque, finite element, permanent magnetTangbinsong(School of Communication and Information Engineering, Shanghai University, Shanghai 200072, China)1.简介齿槽转矩是由于转子永磁体和定子齿相互作用产生的。在文献1中许多方法被

6、提出来减少齿槽转矩，如斜槽/极1-8,磁极位移7，9-14和改变磁极的形状15，引入辅助槽或者齿16-18,优化磁极的极弧系数2,9,12,13,19,使用分数槽电机2,19-21.在理论上，齿槽转矩可以通过斜一个槽距来实现。实际上，定子和转子有不同的长度，而使用了斜槽使得绕绕组困难，因为有效的开槽面积被稍微减小了。而且，在非叠绕组的绕组中，每极槽数很少或者是分数的，这个使得斜一个槽变得很困难。然而，在文献2中显示在分数槽电机中，有许多可能的优化斜角度方法存在，这个角度不是一个槽距，事实上依赖与NC/NS，NC是槽数NS和极数2P的最小公倍数。理论上可行的斜永磁体，在实际上不可行，因为磁极的形

7、状变得太复杂。一个可行的方法是斜向的充磁。也在更加常见的方法是把永磁体沿圆周7,9-14或者轴向分布4,7,尽管仍然有齿槽转矩存在。轴向的磁极平移可以在每极下有一些轴向的磁极段。当极弧系数小于1的时候，沿着圆周平移磁极可以实现。但是一定要注意不能引入不平衡磁拉力。斜极和磁极偏移都可以减小齿槽转矩，平均转矩，反电势的谐波分量，因此这个方法对于无刷直流电机更加合适。然而更加好的方法来减小齿槽转矩是通过磁极的设计来达到正弦分布，或者优化磁极的极弧系数2,9,12,13,19。对于整数槽电机来说可行的优化极弧系数一般大于2/3，而对于分数槽电机不同的系数由NC/2P来决定。 使用分数槽电机，不仅仅减小

8、了齿槽转矩的幅度，而且增大了基波次数27，因为定子槽相对于磁极的边缘分布在不同的圆周位置上。一般极数和槽数的最小公倍数越高，齿槽转矩越小。然而不平衡磁拉力可能会成为问题24。使用分数槽电机减小齿槽转矩自然引入了辅助槽或者齿16-18.当有限元法被广泛使用来计算齿槽转矩，一个问题仍然要注意，就是剖分，为了达到更加高的精度。解析法3,11,18-19,25,26仍然是一个有用的方法来快速计算齿槽转矩波形。比如在文献3,16，和17，齿槽转矩通过计算气隙内能量变化，考虑永磁体和定子开槽的影响。解析法提供了一种深入解释齿槽转矩的原因。例如，辅助齿/槽的影响通过解析法来研究来显示优化的辅助齿和槽增加了极

9、数和槽数的最小公倍数16-18。以至于提升了齿槽转矩的基波次数。在文献3，磁链的分布是大致估计的结果然会齿槽转矩通过计算定子齿侧面上的净拉力而得到。在文献26，一种子域解析法被提出来计算齿槽转矩，通过求解气隙，永磁体，槽区域的磁场。然而所有的解析法，都要做一些简化的假设，磁饱和，开槽，磁极形状等。叠加法被成功的应用于估计结果齿槽转矩，通过对一个槽的齿槽转矩叠加11,25。然而本文的解析法建立了单槽齿槽转矩和全部槽齿槽转矩的关系，因此解释齿槽转矩本质。一种解析法综合方法被推导，包括谐波分析，用这种方法来估计两台分数槽电机的齿槽转矩。6槽4极的电机和12槽10极的电机。结果的齿槽转矩通过与实验和有

10、限元对比。2. 基于单个槽的分析来合成齿槽转矩波形在本节中，通过先分析单槽的齿槽转矩，然后再综合在一起求出总的齿槽转矩。单槽的齿槽转矩的傅里叶分解为： （1）Tsc是单槽的齿槽转矩，Tsci是第i次谐波，2p是极数。单槽的齿槽转矩可以通过有限元或者解析法计算得到，如在文献11中齿槽转矩是通过计算定子齿侧面的净拉力，即使对磁通分布做了必要的近似。然而在本文中，Tsc可以通过有限元来计算，因为正如之前提到的，本文的重点不是在预测齿槽转矩波形，通过单个槽的叠加。而是通过揭示他们的关系。尽管叠加法被使用来决定总的齿槽转矩，两者的关系在文献11并没有被建立。而且分数槽的齿槽转矩并没有被提及。 由Ns个槽

11、的齿槽转矩可以通过单个槽的齿槽转矩的综合，通过数值法和解析法。然而，数值的方法不能显示他们之间的关系，所以使用解析法来分析。 由NS槽的齿槽转矩表示为： （2）这个公式可以写成： （3）然会如附录，齿槽转矩可以写成： （4）因为=0，所以只有当也是0的时候，对应次数的齿槽转矩才会存在。 （5）当2p/Ns是整数和分数来分析齿槽转矩。2.1.当2P/Ns是整数时候，这时候，和都是0，因此公式4可以表示为： (6) Nc是2p和槽数Ns的最小公倍数。 因此，由于单个槽引起的齿槽转矩的所有的谐波都会对总的齿槽转矩有贡献。而总的齿槽转矩的周期和单个槽的齿槽转矩周期是一样的，而幅度是Ns倍。2.2.当2

12、P/Ns不是整数时候。这时候因为=0，只有当也是0时候公式4才不是0，因此：这里i和j都是整数。如果2pNs=CNc而C是一个整数，然后： 和 (7)这里i和j都是整数。如果2pNs=CNc而且C是整数，然后： （8） 如果C=1，Nc=2pNs,如果C>1，Nc<2PNs.当2p和Ns都除以C的时候，他们仍然是一个整数，而且他们之间没有最小公倍数。 从公式7，2pi=Nsj和（2P/C)i=(Ns/C)j当： （9） i是一个整数对于任何整数n，所以： （10）因此在这个情况下，总的齿槽转矩可以通过用n代替i来表示：i.e. (11) 因此，单个槽和总的槽的齿槽转矩的关系被建立了

13、。 从公式11，可以发现： 1.基波的次数是Nc，定子槽数和极数的最小公倍数。2.C=2pNs/Nc是一个经验的齿槽转矩因子，在文献2中被提出来估计不同极槽组合对齿槽转矩的幅度的影响。如果C很小，齿槽转矩就小，因为谐波的次数i=(Ns/C)n变大了，Tsci变小了当谐波次数上升时候。 3.通过使用分数槽电机，齿槽转矩更加小了。 4.由单个槽引起的i不等于(Ns/C)n的谐波不会再总的齿槽转矩中有贡献。只有当i=(Ns/C)n时候，会对总的齿槽转矩有影响。 5.通过减小单个槽产生的谐波次数为i=(Ns/C)n谐波，可以使总的齿槽转矩减小。3. 一个6槽4极电机 在这一部分中，一台6槽4极的表贴式

14、电机被用来显示槽数对齿槽转矩的影响，和谐波频谱。定子外径和轴向长度是140和40.6mm，气隙长度和和永磁体厚度是1.5和3mm。开槽的宽度是2mm.永磁体的极弧系数是1，磁体是平行充磁的，NdFeB的剩磁是1.2T，相对磁导率是1.05.由单槽，2-6槽的齿槽转矩和频谱被分析和综合，然后用有限元法和来比较实验法。在有限元中maxwell张量法被使用来计算齿槽转矩，需要注意剖分，以达到需要的精度。图1.最大齿槽转矩位置时候4极电机的开路磁通分布图(a)一个槽(b)6个槽Fig. 1. Open-circuit field distributions with four-pole rotor a

15、t peak cogging-torque position. (a) One slot. (b) Six slots.图1表示了1槽和6槽磁通的分布图，图2显示了一槽电机的齿槽转矩，2p=4,Ns=1,Nc=4,C=1.因此齿槽转矩波形有90度的机械角度。 (12) Tsci是第i次谐波的齿槽转矩幅度。 Nc是最小公倍数，C是好坏因子，表1显示了1-6槽的谐波次数，齿槽转矩的幅度。相应的他们的齿槽转矩的波形可以通过单槽的综合得到：图2.四极电机有1槽和2槽时齿槽转矩(a)波形.(b)谐波Fig. 2. Cogging torque for one-slot and two-slot four

16、-pole motors.(a) Waveforms. (b) Harmonics.最小共倍数Nc，好坏因子C和有2槽，3槽，4槽，5槽，6槽的四极电机的齿槽转矩谐波次数，幅度在表1中给出，相应的通过合成得到的齿槽转矩可以表示为： （13） （14） （15） （16） （17）表1.4极电机的Nc和C图3.1槽和3槽电机的齿槽转矩。(a)波形.(b)谐波Fig. 3. Cogging torque for one-slot and three-slot four-pole motors.(a) Waveforms. (b) Harmonics. 图2-6表示了有限元法估计的齿槽转矩和用单槽综

17、合的求出的齿槽转矩有很好的一致性。如果先从有限元中得到单槽的齿槽转矩，因此考虑了实际上槽的形状，在邻近的齿上的饱和，这样的高的一致性就并不令人惊讶了。在综合计算的齿槽转矩中主要的假设是磁通的分布不受邻近的槽的影响。这对大多数电机都是合适的，当然对这里的原型机也是合适的。而且在图1中，可以发现尽管在单槽和6槽中磁通的分布是不同的，定子后部的铁的饱和是一样的。因此解析法和有限元法的结果是几乎一致的。 对于2槽和4槽电机很明显2p/Ns是一个整数，而且他们的Nc都是和单槽一样的。因此他们的周期数一样的。另外，所有由于单个槽产生的齿槽的谐波都可以产生齿槽转矩。因此，他们的谐波数十相同的，尽管幅度要放大

18、Ns倍。 对于3槽，5槽，6槽电机因为2p/Ns是不一样的，不是所有由单槽产生的谐波都会产生齿槽转矩。因此他们的谐波频谱是和单槽电机不太一样的。Nc越大，在单槽电机中的谐波分量对总齿槽转矩贡献越小。比如，5槽电机的齿槽转矩的基波是有单槽电机中5次谐波贡献的。3槽和6槽电机有相同的Nc=12.然而3槽电机的C=1而6槽电机C=2因此，尽管谐波转矩分量的幅度不同，他们的周期和频谱是一样的，都是单槽电机中3倍的谐波贡献了齿槽转矩。 图7比较6槽4极的实验测量和预估的齿槽转矩波形。可以发现他们很吻合，尽管测量值比较低，这可以归因于非理想充磁和磁体的齿槽的公差，端部效应和测量误差。图3.1槽和4槽电机的

19、齿槽转矩。(a)波形.(b)谐波Fig. 4. Cogging torque for one-slot and four-slot four-pole motors.(a) Waveforms. (b) Harmonics图3.1槽和5槽电机的齿槽转矩。(a)波形.(b)谐波Fig. 5. Cogging torque for one-slot and five-slot four-pole motors.(a) Waveforms. (b) Harmonics图3.1槽和6槽电机的齿槽转矩。(a)波形.(b)谐波Fig. 6. Cogging torque for one-slot and

20、six-slot four-pole motors.(a) Waveforms. (b) Harmonics 图7.对于6槽4极电机预测和测量的齿槽转矩的比较 Fig7.Comparison of predicted and measured cogging-torque waveforms forsix-slot four-pole motor4. 一个12槽10极电机这方法也被用于12槽10极，定子外径和轴向长度100和50mm，气隙长度和磁极厚度1和3mm，开槽的宽度是2mm，磁极平行充磁，剩磁1.2T，相对磁导率1.05，极弧系数1.图8是单槽和12槽时候磁通的分布图，图9是齿槽转矩和

21、对应的频谱。有限元的结果和使用解析法的结果很接近。因为单槽10极的Nc是10，所以齿槽转矩的周期是36度机械角度。12槽10极电机Nc=60，C=2齿槽转矩的周期是6机械角度。他的频率是6倍。只有单槽电机中的6次和6次倍数可以产生齿槽转矩。图10比较了预测和测量的齿槽转矩，也得到了很好的吻合。测量的齿槽转矩比解析法小，也许和之前6槽4极电机中情况是一样的。另外12槽10极电机的极数高，每极言轴向有两块磁体组成。因此，磁体的尺寸和组装的公差更加有影响。图8.在最大齿槽转矩位置的10极电机的开路磁路分布(a)1槽(b)12槽Fig8.Open-circuit field distributions

22、 with ten-pole rotor at peak cogging-torque position. (a) 1 slot. (b) 12 slots图9.一槽和12槽10极电机的齿槽转矩(a)波形。（b）谐波Fig. 9. Cogging-torque waveforms and harmonic spectra for 1-slot and 12-slot ten-pole motors. (a) Waveforms. (b) Harmonics.图10.12槽10极电机的预测和实测齿槽转矩的比较Fig. 10. Comparison of predicted and measure

23、d cogging-torque waveforms for a 12-slot ten-pole motor.5. 结论在永磁无刷电机中，齿槽转矩可以通过单个槽的综合来得到。通过有限元和实验来验证。可以发现单槽的齿槽转矩和多个槽的齿槽转矩有一定关系。并不是所有的单槽的齿槽转矩中的谐波会产生总的齿槽转矩，最主要的分量可以被识别出来。 这个方法可以被用来预测非规则分布的定子槽和步进转子磁体的齿槽转矩。致谢：感谢章跃进老师这一个学期的授课，和对我ppt的点评。参考文献1 T. M. Jahns and W. L. Soong, “Pulsating torque minimization tech

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