曲线积分与曲面积分习题答案

1、第十一章曲线积分与曲面积分弟三下Green公式及其应用1.利用Green公式，计算下列曲线积分：oxy2dyx2ydx,其中L为正向圆周x2y29；L解：由Green公式，得2121?xydyxydxL22_233(xy)dxdy20d°rdrD812其中D为x2y29。(2)：(eyLy)dx(xey2y)dy,其中L为以O(0,0),A(1,2)及B(1,0)为顶点的三角形负向边界;解：由Green公式，得?(eyy)dx(xey2y)dy(eyey1)dxdydxdy1。LDD*(3)x2ydxxy2dy,其中L为x2y26x的上半圆周从点A(6,0)到点O(0,0)及x2y2

2、L3x的上半圆周从点O(0,0)到点B(3,0)连成的弧AOB；uur解：连直线段AB,使L与BA围成的区域为D,由Green公式，得2,2222,2,xydxxydy(yx)dxdyxydxxydyLDBA152c4415_435_6一23cosd334044226402d6cos23r3cosdr0*(4)屯ydxxdy,其中l为正向圆周x2(y1)24.lxy解：因为22x y/ 222(x y )(x, y)(0,0)。作足够小的圆周l:x222y r，取逆时针方向，记L与l围成的闭区域为D,由Green公式，得?吗xdy0,故l-xyyxdXyd?|xdy2yIX2ydX2»

3、;sOc2sm22.计算下列对坐标的曲线积分:xxe(12cosy)dx2esinydy,其中L为曲线ysinx上由点A(,0)到点O(0,0)的一段弧;LPvQ斛：pe(12cosy),Q2esiny,一2esiny，yx故积分与路径无关，取A(,0)经x轴到点0(0,0)的一条路径，从而xx0x原式二e(12cosy)dx2esinydyedxe1。AO*3.设函数f(u)具有一一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L,有凸lf(xy)(ydxxdy)0.一一PQ证明：f(xy)xyf(xy),记L围成的闭区域为D,由Green公式，得yx?f(xy)(ydxxdy)0dxdy0.'

4、D第四节对面积的曲面积分填空题:、一.22设为球面xy(2)面密度 (x, y, z) 3的光滑曲面的质量M3 dS2.计算下列对面积的曲面积分:(2x y 2z)dS,其中为平面x y1在第一卦限的部分;解:Dxy (x, y) |x y 1,x0,y 0, z,dS 3dxdy原式=(2xDxyy 2(1 xy) 3dxdy.31dx0x(2 y)dy,301(lx(2)zdS,其中,122为z2(xy)(z1)的部分;解:Dxy(x,y)|22一-_xy2(r,)|0r.2,02，dS、1x2y2dxdy原式1 / 2Dxy2(Xy2) .1 x y dxdyr3 1r dr-02(r2

5、1)1,fVdr233/2-0(1r2)1r2dr2*(3)dS(1 x y)2为 x y z 1, x 0, y0, z 0围成四面体的整个边界解：1234，其中1: z 1 x y, Dxy :x y1,dS 岳xdy,3：y0,Dzx:xz1,dSdxdz,原式1233dxdyDxy(1 x y)24：z0,Dxy:xy1,dSdxdy°dS(1xy)24dydzdxdzdxdy222Dyz(1y)Dzx(1x)Dxy(1xy)(,3111)0dx0xdy(1xy)21dy1y0(1y)201dx1x2dz0(1x)20-111(、31)。2)dx1J0(1yy)2dy(、31

6、)ln2第七节Stokes公式*环流量与旋度1 .利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1) °x2y3dxdyzdz,为xOy面内圆周x2y22222(2) Q(y z )dx (z x )dy (x y )dz,a2逆时针方向；解：取为平面z0的下侧被围成的部分，D为在xOy面上的投影区域。由Stokes公式，得dydzdzdxdxdy原式二一一一3x2y2dxdy3x2y2dxdya6xyzd823，xy1zx轴正为平面xyz1在第一卦限部分三角形的边界，从向看去是逆时针方向;解：取为平面z0的上侧被围成的部分，的单位法向量n(1，4，4)。由Stokes公式，得、，3.3-3原

7、式二4,31.填空题:cos(xcoscosdS(1)已知L为椭圆12adSz)dSdS第十一章综合练习题2.2、,其周长为a,贝u(2xy3x4y)ds(2)已知L为直线x1上从点(1,2)到点(1,3)的直线段，则3.L5sinxtanydxxdy(3)设L是以点(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形正向边界，则2xydx2xydy(4)曲线积分F(x,y)(ydxxdy)与路径无关，则可微函数F(x,y)应满足条件_xFxyFy；*(5)设为平面xyz1在第一卦限的部分，取上侧，则(y2z2)dydz2(z2x2)dzdx3(x2y2)dxdy2.求下列曲线积分:(1)x2ds

8、,其中为球面x2y22、，一一a被平面xyz0所截得的圆周;解：在的方程中,由于x,y,z循环对称，故x2dSy2dSz2dS,于日ZE21/22212a_23xdS(xyz)dSadSg|2aa3333*(2):xdy2ydx，其中L是以(1,0)为圆心，2为半径的正向圆周;L4xy解：-Q22y4x(4x2(x,y)(0,0)。作足够小的椭圆l:4x2y22,取顺时针方向，由格林公式,xdy所以蜒言ydx-Tyxdyydx?Ll，22Ll4xyxdyydxlr22l4xy0。xdyydx2*3.在过点0(0,0)和庆(，0)的曲线族yasinx(a0)中，求一条曲线L,使该曲线从。到A积分

9、l(1y3)dx(2xy)dy的值最小.解：令I(a)l(1y3)dx(2xy)dy,则I(a)°1a3sin3x(2xasinx)acosxdx4a所以I(a)4(a21)0所以得驻点a1。又I(1)0,故I(a)在a1取得最小值，从而L为ysinx(0x)。2.*4.设曲线积分xydxy(x)dy与路径无关，L(1,1)2(0,0)xydxy(x)dy.P-Q斛：2xy,y(x),由于积分xydxyyxl其中具有连续的导数，且(0)0,计算所以_P_Q,即2xyy(x),从而(x)x2c。yx(i.i)211(0,0)xydxy(x)dy0ydy2。5.计算下列曲面积分：x2dS

10、,其中为圆柱面x2y21介于z0与(x)dy与路径无关，由(0)0,知c0,所以(x)x2。于是z2之间的部分;解：在的方程中，由于x与y循环对称，故x2dSy2dS,于是2_122-1_xdS(x2y2)dSdS22*(2)2 1xdydz (z 1) dxdy 其中-222，/、,x y z为下半球面,1 x2y2的上侧;解:设平面 : z 0,(x,y) D(x, y)| x21,取下侧。1围成的下半球体为。由格林公式得:2 .xdydz (z 1) dxdy2 .xdydz (z 1) dxdyxdydz (z21) dxdyxdydz (z21) dxdy(32z)dydxdyD1r

11、dr001 r2 zdz近三年考研真题(2013 年)1.设L：22y 1,L2: xy2 2,22L3: x 2y2,L4 : 2x2y2为四条逆时针方向的平面曲线,记 Ii ?(yLi32dx(2x3x-)dy(i1,2,3,4),则 max I1,I2,I3,I43(A) I1(B)(C)(D) I 4(2012 年)2.设(x, y,z) | xy z 1,x 0,y0,z 0,则2 .y ds(2011 年)3.设L是柱面方程x22y 1与平面z xy的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则（2011年）4.已知L是第一象限中从点（0,0）沿圆周2222xy2x到点（2,0）

12、,再沿圆周xy4到点（0,2）的曲线段，计算曲线积分J3x2ydx（x曲线积分？xzdx xdy y-dzx2y）dy。L近三年考研真题解析（2013年）1.解析：由格林公式:Ii?(yL'3y)dx(2x(1x2Di2，dxdyDiD4,在D4内1x20,因此Ii2I2(1D4I4。2x2而在在D4外1x20,因此I2I4。2可彳#I3I4。（利用极坐标分别计算出I3和I4）（2012年）2.解析：由曲面积分的计算公式可知:y2dsy2。1(1)2(1)2dxdy33y2dxdy,其中D(x,y)|x0,y0,xy1,_1故原式=、3dy0y2dx,3y2(1y)dy13。（2011年）3.解析:由斯托克斯公式得