知识第五章数字滤波器的网络结构

1、知识第五章数字滤波器的网络结构第五章-数字滤波器的网络结构二二. .数字滤波器的数学模型数字滤波器的数学模型时域离散系统时域离散系统差分方程差分方程 卷积公式卷积公式 Z域中：域中： 系统函数系统函数 同一种数学模型，具有不同的算法。数字滤波器的工同一种数学模型，具有不同的算法。数字滤波器的工程实践要用计算机的硬件和软件来完成，不同的算法会影程实践要用计算机的硬件和软件来完成，不同的算法会影响系统的一些实际性能。响系统的一些实际性能。 (1)(1)计算的效率，即完成整个滤波所需要的乘法和加法次数；计算的效率，即完成整个滤波所需要的乘法和加法次数； (2)(2)需要的存储单元；需要的存储单元；

2、(3)(3)计算机的位数对滤波系数的量化误差；计算机的位数对滤波系数的量化误差； 本章着重研究系统结构的等效变换方法。本章着重研究系统结构的等效变换方法。 数字滤波器的实质是一个运算过程，对输入序列数字滤波器的实质是一个运算过程，对输入序列x(n)x(n)进行一定的运算操作，从而得到输出序列进行一定的运算操作，从而得到输出序列y(n)y(n)。三三. .基本运算单元的信号流图表示基本运算单元的信号流图表示数字滤波器的差分方程模型：数字滤波器的差分方程模型： 包含三种运算：加法、数乘、单位延时包含三种运算：加法、数乘、单位延时 (1) (1) 加法加法x x1 1(n)(n)x x2 2(n)(

3、n)x x1 1(n)+ x(n)+ x2 2(n)(n) (2) (2) 数乘数乘a)(nx)(nax (3) (3) 单位延时单位延时)(nx) 1( nxz-1四四. .数字滤波器网络结构的分类数字滤波器网络结构的分类1. 1. IIRIIR数字滤波器数字滤波器特点特点 网络结构存在输出到输入的反馈。网络结构存在输出到输入的反馈。 单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)h(n)是无限长的。是无限长的。Infinite Impulse ResponseInfinite Impulse Responseaz z-1-1x(n)x(n)y(n)y(n)2. 2. FIRFIR数字滤波器数字滤波器特点

4、特点 网络结构没有输出到输入的反馈。网络结构没有输出到输入的反馈。 单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)h(n)是有限长的。是有限长的。Finite Impulse ResponseFinite Impulse Responseaz z-1-1x(n)x(n)y(n)y(n) 5.2 IIR5.2 IIR滤波器的基本网络结构滤波器的基本网络结构IIR滤波器的差分方程：滤波器的差分方程： IIR滤波器的系统函数：滤波器的系统函数： 一一. .直接型直接型 采用加法、数乘、单位延时三种基本运算单元，由差分采用加法、数乘、单位延时三种基本运算单元，由差分方程直接实现。方程直接实现。 设设M2, N2 ,

5、 则则b1z z-1-1x(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1b2b0-a1-a2z z-1-1z z-1-1直接直接I型型b1z z-1-1x(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1b2b0-a1-a2z z-1-1z z-1-1直接直接I型型系统函数系统函数 先实现系统函数先实现系统函数H(Z)的分子部分，后实现其分母部分，然的分子部分，后实现其分母部分，然后再将两部分级联起来。后再将两部分级联起来。b1z z-1-1x(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1b2b0-a1-a2z z-1-1z z-1-1直接直接I型型H1(z)H2(z)交换级联两部分的连接次序，得交换级

6、联两部分的连接次序，得 b1z z-1-1x(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1b2b0-a1-a2z z-1-1z z-1-1直接直接I型型H1(z)H2(z)x(n)x(n)-a1-a2z z-1-1z z-1-1b1z z-1-1z z-1-1b2b0y(n)y(n)x(n)x(n)-a1-a2z z-1-1z z-1-1b1z z-1-1z z-1-1b2b0y(n)y(n)w w1 1(n)(n)w w2 2(n)(n)可共用延时单元可共用延时单元x(n)x(n)-a1-a2z z-1-1z z-1-1b1b2b0y(n)y(n) 直接直接II型型x(n)x(n)-a1-a2

7、z z-1-1z z-1-1b1b2b0y(n)y(n) 直接直接II型型系统函数系统函数 直接直接II型与型与H(Z)的关系：的关系： H(Z)H(Z)的分子系数决定非反馈支路的系数，符号相同。的分子系数决定非反馈支路的系数，符号相同。 H(Z)H(Z)的分母系数决定反馈支路的系数，但要注意：的分母系数决定反馈支路的系数，但要注意： 符号相反；符号相反； a0 0要归一化为要归一化为1 1。例例5.3.1 IIR5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数H(z)H(z)为为画出该滤波器的直接型结构。画出该滤波器的直接型结构。说 明 yfilter（b，a，x） 在在matla

8、b中，输入信号中，输入信号x(n)通过通过IIR直接型滤波器直接型滤波器的输出的输出y(n)可由可由filter函数求得，调用方式为：函数求得，调用方式为：bb0，b1, , bM %系统函数的分子系数系统函数的分子系数aa0，a1, , aN 系统函数的分母系数系统函数的分母系数 二二. .级联型级联型1.1.基本原理基本原理将分子、分母多项式进行因式分解：将分子、分母多项式进行因式分解：式中：式中：c ck k、d dk k 为实数零、极点；为实数零、极点； 为共轭复数零、极点；为共轭复数零、极点；kqkqkpkp、G 为增益。为增益。 把任意两个实数零、极点组合，每一对共轭零、极点也进把

9、任意两个实数零、极点组合，每一对共轭零、极点也进行组合，这样，就得到一些实系数的二阶子系统。行组合，这样，就得到一些实系数的二阶子系统。H H（z z）分解为二阶子系统的乘积：）分解为二阶子系统的乘积：每一个子系统具有如下形式：每一个子系统具有如下形式：x(n)y(n)z1x(n)y(n)z1z1( a )( b )j0j1j2j0j1j2kj, 2 , 1每一个二阶子系统都用直接型网络结构实现：每一个二阶子系统都用直接型网络结构实现：2211221111)(zzzzzHjjjjj说 明、 0 jj0都为都为1。2.2.用用Matlab求级联形式的各系数求级联形式的各系数NNMMzazaazb

10、zbbzXzYzH110110)()()(sos,G=tf2sos(b,a)sos,G=tf2sos(b,a)b H(z)b H(z)分子多项式按分子多项式按z z1 1升幂排列的各项系数；升幂排列的各项系数；a H(z)a H(z)分母多项式按分母多项式按z z1 1升幂排列的各项系数；升幂排列的各项系数；H H1 1(z)(z)H H2 2(z)(z)H Hk k(z)(z)G G 整个系统归一化以后的增益整个系统归一化以后的增益例例5.3.2 5.3.2 设系统函数设系统函数H(z)H(z)如下式：如下式： 试画出其级联型网络结构。试画出其级联型网络结构。 解解: b=8,-4,11,-

11、2;: b=8,-4,11,-2; a=1,-1.25,0.75,-0.125 a=1,-1.25,0.75,-0.125 sos,G=tf2sos(b,a) sos,G=tf2sos(b,a)80.190.311.3161注意注意)5 . 01)(25. 01 ()3161. 131. 01)(19. 01 (8)(211211zzzzzzzH80.190.311.3161教材上：教材上：b,a = sos2tfb,a = sos2tf (sos(sos，G)G)说 明由级联型到直接型的转换：由级联型到直接型的转换：3.3.求求信号通过级联形式滤波器的输出信号通过级联形式滤波器的输出y=G

12、y=G * * sosfilt(sos,x) sosfilt(sos,x)式中：式中： x x 输入序列输入序列 sos sos 级联各系数级联各系数 G G 级联增益级联增益 y y 系统输出系统输出只需设计一个网孔（即二阶程序只需设计一个网孔（即二阶程序)调整零、极点方便，通过调整零极点配对，调整零、极点方便，通过调整零极点配对，可减少量化误差。可减少量化误差。4.4.级联型网络结构的优点级联型网络结构的优点级联结构中后面的网络输出不会再流到前级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的累积相对直接型要小。面，运算误差的累积相对直接型要小。三三. .并联型并联型1.1.基本原理基本原

13、理将级联型将级联型H(z)H(z)展成部分分式形式，就得到展成部分分式形式，就得到IIRIIR滤波器的并联滤波器的并联型结构。型结构。其中，每个子系统其中，每个子系统Hi(z)Hi(z)具有下列形式：具有下列形式：其中，每个子系统其中，每个子系统Hi(z)Hi(z)具有下列形式：具有下列形式：每个子系统也用直接型网络结构实现：每个子系统也用直接型网络结构实现：x(n)x(n)-a1i-a2iz z-1-1z z-1-10iy(n)y(n)1i2.2.用用matlabmatlab求并联型各系数求并联型各系数MatlabMatlab中没有直接把中没有直接把 b b、a a 转换成并联型结构的函数。

14、转换成并联型结构的函数。1.r,p,c=residuez(b,a)1.r,p,c=residuez(b,a)求出留数、极点、直接项求出留数、极点、直接项2.B2.Bk k,A,Ak k=residuez(r=residuez(rk k,p,pk k,c,ck k) )将共轭的极点留数或二个实极点留数进行合并，形成一个将共轭的极点留数或二个实极点留数进行合并，形成一个二阶子系统。二阶子系统。r rk k,p,pk k,c,ck k 共轭留数、极点、直接项共轭留数、极点、直接项B Bk k,A,Ak k 二阶子系统分子、分母系数二阶子系统分子、分母系数例例5.3.3 5.3.3 设系统函数设系统函

15、数H(z)H(z)如下式：如下式： 试画出其并联型网络结构。试画出其并联型网络结构。 解解: (1): (1)将将H(z)H(z)进行部分分式分解进行部分分式分解r,p,c=residuez(b,a)r,p,c=residuez(b,a)r=-8 -12i p=0.5+0.5i c=16解解: (1): (1)将将H(z)H(z)进行部分分式分解进行部分分式分解r,p,c=residuez(b,a)r,p,c=residuez(b,a)r=-8 -12i p=0.5+0.5i c=16 (2)(2)将一对共轭极点、留数进行合并将一对共轭极点、留数进行合并r rk kr(1)r(1)，r(2)r

16、(2)p pk kp(1)p(1)，p(2)p(2)c ck k BBk k,A,Ak k=residuez(r=residuez(rk k,p,pk k,c,ck k) ) B Bk k=-16 20 A=-16 20 Ak kr=-8 -12i p=0.5+0.5i c=16 -8 +12i 0.5-0.5i 8 0.25将每一部分用直接型实现，其并联型结构如图所示：将每一部分用直接型实现，其并联型结构如图所示： 3.3.并联型网络结构的优点并联型网络结构的优点每一个一阶网络单独决定一个实数极点每一个一阶网络单独决定一个实数极点每一个二阶网络单独决定一对共轭极点每一个二阶网络单独决定一对共

17、轭极点调整极点方便，调整零点不方便调整极点方便，调整零点不方便(1)(1)(2) (2) 各基本网络并联，产生的运算误差互不影响，相对直接型各基本网络并联，产生的运算误差互不影响，相对直接型和级联型，并联形式的运算误差最小。和级联型，并联形式的运算误差最小。(3) (3) 可同时对输入信号进行运算，运算速度最高。可同时对输入信号进行运算，运算速度最高。 5.3 FIR5.3 FIR滤波器的基本网络结构滤波器的基本网络结构特点特点 网络结构没有输出到输入的反馈。网络结构没有输出到输入的反馈。 单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)h(n)是有限长的。是有限长的。az z-1-1x(n)x(n)y(n)

18、y(n)FIR滤波器的差分方程：滤波器的差分方程： FIR滤波器的系统函数：滤波器的系统函数： FIR滤波器的卷积公式：滤波器的卷积公式： h(n)h(n)的长度是的长度是N N，但此滤波器的阶数是，但此滤波器的阶数是N-1N-1阶。阶。说 明 FIRFIR滤波器总是稳定的，同滤波器总是稳定的，同IIRIIR结构相比，简单。结构相比，简单。 FIRFIR滤波器可设计成线性相位结构。滤波器可设计成线性相位结构。)1(111010)()()(NNNnnnzbzbbzbzXzYzH(N-1)(N-1)个极点全部位于个极点全部位于z z0 0处。处。一一. .直接型（横截型）直接型（横截型）设设N N

19、5 5（四阶（四阶FIRFIR滤波器）滤波器）x(n)x(n)z z-1-1z z-1-1b1b2b0y(n)y(n)b3-a1-a2-a3-a4b4z z-1-1z z-1-1x(n)x(n)z z-1-1z z-1-1b1b2b0y(n)y(n)b3b4z z-1-1z z-1-1x(n)x(n)z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-1b0b1b2b3b4y(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)h(4)x(n)x(n)h(0)z z-1-1h(1)y(n)y(n)FIRFIR的系统函数的系统函数H(z)H(z)与直接型关系与直接型关系z z-1-1z z-1-1h(

20、2)h(N2)h(N1)二二. .级联型级联型)1(111010)()()(NNNnnnzbzbbzbzXzYzH将将H(z)H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个实系数的二阶形式。一个实系数的二阶形式。2211221111)(zzzzzHiiiiiMatlabMatlab：直接型直接型 级联型级联型sos,G=tf2sos(bsos,G=tf2sos(b，a)a)b H(z)b H(z)分子多项式按分子多项式按z z1 1升幂排列的各项系数；升幂排列的各项系数；a a1 1；H H1 1(z)(z)H H2 2(z)(z)H

21、Hk k(z)(z)G G 整个系统归一化以后的增益整个系统归一化以后的增益例例设设FIRFIR网络系统函数网络系统函数H(z)H(z)为：为：-1-1-2-2-3-3画出画出H(z)H(z)的级联型网络结构。的级联型网络结构。 解解: b: b，2 2，1.5 1.5 ； a a1 1； sos,G=tf2sos(bsos,G=tf2sos(b，a)a) sos sos1 0.8333 0 1 0 01 0.8333 0 1 0 0 1 1.2500 1.8750 1 0 0 1 1.2500 1.8750 1 0 0 G G sos sos1 0.8333 0 1 0 01 0.8333

22、0 1 0 0 1 1.2500 1.8750 1 0 0 1 1.2500 1.8750 1 0 0H1(z)H2(z) G G故：故：H(z)=0.96(1H(z)=0.96(1-1-1)(1)(1-1-1-2-2) )x(n)x(n)y(n)y(n)0.8333z z-1-1z z-1-1z z-1-11.251.875注注意意H(z)=0.96(1H(z)=0.96(1-1-1)(1)(1-1-1-2-2) )x(n)x(n)y(n)y(n)0.8333z z-1-1z z-1-1z z-1-11.251.875x(n)x(n)y(n)y(n) 0.5z z-1-1z z-1-1z z

23、-1-1 2 30. 61. 6教材上：教材上：三三. .线性相位类型的网络结构线性相位类型的网络结构滤波器线性相位定义滤波器线性相位定义频率响应：频率响应：线性相位线性相位第一类线性相位第一类线性相位第二类线性相位第二类线性相位滤波器满足线性相位的条件滤波器满足线性相位的条件( (对对h(n)h(n)的要求的要求) )满足第一类线性相位的条件：满足第一类线性相位的条件：h(n)h(n)是实序列，且对是实序列，且对 偶对称，偶对称，21N即即 h(n)=h(N-n-1)h(n)=h(N-n-1)满足第二类线性相位的条件：满足第二类线性相位的条件：h(n)h(n)是实序列，且对是实序列，且对 奇

24、对称，奇对称，21N即即 h(n)=h(n)=h(N-n-1)h(N-n-1)3.3.线性相位线性相位FIRFIR滤波器的网络结构滤波器的网络结构数学模型数学模型: :(1)N(1)N为偶数为偶数, ,例如例如 N N6 6，h(n)h(n)如下：如下：0 152340 15234-1-1x(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-1h(0)h(1)h(2)-1-1-1-1-1-1为第为第二类线二类线性相位性相位12N(2)N(2)N为奇数为奇数, ,例如例如 N N5 5，h(n)h(n)如下：如下：0 1 2340 1 234x(n)x(