向量的数量积18766

1、第二节向量的数量积【问题驱动】前几节我们已学习了向量的运算，包括向量的加法、减法、实数与向量的乘积，正是因为这些运算的引入，向量才显示出很强的生命力，并在越来越多的领域获得广泛的应用.本节我们引入向量的另一种运算，先看一个物理背景： 如右图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力的方向与物体移动的方向成角，而物体在的作用下，产生位移，那么力所做的功.现在我们来观察这个结果，这个结果有哪些 量确定？这个结果由 、以及夹角完全确定.也可由和完全确定（因为当和确定了以后，和以及夹角也就确定了）.今天我们引入一个新的记号来表示，即，并称为和的数量积. 刚才我们基于一个具体的物理背景引进了

2、数量积的概念，下面我们在一般意义下定义两个向量之间的数量积.1、什么是向量的数量积？ 1.1什么是向量的夹角？ 如图(2)所示,对于两个非零向量与,如果以O为起点，做 那么射线与的夹角叫做向量与 的夹角，的取值范围是. 当=0时，与方向相同；当=时，与方向相反；当 时，与相互垂直，记作.1.2什么是向量的数量积？ 如果两个非零向量与的夹角为，我们称为向量与的数量积，记作，即，如果与中有一个零向量，我们规定.（1）两个向量的数量积是一个数量，而不是向量；（2）在形式上，不可以写成或.1.3如何求两个向量得夹角？如何判断两个向量垂直？ 根据向量的数量积的定义（），则与的夹角满足 可得，两个向量与垂

3、直的充要条件是（0与任何向量垂直）.思考：如何判断两个向量平行呢？2、向量的数量积有哪些运算律？ （1）； （2）; （3）（4）(5) (6) 思考：以上运算律如何证明？3、如何用坐标表示向量的数量积？3.1如何用坐标表示向量的数量积？如图（3）所示，向量与用平面直角坐标系表示： 设 即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.3.2、如何用坐标表示两个向量的夹角？ 一般地，设两个非零向量则两个向量与垂直的充要条件是，即.【例题思考】例1、 已知向量 求: (1) ； (2) (3) 例2、已知，求向量与的夹角是多少度？     

4、0;               例3、已知当实数为何值时，与（1）垂直？ （2）平行？例4、已知向量与的夹角为，且求： （1）; (2).例5、已知且与的夹角为， （1）求与的夹角； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围？例6、已知满足求：（1） （2）例7、已知是两个非零向量，且与垂直，与 垂直，求向量的夹角？例8、已知，且求；(1)(2)若的最小值是，求实数的值.【例题解析】 例1 解：(1) (2) (3)例2 解： . 则 例3

5、 解：(1)解得. （2）方法一：，解得. 方法二：. 例4 解：（1）由已知条件可得. . (2) , .例5 解：(1) . (2)向量的夹角是锐角 则或 若与平行，设则 与不平行，当时，；当时，； 综上，例6 解：（1） (2) 例7 解：两式相减得，代入（1）式得： 例8 解：(1) (2) 令 若则时，；若，则时，得；若则时，得（舍） 综上，【效果反馈】1、设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中真命题的是 2、在中，则的值是 3、已知平面上三点A、B、C满足 求的值.4、已知O为原点， 的坐标5、已知向量与的夹角等于，且 （1）若，求实数的值；（2）当，求的夹角；（3）是

6、否存在实数，使，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.6、已知：且(1)用表示；(2)求的最小值，并求出此时与的夹角的大小.7、单位向量互相成角 （1）求证; (2)若，求的取值范围.【反馈分析】【方法小结】在本节的学习过程中，要重点体验以下思想方法：1、灵活运用；2、熟悉掌握，以及会求两个向量的夹角；3、数形结合的思想.在中，设且是直角三角形，求的值 A450       B、600      C、1350      D、1

7、2002已知=（1，-2），=（5，8），=（2，3），则·（·）的值为       （    ） A34        B、（34，-68）      C、-68     D、（-34，68）3已知=（2，3），=（-4，7）则向量在方向上的投影为      

8、;          （    ） A       B、      C、       D、4已知=（3，-1），=（1，2），向量满足·=7，且，则的坐标是（    ） A（2，-1）    B、（-2，1） 

9、    C、（2，1）      D、（-2，-1）5有下面四个关系式（1）·=；（2）（·）=（·）；（3）·=·；（4）0=0，其中正确的个数是                         （  

10、60; ）A、4      B、3     C、2      D、16已知=（m-2，m+3），=（2m+1，m-2）且与的夹角大于90°，则实数m（   ）A、m2或m-4/3    B、-4/3m2      C、m2    D、m2且m-4/37已知点A（1，0），B（3，1），C（2，0）则向量与的夹角是           。8已知=（1，-1），=（-2，1），如果（，则实数=        。9若|=2，|=，与的夹角为45°，要使k-与垂直，则k=        10已知+=2-8，=-8+16，那么·=