反常积分与含参变量的积分

1、第十二章 反常积分与含参变量的积分§12.1 .无穷积分一、无穷积分收敛和发散概念实例：设地球的质量为M，地球的半径为R.若火箭距离地心为，则将质量为m的火箭，从地面发射到距离地心为b处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力所作的功 为了使火箭脱离地球的引力范围，即，火箭克服地球引力F所作的功 定义 设函数在区间（或有定义，符号（或）称为函数的无穷积分.设函数在a,p可积，若极限存在（不存在），则称无穷积分收敛（发散），其极限称为无穷积分（的值），即 .设函数在q,b可积，若极限存在（不存在），则称无穷积分收敛（发散），其极限称为无穷积分（的值），即 .若，两个无穷积分 与

2、 都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分收敛（发散），且. 显然，火箭脱离地球引力所作的功是函数的无穷积分，即 例1 . 求下列无穷积分.解 ：例2.求下列无穷积分；.解： .若函数在区间存在原函数，则其中符号例3 .判别无穷积分的敛散性解： 当有当有 于是，当时，无穷积分收敛，无穷积分的值是；当时，无穷积分发散例4.判别无穷积分的敛散性.解：当，有 当，有 二、无穷积分与级数上述三种形式的无穷积分： 其中 ， 于是，讨论三种形式的无穷积分的敛散性只须讨论无穷积分的敛散性即可. 观察下表：收 敛收 敛 发 散发 散无穷积分与广义调和级数，对都收敛，对都发散.这说明无穷积分与级数之间存在着内在的

3、联系.定理1 .无穷积分收敛对任意数列有而，级数收敛于同一个数，且.证明：必要性 已知无穷积分收敛，即.充分性 已知对任意数列，而时，级数收敛于同一个数，根据海涅极限定理，无穷积分收敛，且. 三、无穷积分的性质 假设函数在区间有定义，且，函数在可积.由无穷积分定义，无穷积分收敛当时，函数存在极限.定理2（柯西收敛准则） 无穷积分收敛有.推论1.若无穷积分收敛，则.证明：根据定理2，有令，即或推论2 若无穷积分收敛，则无穷积分 也收敛.证明 ：根据定理2 有 从而，有，即无穷积分收敛.推论3.无穷积分收敛，无穷积分也收敛定理3.无穷积分收敛，则无穷积分也收敛，其中c是常数，且.定理4.若无穷积分

4、与都收敛，则无穷积分也收敛，且.定理5 .若函数与在区间存在连续导数，极限存在，且无穷积分收敛，则无穷积分也收敛，有.或这是无穷积分的分部积分公式.定理6 .若函数在在区间连续，无穷积分收敛，且函数在严格增加，存在连续导数，而，则.这是无穷积分的换元公式.例5 .求无穷积分.解：根据定理5，有有，或，即.例6. 求无穷积分.解： 设，根据定理6，有. 另解：.（凑微分法）四、无穷积分的敛散性判别法定理7 . 设有 .1） 若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛；2） 若无穷积分发散，则无穷积分也发散.推论 设，且极限 . （3）1） 若则无穷积分收敛.2） 若则无穷积分发散.说明：应用此推论判别某些

5、无穷积分的敛散性比较简便，但要注意观察被积函数，从中找出合适的（利用无穷小阶的比较），使（3）式的极限存在，然后再由数确定无穷积分的敛散性.例7.判别无穷积分的敛散性解：已知有.由例1知，无穷积分收敛，根据定理7 ，无穷积分收敛，再根据定理2的推论3，无穷积分也收敛.例8. 判别无穷积分的敛散性.解：已知极限 ，其中则无穷积分发散.例9.判别无穷积分的敛散性解：已知有 ，又 ，其中，则无穷积分收敛，根据定理2的推论2 ，无穷积分也收敛.例10 .判别无穷积分的敛散性（是参数）。解：已知有极限，其中，则无穷积分都收敛.定义 若无穷积分收敛，则称无穷积分绝对收敛.定义 若无穷积分收敛，而发散，则称无穷积分条件收敛.定理8 .若函数在连续且函数在有界，即有 ，则当时，无穷积分收敛.例11 .证明 ：无穷积分条件收敛证明： 在被积函数没有定义，已知，将函数在0作连续开拓，当时，令=1，于是被积函数在区间连续首先，证明无穷积分收敛已知函数在区间连续，有根据定理8 ，无穷积分收敛，从而，无穷积分也收敛其次，证明无穷积分发散已知，从而，有 以上右端无穷积分收敛，而无穷积分发散，根据定理7，无穷积分发散，从而无穷积分也