职高数学均值定理

1、关于职高数学均值定理第一页，共19页幻灯片（1）若a0，则 _（2）若a0且b0,则 _（3）用作差法证明不等式的步骤： 2ababa21、作差、作差2 2、变形（与、变形（与0 0比较比较) )a)(2ba3 3、定号、定号第二页，共19页幻灯片 一个矩形的长为a，宽为b，画两个正方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长相同.问哪个正方形的面积大？baS=abC=2(a+b)(1)(1)(2)(2)探究新知探究新知第三页，共19页幻灯片第一个正方形的面积是第一个正方形的面积是ab,可得边长可得边长为为 .第二个正方形的周长为第二个正方形的周长为2(a+b)

2、，边长为边长为 .ab2ba我们要比较两个正方形面积的大小，只需我们要比较两个正方形面积的大小，只需要比较两个正方形的边长哪个长？要比较两个正方形的边长哪个长？第四页，共19页幻灯片0abba2)2(21abba 对任意正实数a、b,有2)(21ba 因此ab2ba等号成立02)(baba. ba 第五页，共19页幻灯片 对于两个正实数对于两个正实数a、b，我们把我们把 叫叫做做a与与b的的 ，把把 叫做叫做a与与b的的 .2baab算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数讲授新课讲授新课第六页，共19页幻灯片 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均

3、数，即对于任意两个正实数何平均数，即对于任意两个正实数a a、b b，有，有ab2ba当且仅当当且仅当 a=b时，等号成立时，等号成立.这个结论称为这个结论称为均值定理均值定理第七页，共19页幻灯片变式（2）ab2ba当且仅当当且仅当 a=b时，等号成立时，等号成立.由a0、b0时， 得变式（1）abba222baab（积定和小）（积定和小）（和定积大）（和定积大）第八页，共19页幻灯片例例1.已知已知a0,b0，且，且ab=16，求，求a+b的最的最小值小值.8162解：由解：由a0,b0根据均值定理，得根据均值定理，得 当且仅当当且仅当a=b，即，即a=4时，时， 等号成立等号成立abba

4、2所以a+b的最小值为最小值为8 8. .一正二定三相等三相等结论结论应用应用第九页，共19页幻灯片例例2.已知已知a0,b0，且，且a+b=6，求，求ab的最大的最大值值.22baab解：由解：由a0,b0根据均值定理，得根据均值定理，得 当且仅当当且仅当a=b，即即,9262所以所以ab的的最大值为最大值为9 9. .a=3时等号成立一正二定三相等第十页，共19页幻灯片 一正一正：函数式中：函数式中各项各项必须都是必须都是正数正数; 二定二定：函数式中含变数的各项的：函数式中含变数的各项的和或积和或积必须是必须是 定值定值； 三相等三相等：等号等号成立成立条件条件必须必须存在存在. 均值定

5、理必须满足的条件：均值定理必须满足的条件：总结总结第十一页，共19页幻灯片1、已知、已知a0,b0，且，且ab=49，求，求a+b的最小值。的最小值。2、已知、已知a0,b0，且，且a+b=10，求，求ab的最大值。的最大值。第十二页，共19页幻灯片. 21aa1a1、求证：对于任意正实数、求证：对于任意正实数 ，有，有 当且仅当且仅当当 时成立时成立.2、求、求 的最小值，并求出的最小值，并求出 相应相应 的值的值.11xxx)1（x第十三页，共19页幻灯片1 1、用一根长为、用一根长为20cm20cm的铁丝，围成一个矩形小框，长的铁丝，围成一个矩形小框，长与宽各为多少时，面积最大？与宽各为

6、多少时，面积最大？2 2、为了围成一个面积为、为了围成一个面积为49 49 的矩形小框，至少要的矩形小框，至少要用多长的铁丝？用多长的铁丝？cm2第十四页，共19页幻灯片1 1、解：设围成的矩形的长与宽分别为、解：设围成的矩形的长与宽分别为x cmx cm、y cm.y cm.255222yxxy 答：矩形的长与宽都等于答：矩形的长与宽都等于5cm5cm时，面积最时，面积最大，达到大，达到25 .25 .2cm等号成立当且仅当等号成立当且仅当 时时, 5 yx10220由已知条件得，由已知条件得，x+y= .x+y= .据均值定理得据均值定理得xy 取最大值取最大值25.25.第十五页，共19

7、页幻灯片 2、解：设围成的矩形的长与宽分别为解：设围成的矩形的长与宽分别为xcmxcm、ycmycm. .144922xyyx答：至少要用答：至少要用28cm28cm长的铁丝长的铁丝. . 等号成立当且仅当等号成立当且仅当x=y= =7x=y= =7, , 49由已知条件得，由已知条件得，xy= 49 .xy= 49 .据均值定理得据均值定理得 此时此时x+y x+y 达到最小达到最小值值1414，从而，从而2(x+y)2(x+y)达到最小值达到最小值2 214=28.14=28.第十六页，共19页幻灯片2ba1、对于任意两个正实数a、b, 称为算术平均数， 称为几何平均数 ，且 ，当且仅当a=b时，等号成立. ababba23、均值定理必须满足：一正：函数式中各项必须都是正数;二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是定值；三相等：等号成立条件必须存在. 2、变式应用：第十七页，共19页幻灯片1 1、已知、已知a0,b0a0