北京市怀柔区高三年级调研考试（理数）

1、 2012年怀柔区高三年级调研考试数 学（理科） 2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1已知全集U=一l，0，1，2，集合A=一l，2，B=0，2，则A0 B2 C0，l，2 D2已知为虚数单位，则复数ABC2iD2i3“a=2”是“直线ax十2y=0与直线x+y=l平行”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4一个四棱锥的三视图如图所示，其中主11主视图左视图俯视图视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是A B C D5函数是A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数

2、C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数6过点引圆的一条切线，则切线长为A B C D7将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体, 不同的标字母方式共有A24种B48种C72种D144种8若函数满足，且时，函数，则函数在区间内的零点的个数为A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分开 始i=1, s=0s=s+i=i+2输出S结 束否是9二项式的展开式中含的项的系数是 （用数字作答）10如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 11如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则 12 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 13已知

3、不等式组表示的平面区域为若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是 14手表的表面在一平面上整点1，2，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上从整点i到整点（i1）的向量记作，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（本小题满分13分）在中，分别为角的对边，且满足（）求角的值；（）若，设角的大小为，的周长为，求的最大值16（本小题满分14分）OSABCDE如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点（）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；（）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由1

4、7（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（）在上述抽取的40个产品中任职2件，设为重量超过505克的产品数量，求的分布列；（）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率18（本小题满分13分）已知，其中是自然常数，（）讨论时，的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下，；（）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由19（本小题满分14分） 已

5、知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为（）求椭圆的方程；（）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；（）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（本小题满分13分 ）定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列（）若()，证明：数列是数列；（）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；（）设数列(，)，问数列是否是数列？请说明理由参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分题号12345678答案ACCACDBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分

6、 910 10 11 12 13 14 三、解答题：本大题共6小题，满分80分15（本小题满分13分）在中，分别为角的对边，且满足（）求角的值；（）若，设角的大小为，的周长为，求的最大值解：（），又，；-5分 （），同理， 即时，.-13分16（本小题满分14分）OSABCDE如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点（）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；（）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由（）证明：连接，由条件可得.OyzxSABCDE 因为平面，平面， 所以平面.-4分（）证明：由（）知，.建立如图所示的空间直角坐

7、标系.设四棱锥的底面边长为2，则，.所以，.设（），由已知可求得.所以，.设平面法向量为， 则 即 令，得. 易知是平面的法向量.因为，所以，所以平面平面.-9分（）解：设（），由（）可知，平面法向量为.因为，所以是平面的一个法向量.由已知二面角的大小为.所以，所以，解得.所以点是的中点.-14分17（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（）在上述抽取的40个产品中任职2件，设为重量超过50

8、5克的产品数量，求的分布列；（）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率解：（）重量超过505克的产品数量是件-2分（）的所有可能取值为0,1,2 , 的分布列为012 -9分（）由（）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为，令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则，故所求的概率为-13分18（本小题满分13分）已知，其中是自然常数，（）讨论时, 的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下，;（）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（），

9、当时，此时单调递减当时，此时单调递增 的极小值为-4分（）的极小值为1，即在上的最小值为1， ，5分令， 当时，在上单调递增 在（1）的条件下，-8分（）假设存在实数，使（）有最小值3， 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.-13分19（本小题满分14分） 已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为（）求椭圆的方程；（）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；（）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（）由， ，得，所以椭圆方程是：-4分（）设EF：（）代入，得，设，由，得由，-6分得，（舍去），（没舍去扣1分）直线的方程为：即-9分（）将代入，得（*）记，PQ为直径的圆过，则，即，又，得解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件-14分20（本小题满分13分 ）定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列（）若()，证明：数列是数列；（）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；（）设数列(，)，问数列是否是数列？请说明理由解：（） 由，得所以数列满足. 又，当n=4或5时，取得最大值20，即20.综上，数列是数列.-4分