向量的数量积

1、向量的数量积（第一课时）学习目标1、掌握向量的夹角的概念，理解平面向量的数量积的定义及物理意义；2、体会向量数量积的几何意义即投影的概念。重点难点向量数量积的定义及其意义，数量积的运算律的理解及证明教学过程一、概念新授1、向量的夹角两个非零向量、，作若，则射线OA、OB的夹角叫做向量若与的夹角，则。当，则与方向相同；当，则与方向相反；当，则。思考：在正三角形中，与的夹角是多少？与呢？2、向量数量积的定义物理学中，拉力对物体所用，产生的位移为，若与的夹角为，则力所作的功为。数量积的定义：若两个非零向量、，夹角为，则叫做向量的数量积。记作。说明（1）两个向量的数量积是一个数量，不是向量（即）。（2

2、）运算符号“”不能写成“”，更不能遗漏。（3）功，这是向量数量积的物理意义。（4）规定。（5），。（6）特别的。（7）若，则或或，反之也成立。（可以看作与任意向量垂直）因此 （向量垂直的充要条件）。（8）当且仅当时等号成立 因为，因此 ，其中与方向相同，则；与方向相反，则。二、例题精讲例1：在边长为1的正三角形中，_；_。解：。练习：在中，求、。解：24；0；。例2：两个非零向量、，判断下列命题真假。（1）与方向相反 （假）（2） （真）（3） （假）BAB1O（4） （假）3、向量数量积的几何意义BAB1O叫做向量在向量的方向上的投影，即有向线段的值。当，则有向线段的值等于；当，则有向线段的

3、值等于；当，有向线段的值等于。因此的几何意义是与在向量的方向上的投影的乘积。4、向量数量积的运算律（1）；（2）（3）前两条的运算律可以通过数量积的定义来证明，第三条的证明见课本。思考：与是否相等？若相等，需要证明；若不相等，说明理由。例3：化简 解：注意：化简过程类似与多项式乘法运算，数量积的运算符号不要遗漏。例4：已知，夹角为求（1）；（2）；（3）。解：（1）；（2）；（3），所以。例5：已知，（1）若与垂直，求k的值；（2）若，求与的夹角。解：（1），即，则，所以；（2），则，所以，则，。三、课堂小结向量的夹角；向量数量积的定义、物理意义、几何意义以及它的运算律。课后反馈练习册 P35

4、 A组/ 14一课一练 P54 8.2(1)17(7选做)向量的数量积（第二课时）学习目标1、掌握平面向量的数量积的坐标表示。2、能进行向量数量积的运算，会求向量的夹角。3、能运用向量平行、垂直的充要条件。重点难点向量数量积的坐标表示，向量平行、垂直的充要条件教学过程一、概念复习1、向量数量积的定义：2、在向量的方向上的投影：3、夹角公式：4、为两个非零向量讲评作业 一课一练 P55/ 7注意：向量没有约分，即不能转化成，只能化为。二、概念新授1、向量数量积的坐标表示设，即，则，所以。说明（1）与的夹角为，。（2）。三、例题精讲例1：，分别计算与的值。解：略注意：此题中验证了，实际上表示与平行

5、的向量，表示与平行的向量。例2：，求证为直角三角形。解：（法一）计算来求证。（法二）计算来求证。例3：若，求与的夹角。解：，所以。变式1：求与夹角为的单位向量的坐标。解：设，则，解此二次方程组得或，所以或。变式2：求实数的值，使。解：，由知，解得。变：若呢？ 解：，得。例4：两个非零向量单位向量、，与的夹角为，问是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：，即，而，代入后求得。变：若呢？解：，由线性组合唯一性可知，则。变式：若与夹角为锐角，求的取值范围。解：，且，即，则。说明：与的夹角为锐角且与的夹角为钝角且例5：在中，是边上的高，求点的坐标及向量的坐标。分析：两个条件，（在上）解：（法一）设，则，则，解得，即点，。（法二）由可设，所以，而知，则，则，再解点坐标。（备用）例6：，且，（1）用表示；（2）求的最小值，并求出此时与的夹角。解：（1）即，则，又因为，则。（2），所以的最小值为，此