超静定结构的解法（课堂PPT）

1、第八章第八章 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法第八章第八章 主要内容主要内容8-1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定8-2 力法和典型方程力法和典型方程8-3 对称性的利用对称性的利用重点：重点：力法力法 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法本节内容本节内容8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法 8.1 8.1 超静定结构超静定结构 及及超静定次数的确定超静定次数的确定 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法 超静定结构：

2、几何不变体系，有多余约束。 不能利用静力平衡条件求出结构的全部支座反力不能利用静力平衡条件求出结构的全部支座反力和杆件内力，这种结构称为超静定结构。和杆件内力，这种结构称为超静定结构。8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法 2.超静定结构的内力与材料的物理性质和截面的几何性质有关。超静定结构的内力与材料的物理性质和截面的几何性质有关。（EI）超静定结构的特性：超静定结构的特性：1.超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，求解内力超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，求解内力必须考虑变形条件。必须考虑变形条件。 3

3、.超静定结构在支座移动、温度改变等因素下，会产生内力。超静定结构在支座移动、温度改变等因素下，会产生内力。 4.超静定结构的局部位移和内力比静定结构小。超静定结构的局部位移和内力比静定结构小。ABFCABCF8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法超静定次数的确定：超静定次数的确定：超静定次数超静定次数=多余约束的个数多余约束的个数确定方法：如果从原结构中去掉确定方法：如果从原结构中去掉n个约束后，结构成为静个约束后，结构成为静定结构，则原结构的超静定次数定结构，则原结构的超静定次数=nAB1XAB1n1X多余约束力

4、多余约束力8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定静定基静定基：超静定结构解除多余约束后得到的几何不变体，称超静定结构解除多余约束后得到的几何不变体，称为该超静定结构的静定基。为该超静定结构的静定基。 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法1X1X2X2X3X3X1X1X2X2X3X3X3n3n8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定超静定结构根据解除约束的不同可以有多种静定基。超静定结构根据解除约束的不同可以有多种静定基。超静定次数超静定次数=多余约束的个数多余约束的个数超静定次数的确定：超静定次数的确定： 第八章：超静定

5、结构解法第八章：超静定结构解法解除多余约束的几种情况：解除多余约束的几种情况：静定基不唯一静定基不唯一X1X1X1 1. 1. 去掉一个支座链杆相当于解除一个约束。去掉一个支座链杆相当于解除一个约束。 可变体系可变体系8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法解除多余约束的几种情况：解除多余约束的几种情况： 2. 2. 在杆件内添加一个铰，相当于解除一个约束；在杆件内添加一个铰，相当于解除一个约束；8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定X1X2X3也称：刚结点（刚性联结）变铰结点相当于

6、解除一个约束；也称：刚结点（刚性联结）变铰结点相当于解除一个约束； 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法3.3.去掉一个固定铰支座去掉一个固定铰支座, ,或拆开一个单铰相当于解除或拆开一个单铰相当于解除两个约束；两个约束；2X1XX1X2X1X28.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定解除多余约束的几种情况：解除多余约束的几种情况： 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法4.去掉一个固定端支座相当于解除三个约束；去掉一个固定端支座相当于解除三个约束；X1X2X3X1X2X3解除多余约束的几种情况：解除多余约束的几种情况：8.1 8.1 超静定结构及

7、超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法5.5.切断一根梁相当于解除三个约束。切断一根梁相当于解除三个约束。X1X2X3X1X3X2解除多余约束的几种情况：解除多余约束的几种情况：8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定或：切开一个闭合框相当于解除三个约束。或：切开一个闭合框相当于解除三个约束。X1X3X1X3X2X2 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法解除多余约束的几种情况：解除多余约束的几种情况：8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定 1. 1. 去掉一个支座链杆相

8、当于解除去掉一个支座链杆相当于解除1 1个约束。个约束。 2. 2. 在杆件内添加一个铰，相当于解除在杆件内添加一个铰，相当于解除1 1个约束；个约束；3. 3. 去掉一个固定铰支座去掉一个固定铰支座, ,或拆开一个单铰相当于解除或拆开一个单铰相当于解除 2 2个约束；个约束；4. 去掉一个固定端支座相当于解除去掉一个固定端支座相当于解除3个约束；个约束；5. 5. 切断一根梁（杆）或切开一个闭合框相当于解除切断一根梁（杆）或切开一个闭合框相当于解除3 3 个约束个约束; ; 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法课堂练习课堂练习： 判定下列结构的超静定次数：判定下列结构的超静定次数：3

9、33312n3216n8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法1113n3n3课堂练习课堂练习： 判定下列结构的超静定次数：判定下列结构的超静定次数：8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法 组成组成无多余约束无多余约束几何不变体系的基本规则：(1) 两刚片法则：两刚片法则： 三刚片用不共线的三个铰两两相连，可组成一个无多三刚片用不共线的三个铰两两相连，可组成一个无多余约束的几何不变体系。余约束的几何不变体系。(2) 三刚片法则（三角形法则

10、）：三刚片法则（三角形法则）： 在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何组成性质。何组成性质。(3) 二元体法则：二元体法则： 两个刚片用三根两个刚片用三根不共点不共点的链杆相连，的链杆相连，或者或者，两刚片用，两刚片用一铰和一不通过铰心的链杆相连，可组成一个无多余约束一铰和一不通过铰心的链杆相连，可组成一个无多余约束的几何不变体系。的几何不变体系。8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法(a) 1次次(c) 1次次(c) 4次次(e) 1次次(b) 2次次(i)

11、 4次次(f) 3次次(h) 9次次(g) 3次次8.1 8.1 超静定结构及超静定次数的确定超静定结构及超静定次数的确定课堂练习课堂练习： 判定下列结构的超静定次数：判定下列结构的超静定次数： 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法 8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程力法：力法：以力为未知数以力为未知数求解超静定问题的方法。求解超静定问题的方法。力法的基本思路：力法的基本思路：1. 1. 解除多余约束，使之成为静定结构解除多余约束，使之成为静定结构静定基；静定基；2. 2. 在静定基上施

12、加与多余约束相对应的多余力在静定基上施加与多余约束相对应的多余力基本基本 未知量；未知量；3. 3. 应用变形条件求解多余约束力。应用变形条件求解多余约束力。 求解超静定问题的方法有多种，求解超静定问题的方法有多种，力法力法是最基本、也是历史最是最基本、也是历史最悠久的一种。它是以悠久的一种。它是以多余约束力为未知数多余约束力为未知数，列出变形补充方程求，列出变形补充方程求解后，其他未知力和变形等就可按静定结构来计算。解后，其他未知力和变形等就可按静定结构来计算。 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法力法的基本思路：力法的基本思路：静定基静定基2、分析位移条件、分析位移条件:B点处点处

13、解解: 1、确定静定基、确定静定基11 X1+1P=0设设11 ：单位多余力作用下，静定基：单位多余力作用下，静定基在去掉多余约束处的位移；在去掉多余约束处的位移；qlAB原结构原结构X1qABqD D1PABD D11X1ABX1=1=1d d11ABq单独作用下单独作用下:1P X1单独作用下单独作用下:1111 +1P=B=03、建立方程：、建立方程：力法方程力法方程B=0原结构原结构: 静定基静定基:11：系数：系数 1P：自由项：自由项11 =11X18.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法10023111( )( )12dx233l

14、MxMxlllEIEIEId 4、求系数、求系数11 和自由项和自由项1PqD D1PABX1=1=1d d11ABX1=1=1lM10图图2/2qlMP图图X1=1=1lM10图图M10图图X1=1=1l01124( )( )dx1133248PPlMxMxEIqllqllEIEID 力法的基本思路：力法的基本思路：8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程11 X1+1P=0力法方程力法方程11：系数：系数 1P：自由项：自由项设设11 ：单位多余力作用下，静定基：单位多余力作用下，静定基在去掉多余约束处的位移；在去掉多余约束处的位移；11 =单位多余力产生的弯矩图单位多余力产生的弯矩图

15、自乘自乘/EI；1P =单位多余力产生的弯矩图单位多余力产生的弯矩图乘乘外荷外荷载弯矩图载弯矩图/EI； 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法 6、求原结构的反力和内力、求原结构的反力和内力反力反力:根据整体平衡求支座反力根据整体平衡求支座反力M图图8/2ql8/2ql22311(828AMlqlqlql 上拉）qlABql83力法的基本思路：力法的基本思路：8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程静定基静定基qlAB原结构原结构X1qAB111138PXqldD 5、解方程求、解方程求X111 X1+1P=0力法方程力法方程内力内力:011PMM XM 第八章：超静定结构解法第八

16、章：超静定结构解法力法的思路：力法的思路：1、去掉多余约束，代以多余约束力，确定静定基；、去掉多余约束，代以多余约束力，确定静定基；2、以多余约束力为基本未知量，由位移条件建立力法方程；、以多余约束力为基本未知量，由位移条件建立力法方程；3、解方程求多余约束力，进而求超静定结构的内力。、解方程求多余约束力，进而求超静定结构的内力。力法的要点：力法的要点：1、基本未知量、基本未知量多余约束力；多余约束力；2、位移条件：、位移条件：基本结构在多余约束力和荷载共同作用下基本结构在多余约束力和荷载共同作用下, ,在去掉多余约束处的位移等于原结构的实际位移。在去掉多余约束处的位移等于原结构的实际位移。8

17、.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 以一封闭刚架为例：以一封闭刚架为例： 设在刚架中央截面设在刚架中央截面C处截开，得两个半刚处截开，得两个半刚架的静定基，超静定次数为架的静定基，超静定次数为3，故加三对多余，故加三对多余约束力约束力X1， X2， X3以取代解除的约束作用；以取代解除的约束作用；X1X1X2X2X3X3(b)PP(a)ACB力法的典型方程：力法的典型方程：原结构原结构静定基静定基1=02=03=0位移条件：位移条件：123123123111112222233333000PXXXP

18、XXXPXXXD DDDDD DDDDD DDDD位置位置原因原因 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程定义：定义： i j：由：由Xj=1引起的沿引起的沿Xi方向的位移方向的位移位置原因X1X1X2X2X3X3(b)PP(a)ACB原结构原结构静定基静定基力法的典型方程：力法的典型方程：iP：由外荷载引起的沿：由外荷载引起的沿Xi方向的位移方向的位移(c)D D 2PD D 1PD D 3PP(d)21d31d11d d31d21d(f )23d33d13d d33d23d由由X1=1引起的位移引起的位移由由X2=1引起的位移引起的位移由由

19、X3=1引起的位移引起的位移由由外荷载外荷载引起的位移：引起的位移：(e)32d22d d32d12d12d 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法(c)D D 2PD D 1PD D 3PP(d)21d31d11d d31d21d(f )23d33d13d d33d23d(e)32d22d d32d12d12d123123123111112222233333000PXXXPXXXPXXXD DDDDD DDDDD DDDD力法的典型方程：力法的典型方程：8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程11111XXd d D D21122XXdD31133XXdD12211XXdD2222

20、2XXdD32233XXdD13311XXdD23322XXdD33333XXdD i j：由：由Xj=1引起的沿引起的沿Xi方向的位移方向的位移位置原因 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法DDDDDD000333232131333232221212231321211111XXXXXXXXXPPPddddddddd(8-1)0iiPiPiliiiM MdsE ID0000iiijjiijiijilliiiiiiM MM MdsdsE IE Idd其中jiijdd位移互等定理位移互等定理典型方程典型方程8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程力法的典型方程：力法的典型方程：由外荷载

21、引起的沿由外荷载引起的沿Xi方向的位移方向的位移Xj=1=1由外荷载引起的沿由外荷载引起的沿Xi方向的位移方向的位移00( )( )11ijijMx MxXX、为单位力、单独作静定基用时，的弯矩;( )PMx 荷载单独作静定基用时，的弯矩; 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法111122112112222200nnPnnPXXXXXXdddddd D D11220nnnnnnPXXXddd D位移互等定理jiijddn次超静定结构：次超静定结构：力法典型方程力法典型方程 1） 主系数：主系数： i i 0 2） 付系数：付系数： i j （ij） 可负，可正，零可负，可正，零 3）

22、i P :自由项自由项 4）系数、自由项的含义：位移）系数、自由项的含义：位移方向产生的位移引起的沿由iiiiXX1:d方向产生的位移引起的沿由ijijXX1:d:iPiXD由荷载引起的沿方向产生的位移8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程（为书写简便省略上划线）（为书写简便省略上划线）等于等于Xi=1产生的弯矩图产生的弯矩图自乘自乘/EI/EI；等于等于Xi=1、Xj=1产生的弯矩图产生的弯矩图互乘互乘/EI/EI；等于等于外荷载外荷载弯矩图与弯矩图与Xi=1产生的弯矩图产生的弯矩图互乘互乘/EI/EI；静定基的弯矩图静定基的弯矩图 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法力法的解

23、题步骤：力法的解题步骤：2、列力法方程、列力法方程3、求系数、自由项、求系数、自由项(画各弯矩图，图乘法）画各弯矩图，图乘法）4、解方程求多余力、解方程求多余力5、画内力图、画内力图1、确定静定基、确定静定基8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程6、校核、校核 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法力法的解题步骤：力法的解题步骤：1)判断结构的超静定次数；判断结构的超静定次数；2)解除多余约束，代以相应的多余约束力解除多余约束，代以相应的多余约束力Xi，选好静定基；，选好静定基； 5) 用叠加法作出超静定结构的内力图后，可进行各种计算。以用叠加法作出超静定结构的内力图后，可进行各种

24、计算。以作弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为：作弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为： 6)校核：求得多余约束力后，再按计算静定结构位移的方法，计算一校核：求得多余约束力后，再按计算静定结构位移的方法，计算一下超静定结构的位移，看它是否满足巳知的变形条件或连续性条件。如满下超静定结构的位移，看它是否满足巳知的变形条件或连续性条件。如满足，则结果正确。足，则结果正确。 3)分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相应的位移应的位移 ；ijiPd d,D D4)将将 代入典型方程，求出多余约束力代入典型方程，求出多余约束力Xi； ijiPd d,D D033022011MXMXMXMMP 8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 第八章：超静定结构解法第八章：超静定结构解法力