2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

1、WORD格式2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类( 全国新课标卷 II)第一卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的集合 Mxx2 ，x，N，那么 MN课标全国，理1)|(1)R1,0,1,2,31 (20214() A0,1,2B 1,0,1,2C 1,0,2,3D0,1,2,32 (2021课标全国，理2) 设复数 z 满足 (1 i)z2i ，那么 z() A 1iB 1 ICa 1 iD1ia1，a5 ，那么 a1(2021课标全国，理3)等比数列的前 n项和为 S. S3a23109nn() 1111A

2、3B 3C 9D 94 (2021课标全国，理4) m，n 为异面直线， m平面 ， n平面 . 直线 l 满足 lm，l n，l， l ，那么 () A且 l B且 l C与相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l课标全国，理axx5的展开式中 x2的系数为 ，5)(1)(1)5 (20215则 a() A 4B3C 2D 1N，那么6(2021课标全国，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的10输出的 S() 1+111A2L103B1+ 11L12!3!10!C1+ 11 L123111+1112!3!LD11!Oxyz中的坐标分别是课标全国，理7) 一个四面体的顶点在空间直

3、角坐标系7 (2021(1,0,1)， (1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0) ，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为() 专业资料整理WORD格式2021全国新课标卷2 理科数学第 1页专业资料整理WORD格式8 (2021课标全国，理8) 设a36，b5，clog7，那么()loglog 1014Ac b aBbca CacbD a b c课标全国，理 a ，x，y 满足约束条件x1,假设z xy的最小(20219)xy 3,902ya x3 .值为 1，那么 a() 11A4B 2C 1D 2课标全国，理10) 函数f(xx3 ax2 bx

4、c，以下结论中错误的选项是()10(2021)A x0 R， f(x0)0B函数 y f(x)的图像是中心对称图形C假设 x0 是 f(x)的极小值点，那么 f(x)在区间 ( ， x0) 单调递减D假设 x0 是 f(x)的极值点，那么 f (x0) 011(2021课标全国，理11) 设抛物线 C： y22px( p 0) 的焦点为 F，点 M在 C 上，| MF| ，假设以 MF为直径的圆过点(0,2) ，那么C的方程为()5Ay24x 或 y28xBy22x 或 y28xCy24x 或 y216xDy22x 或 y216xC，直线y axb a将(2021课标全国，理12)点A1,0)

5、，B0)12(1,0) ， (0,1)(ABC分割为面积相等的两局部，那么b 的取值X围是 () 12,11211 , 1,A(0,1)B22C23D 3 2第二卷本卷包括必考题和选考题两局部，第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分uuur uuur13(2021课标全国，理13) 正方形 ABCD的边长为 2，E 为 CD的中点，那么AE BD_.14(2021课标全国，理14) 从 n 个正整数 1,2 ， n 中任意取出两个不同的数，假设专业资料整理WORD格式2021全国新

6、课标卷2 理科数学第 2页专业资料整理WORD格式取出的两数之和等于 5 的概率为1，那么 n _.14115(2021课标全国，理 15) 设为第二象限角， 假设tan，那么 sin cos 42_.等差数列an的前 n 项和为 Sn，S10 ， S15，那么(2021课标全国，理16)16025nSn的最小值为 _三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤课标全国，理17)(本小题总分值12分 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，17 (2021)c， a bcos C csinB.(1) 求 B；(2) 假设 b2，求 ABC面积的最大值专业资料整理WORD格式2021

7、全国新课标卷2 理科数学第 3页专业资料整理WORD格式18(2021课标全国，理 18)( 本小题总分值 12 分 ) 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中， D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1AC CB2AB .2(1) 证明： BC1平面 A1CD；(2) 求二面角 DA1CE 的正弦值19(2021课标全国，理 19)( 本小题总分值 12 分) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下列图经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产

8、品以 X( 单位： t,100 X150) 表示下一个销售季度内的市场需求量，T( 单位：元 ) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1) 将 T 表示为 X 的函数；(2) 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率；(3) 在直方图的需求量分组中， 以各组的区间中点值代表该组的各个值， 并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 ( 例如：假设需求量 X100,110) ，那么取 X105，且 X105 的概率等于需求量落入 100,110) 的频率 ) ，求 T 的数学期望专业资料整理WORD格式2021全国新课标卷2 理科数学第 4页专业资料整理WORD格

9、式20(2021课标全国，理20)( 本小题总分值12 分 ) 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：x2y2=1 (ab0)右焦点的直线 x y 30 交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的a2b2斜率为1.2(1) 求 M的方程；(2) C， D 为 M上两点，假设四边形 ACBD的对角线 CDAB，求四边形 ACBD面积的最大值21(2021课标全国，理21)( 本小题总分值 12 分) 函数 f ( x) exln( xm) (1) 设 x0 是 f ( x) 的极值点，求 m，并讨论 f ( x) 的单调性；(2) 当 m2时，证明 f ( x) 0.专业资料整理WORD格式2

10、021全国新课标卷2 理科数学第 5页专业资料整理WORD格式请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，做答时请写清题号22(2021课标全国，理22)( 本小题总分值 10 分) 选修 41：几何证明选讲如图， CD为 ABC外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD于点 D， E， F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AE DC·AF，B，E，F，C 四点共圆(1) 证明： CA是 ABC外接圆的直径；(2) 假设 DBBEEA，求过 B，E，F，C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值23(2021课标全国，理

11、23)( 本小题总分值 10 分) 选修 44：坐标系与参数方程动点 P，Q都在曲线 C：x2cos t, ( t 为参数 ) 上，对应参数分别为 t 与 t 2 (0 y2sin t2) ， M为 PQ的中点(1) 求 M的轨迹的参数方程；(2) 将 M到坐标原点的距离 d 表示为的函数，并判断 M的轨迹是否过坐标原点专业资料整理WORD格式2021全国新课标卷2 理科数学第 6页专业资料整理WORD格式24(2021课标全国，理 24)( 本小题总分值 10 分) 选修 45：不等式选讲设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：(1) abbcac1；3(2) a2b2c21.bca专

12、业资料整理WORD格式2021全国新课标卷2 理科数学第 7页专业资料整理WORD格式2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类( 全国新课标卷 II)第一卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1答案： A解析： 解不等式 ( x1) 24，得 1x3，即 M x| 1x3 而 N 1,0,1,2,3 ，所以 M N 0,1,2 ，应选 A.2答案： A解析： z= 2i2i 1i 22i 1i.1 i1 i 1i23答案： C解析：设数列 an 的公比为 q，假设 q 1，那么由 a5 9，得 a19，此时 S3

13、27，而 a2 10a199，不满足题意，因此 q1.q1时， S3a1(1q3 ) a1·q10a1，1q3 1 q q 10，整理得 q2 9. 1 q41a5a1· q 9，即 81a19， a1.4答案： D解析： 因为 m，l m，l，所以 l . 同理可得 l .又因为 m，n 为异面直线，所以与相交，且 l平行于它们的交线应选 D.5答案： DC5r xr(0 r 5， r Z) ，那么含 x2的项为C52x2解析： 因为 (1 x) 5的二项展开式的通项为ax·C15x(10a x2，所以 105a 5， a 1.5)6答案： Bk ，S ，T时，

14、T ，S ；解析： 由程序框图知，当11011当 k2 时， T1， S=1+1 ；22当 k3 时，T21， S1+ 121 ；323当 k4 时，T1， S1+111；234223234当k10时，T1，S1+11L1，k增加1变为，满足k ，输2 34L102!3!10!11N出 S，所以 B 正确7专业资料整理WORD格式2021全国新课标卷2 理科数学第 8页专业资料整理WORD格式答案： A解析： 如下列图，该四面体在空间直角坐标系Oxyz 的图像为以下列图：那么它在平面 zOx上的投影即正视图为，应选 A.8答案： D解析： 根据公式变形， alg 61lg 2 ，blg101l

15、g 2 ，clg141lg 2，因为 lg 7lg 3lg 3lg 5lg 5lg 7lg 7 lg 5 lg 3，所以 lg 2lg 2lg 2，即 c ba. 应选lg 7lg 5lg 3D.9答案： B解析： 由题意作出x1,所表示的区域如图阴影局部xy3所示，作直线 2x y1，因为直线 2xy1 与直线 x1 的交点专业资料整理WORD格式2021全国新课标卷2 理科数学第 9页专业资料整理WORD格式坐标为 (1 ， 1) ，结合题意知直线 y a( x3) 过点 (1 ， 1) ，代入得a1，所以 a1 .1022答案： C解析：x0是 f ( x) 的极小值点，那么 y f (

16、 x) 的图像大致如以下列图所示，那么在 ( ， x0) 上不单调，故 C不正确11答案： CM 的坐标为x 0，y0，由抛物线的定义，得MF x0解析： 设点()x0p| |p 5，那么25.2又点 F 的坐标为p ,0 ，所以以MF为直径的圆的方程为( xx0) xp( y y0) y0.22将 x0，y2 代入得 px0 84y00，即y024y080，所以 y04.2由 y0220 ，得162 p 5p，解之得 p2，或 p8.px2C的方程为 yx应选所以2 x 或 y2C.416 .12答案： B第二卷本卷包括必考题和选考题两局部，第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须

17、做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分13答案： 2解析： 以 AB所在直线为 x 轴， AD所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如下列图，那么点 A 的坐标为 (0,0) ，点 B 的坐标为 (2,0) ，uuuruuur点 D的坐标为 (0,2) ，点 E 的坐标为 (1,2) ，那么AE(1,2) ，BDuuur uuur ( 2,2) ，所以AE BD 2 .14答案： 8Cn2种取法，两数解析：从 1,2 ， n 中任取两个不同的数共有之和为 5 的有 (1,4)，(2,3)2种，所以 21 ，即241，解得 n8.C

18、 n214n n 1n n 1 14215答案：105解析： 由 tan1tan1，得 tan1，即 sin1 cos .41tan233将其代入 sin2cos21，得10cos21.9因为为第二象限角，所以 cos 310，sin 10，sin cos 10 .1010516答案： 49专业资料整理WORD格式2021全国新课标卷2 理科数学第 10页专业资料整理WORD格式解析： 设数列 a 的首项为 a1，公差为 d，那么 S1010a110910a1 45d0，dn21514S1515a11d25.2d 15a1052联立，得a1 ，d，33所以 Sn3nn(n 1) 2 1 n21

19、0 n.2333令fnnSn，那么f (n)13102， f '(n)n220( )3nnn .33令fnn20( ) 0，得 0 或n.3当20时，( ) 0,20时，( ) 0，所以当20() 取最小值，而 Nn0<n<n时，3fnfn3fnn3，那么 f(6) 48，f (7) 49，所以当 n7 时， f ( n) 取最小值 49.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤17解： (1) 由及正弦定理得sinAsinBcos CsinCsinB又 A ( BC) ，故sin Asin( B C) sin Bcos Ccos Bsin C由，和 C(0 ，

20、) 得 sin Bcos B，又 B(0 ， ) ，所以B.4(2) ABC的面积S1 ac sin B2 ac .24由及余弦定理得224 ac 2ac cos .4222ac，故ac4，当且仅当 ac 时，等号成立又 a c22因此 ABC面积的最大值为2+1 .18A C于点 F，那么F 为 AC中点解： (1) 连结 AC 交111又 D是 AB中点，连结 DF，那么 BC1 DF.因为DF平面 A1CD， BC平面 A CD，"11BC平面A1CD所以1.(2) 由 ACCB2 AB 得，ACBC.2 uuurCxyz .以 C为坐标原点，CA的方向为 x 轴正方向，建立如

21、下列图的空间直角坐标系CA ，那么 D，E，A1uuur(1,1,0)uuur(0,2,1)uuur(2,0,2) 设CDCE，2(1,1,0)(0,2,1)(2,0,2)，CA1设 n( x1，y1，z1 ) 是平面 A1CD的法向量，专业资料整理WORD格式2021全国新课标卷2 理科数学第 11页专业资料整理WORD格式uuurx1y10,那么n CD0,uuur即n CA10,2x12z10.可取 n (1 ， 1， 1) 同理，设 m是平面 A1CE的法向量，uuurm CE0,，2)那么uuur可取 m(2,1m CA10,nmn·m3，从而 cos ， | n | m

22、|3故 sin n， m6 .3即二面角 DA1CE 的正弦值为6 .319解： (1) 当 X100,130) 时， T500X300(130 X) 800X 39 000 ，当 X130,150 时， T500×130 65 000.800X39000,100X130,所以 T由65000,130 X 150.元当且仅当 X(2)(1) 知利润T 不少于57 000150.120由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7 ，所以下一个销售季度内的利润T 不少于 57 000元的概率的估计值为 0.7.(3) 依题意可得 T 的分布列为T45 00053 00061 000

23、65 000P0.10.20.30.4所以 ET45 000 ×0.1 53 000 ×0.2 61 000 ×0.3 65 000 ×0.4 59 400.20解： (1) 设 A( x1，y1) ，B( x2，y2) ，P( x0， y0) ，那么x12y12x22y22y2y1= 1，a2b2 =1，a2b2 =1，x1x2由此可得b2x2x1y2y1 =1.a2 y2y1x2x1因为x1x2 x0，y1y2y0，y0122x0，所以a2b22.2又由题意知， M的右焦点为 (3 ，0)，故a2b23.因此 a26，b23.所以 M的方程为x2y2

24、=1 .63xy30,专业资料整理WORD格式(2) 由x2y2631,专业资料整理WORD格式2021全国新课标卷2 理科数学第 12页专业资料整理WORD格式x4 3 ,x0,3解得或3.y3,y3因此|AB|4 6 .3由题意可设直线CD的方程为53，yx nn33设 C( x3，y3) ，D( x4，y4) y xn,由 x2y2得 3x24nx 2n2 6 0.631于是 x3,42n2 9n2.3，因为直线CD的斜率为1CD 2 | x4x349 n2.所以| |3由，四边形 ACBD的面积S1|CD | |AB|8 69 n2.29当 n0 时， S 取得最大值，最大值为8 6

25、.3所以四边形 ACBD面积的最大值为8 6 .321解： (1) f (x) ex1.x m由 x0 是 f ( x) 的极值点得 f (0) 0，所以 m1.于是 f ( x) ex ln( x 1) ，定义域为 ( 1， ) ， f (x) ex1 .x1函数 f (x)ex1在 ，单调递增，且f (0)0.x(1)x1 ；因此当(1,0)时， f (x)0当 x(0 ， ) 时， f (x) 0.所以 f ( x) 在 ( 1,0) 单调递减，在 (0 ， ) 单调递增m时， fx(2) 当m， xm，时，ln(xmln(x2)，故只需证明当2(0.2()当m2时，函数f (x x1在 ，单调递增)ex 2(2)又 f ( 1) 0， f (0) 0，故 f (x) 0 在 ( 2， ) 有唯一实根 x0，且 x0( 1,0) 当 x( 2，x0) 时， f (x ) 0；当 x( x0， ) 时， f (x) 0，从而当 x x0时， f ( x) 取得最小值专业资料整理WORD格式2021全国新课标卷2 理科数学第 13页专业资料整理WORD格式由 f (x0) 0 得ex012，ln(x02) x0，x0故fxf(x01x0x012() ) x020.x02综上，当 m2时， f (