2013-2017高考理数分类汇编：第13章概率与统计（理科）

1、第十三章 概率与统计第1节 概率及其计算题型140 古典概型 1.（2013广东理17） 某车间共有名工人，随机抽取名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数. (1) 根据茎叶图计算样本均值； (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；(3) 从该车间名工人中，任取人，求恰有名优秀工人的概率.2. (2013全国新课标卷理14）从个正整数中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于的概率为，则 .3.（2013江苏7）现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为 .4. (2013安徽理

2、21）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心里测试活动，分别由李老师和张老师负责.已知该系共有位学生，每次活动均需要该系位学生参加（和都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机的发给该系位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为.（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使取得最大值的整数使率师到ANSHU 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

3、11111111111111111111111111.5.（2014 江西理 12）件产品中有件正品，件次品，从中任取件，则恰好取到件次品的概率是 .6.（2014 江苏理 4 ）从这个数中一次随机地取个数,则所取个数的乘积为的概率是 7.（2014 广东理 11）从中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是的概率为 .8.（2014 新课标1理5）位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.A. B. C. D. 9.（2014 陕西理 6）从正方形四个顶点及其中心这个点中，任取个点，则这个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）.A. B.

4、 C. D. 10.（2014 新课标1理5）位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.A. B. C. D. 11.（2014 陕西理 6）从正方形四个顶点及其中心这个点中，任取个点，则这个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）.A. B. C. D. 12.（2015广东理科4）袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为（ ）.A B C D12.解析 从袋中任取2个球共有种，其中恰好1个白球1个红球共有种，所以恰好1个白球1个红球的概率为故选B13. (2015北京理

5、科16) ，两组各由7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：，组：，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙.（1）求甲的康复时间不少于天的概率；（2）如果，求甲的康复事件比乙的康复时间长的概率；（3）当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）13. 解析 （1）设甲的康复事件为，则，即甲的康复时间不少于天的概率为.（2）设乙的康复事件为，集合，则选取病人的基本事件空间为，共个基本事件，其中符合题意的基本事件为：，共个.从而.（3）可以看出组个连续的正整数，组为至共个连续的正整数和，从而或时，两组离散程度相

6、同，即方差相等.14.（2016江苏7）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是 14. 解析 将先后两次点数记为，则基本事件共有（个），其中点数之和大于等于有，共种，则点数之和小于共有种，所以概率为15.（2016上海理14）如图所示，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是 15. 解析 由题意，若要使得点落在第一象限，则只需使在第三象限，可考虑变动，当时，不存在；当时，符合要求，同理顺次画图即可所有的满足条件的的数组为，共组，故所求概率为故填16.（2017山东理18（1）在心理

7、学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者，和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率.16.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则题型141 几何概型1（2013四川理9）节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内秒为间隔闪亮

8、，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过秒的概率是（ ）A. B. C. D.2. (2013陕西理5）如图，在矩形区域的两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）.A. B. C. D. 3. (2013福建理11）利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为_.4.（2013山东理14） 在区间上随机取一个数，使得成立的概率为_.1-11-15.（2014 辽宁理 14）正方形的四个顶点，分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投

9、入正方形中，则质点落在阴影区域的概率是 .6.（2014 福建理 14）如图所示，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 .7.（2015陕西理科11）设复数，若，则的概率为（ ）A B C D7. 解析 由可知，.所以表示如图所示的阴影部分，所以.故选B. 命题意图 考查复数的基本概念与知识，并与几何概型相结合，具备一定的新颖性.8.（2015湖北理科7）在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）A B C D 8. 解析 依次为如图所示的三个图形的面积，观察知，选B.也可作如下的计算：由图（1）得；由图（2

10、）得；由图（3）得.三个值比较得，故选B.命题意图 考查不等式表示的平面区域、几何概型及定积分的计算.9.（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）.A. B. C. D.9. B 解析 如图所示，画出时间轴.小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过分钟.根据几何概型，所求概率.故选B.10.（2016山东理14）在上随机地取一个数，则事件”直线与圆相交”发生的概率为 10. 解析 首先的取值空

11、间的长度为2，由直线与圆相交，所以，解得，所以得事件发生时的取值空间为，其长度为，利用几何概型可知，所求概率为 .11.（2016全国甲理10）从区间随机抽取2n个数，构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）.A. B. C. D.11. C 解析 由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，所以.故选C12.（2017江苏07）记函数的定义域为在区间上随机取一个数，则的概率是 12.解析 由题意，故，所以故填13.（2017全国1卷理科2）如图所示，正方形内的图形来自中国古代的太极图，

12、正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）.A. B. C. D. 13. 解析 设正方形的边长为，则圆的半径为，则正方形的面积为，圆的面积为，图中黑色部分的面积为，则此点取自黑色部分的概率为.故选B.第2节 随机变量及其分布题型142 条件概率及相互独立事件同时发生的概率1.（2014 新课标2理5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）.A. B. C. D. 2.（2015全国理科4）投篮测试中，每人投3

13、次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）.A0.648 B0.432 C0.36 D0.3122. 解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 故选A3.（2015江苏5）袋中有形状、大小都相同的只球，其中只白球，只红球，只黄球，从中一次随机摸出只球，则这只球颜色不同的概率为 3. 解析 解法一：只白球设为，只红球设为，只黄球设为，则摸球的所有情况为，共件，满足题意的事件为，共件，故概率为解法二（理科做法）：从反面考查，反面情况为摸出的只球颜色相同，故4.（2015陕西理科19）设某校新、老校区之间

14、开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：（分钟）频数（次）（1）求的分布列与数学期望；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率4. 解析 （1）以频率估计概率得的分布列为：253035400.20.30.40.1所以（分钟）.(2)设分别表示往返所需时间，设从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟，则：.5.（2015湖北理科20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品生产吨产品需鲜牛奶吨，使用设备1小时，获利元；生产1吨产品需鲜牛奶吨，使用设

15、备小时，获利元要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量（1）求的分布列和均值；（2） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过元的概率5. 解析 （1）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有（1） 目标函数为当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为将变形

16、为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为. 将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利故最大获利的分布列为：816010200108000.30.50.2因此，（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：.命题意图 考查线性规划，分布列、均值与二项分布.6.（2107天津理16（2）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.6.解析 （2）设表示第一辆

17、车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.题型143 离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差1.（2013湖北理9）如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为，则的均值（ ）.A B C D2（2013广东理4）已知离散型随机变量的分布列为： 则的数学期望（ ）.A B C D3.（2013江西理18） 小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以为起点，再从（如图）这个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为若就参加学

18、校合唱团，否则就参加学校排球队(1) 求小波参加学校合唱团的概率； (2) 求的分布列和数学期望4(2013湖南理18）某人在如图所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过米.（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.5. (2013重庆理18） 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：

19、在一次摸奖中，摸奖者先从装有个红球与个白球的袋中任意摸出个球，再从装有个蓝球与个白球的袋中任意摸出个球，根据摸出个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖红蓝元二等奖红蓝元三等奖红蓝元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.（1）求一次摸奖恰好摸到个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望.6. (2013全国新课标卷理19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每 亏损元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以（单位：）表示市

20、场需求量，表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将表示为的函数；（2）根据直方图估计利润不少于元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的的数学期望.7. (2013天津理16）一个盒子里装有张卡片，其中有红色卡片张，编号分别为， ， ， ；白色卡片张，编号分别为，从盒子中任取张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1) 求取出的张卡片中， 含有编号为的卡片的概率； (2) 再取出的张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为， 求随机变量的分布列和数学期望8.（

21、2013山东理19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立.（1）分别求甲队以，胜利的概率；（2）若比赛结果为或，则胜利方得分、对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分；对方得分；求乙队得分的分布列及数学期望.9. （2013辽宁理19）现有道题，其中道甲类题，道乙类题，张同学从中任取道题解答.（1）求张同学至少取到道乙类题的概率；（2）已知所取的道题中有道甲类题，道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分

22、布列和数学期望.10. (2013福建理16）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1） 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,求的概率；（2） 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？11（2013四川理18）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率

23、；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（3）按程序框图正确编写的程序运行次，求输出的值为的次数的分布列及数学期望12. (2013陕西理19）在一场娱乐晚会上，有位民间歌手（至号）登台演唱，由现场数百名观众投票

24、选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选名歌手，其中观众甲是号歌手的歌迷，他必选号，不选号，另在至号中随机选名. 观众乙和丙对位歌手的演唱没有偏爱，因此在至号中随机选名歌手. （1）求观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率；（2）表示号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求的分布列和数学期望.13.（2013浙江理19）设袋子中装有个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得分，取出一个黄球分， 取出蓝球得分.（1）当时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为取出此球所得分数之和，.求分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为

25、取出此球所得分数.若，求14.（2014 浙江理 12）随机变量的取值为，若，则_.15.（2014 浙江理 9）已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（）放入个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为.则( ).A. B. C. D. 16.（2014 陕西理 9）设样本数据的均值和方差分别为和，若（为非零常数， ），则的均值和方差分别为（ ）.A. B. C. D. 17.（2014 重庆理 18）（本小题满分13分） 一盒中装有张各写有一个数字的卡片，其中张卡片上的数字是，张卡片上的数字 是，张卡片上的数

26、字是，从盒中任取张卡片. （1）求所取张卡片上的数字完全相同的概率; （2）表示所取张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望（注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）.18.（2014 辽宁理 18）（本小题满分12分） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率； （2）用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差.19.（2014 陕西理 19）（本小题满分12分）在一块耕地上

27、种植一种作物，每季种植成本为元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）概率作物市场价格（元/kg）概率 （1）设表示在这块地上种植季此作物的利润，求的分布列； （2）若在这块地上连续季种植此作物，求这季中至少有季的利润不少于元的概率.20.（2014 四川理 17）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现三次音乐获得分，没有出现音乐则扣除分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得

28、的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.21.（2014 天津理16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有名男同学，名女同学. 在这名同学中，名同学来自数学学院，其余名同学来自物理、化学等其他互不相同的个学院. 现从这名同学中随机选取名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（1）求选出的名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.22.（2014 辽宁

29、理 18）（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. 日销售量个 （1）求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率； （2）用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差. 日销售量个23.（2014 江西理 21）（本小题满分14分） 随机将这个连续正整数分成两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，记，. （1）当时，求的分布列和数学期望； （2）令表示事件“与的取值恰好相等”，求事件发生的概率；

30、 （3）对（2）中的事件，表示的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由.24.（2014 江苏理 22）（本小题满分10 分） 盒中共有个球，其中有个红球、个黄球和个绿球, 这些球除颜色外完全相同 （1）从盒中一次随机取出个球, 求取出的个球颜色相同的概率； （2）从盒中一次随机取出个球, 其中红球、 黄球、 绿球的个数分别记为，随机变量表示，中的最大数 求的概率分布和数学期望25.（2014 湖南理 17）某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率; （2）若新产品

31、研发成功,预计企业可获得万元；若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.26.（2014 湖北理 20）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装台发电机的水电站，过去年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在以上.其中，不足的年份有年，不低于且不超过的年份有年，超过的年份有年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1) 求未来年中，至多年的年入流量超过的概率；(2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；年入流量

32、 发电机最多可运行台数 若某台发电机运行，则该台年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？27.（2014 安徽理 17）（本小题满分12分） 甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.28.（2014 北京理 16）（本小题13分）李明在场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）： 场次投篮

33、次数命中次数场次投篮次数命中次数主场客场主场 客场 主场客场 主场 客场 主场客场（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率.（3）记是表中个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明 在这比赛中的命中次数，比较与的大小.（只需写出结论）29.（2014 大纲理 20）（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁人需使用某种设备的概率分别为，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少人需使用设备的概率；（2）表示同一工作日需使用设备的人数，求的数学期望.30.

34、（2014 福建理 18）（本小题满分13分） 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个均为元，求： 顾客所获的奖励额为元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； （2）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.31.（2015福

35、建理科16）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为，求的分布列和数学期望31. 解析 （1）设“当天小王的银行卡被锁定”的事件为，则（2）依题意得，的所有可能的取值是1,2,3 ，所以的分布列为：123所以32.（2015重庆理科17）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其

36、中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望.32. 解析 （1）令表示事件“三个粽子各取到1个”，则古典概型的概率计算公式有（2）的可能取值为0，1，2，且,综上知的分布列为：012故.33. (2015安徽理科17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件

37、次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）.33. 解析 （1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则（2）的可能取值为200,300,400，故的分布列为：20030040034.（2015山东理科19）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取个数，且只能抽取一次. 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被整除，参加者得分；若能被整除，但不能被整除，得分；若能被整除，得分.（1）写出所有个位数字

38、是的“三位递增数”；（2）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.34. 解析 （1）个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；（2）由题意，全部“三位递增数”的个数为，随机变量的取值为：，因此，所以的分布列为：则35.（2015四川理科17）某市两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了名男生、名女生，中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.（1）求中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设标识参赛的男

39、生人数，求的分布列和数学期望.35. 分析 （1）由题意，参加集训的男女生各有6名.“A中学至少有1名学生入选代表队”的对立事件为“参赛学生全从B中抽取”，“参赛学生全从B中抽取”的概率为.因此，A中学至少有1名学生入选的概率为；（2）由于总共有名男生，所以的最大取值为3，又由于要抽取4人，而女生只有3人，所以至少有1名男生，所以的所有可能取值为1，2，3.由古典概型的概率公式可求出其分布列，进而求得其期望.解析 （1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为.因此，A中学至少1名学生入选的概率为.（2）根据题意，的可能取值为1，2，3.；

40、所以X的分布列为：123因此，的期望为.36.（2015天津理科17）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.36. 分析 (1)由古典概型计算公式直接计算即可； (2)先写出随机变量的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望.解析 (1)由已知，有，所以事件发生的概率为.(

41、2)随机变量的所有可能取值为，.所以随机变量的分布列为：所以随机变量的数学期望.37.（2015湖南理科18）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.37. 解析（1）记事件从甲箱中摸出的1个球是红球，从乙箱中摸出的1个球是红球，顾客抽奖1次获一等奖，顾客抽奖1次获二等奖，顾

42、客抽奖1次能获奖.由题意与相互独立，与互斥，与互斥，且 ，=+，.因为，所以，.故所求概率为.(2) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验，由（）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以，于是 ，即，由此求得的分布列为：X0123P的数学期望为.38.（2016四川理12）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在次试验中成功次数的均值是 .38. 解析 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在次试验中成功次数的取值为，其中， ， ，在次试验中成功的概率为，所以在次试验中成功次数的概率为，.39.（2016天津理16

43、）某小组共人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为，的人数分别为，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.（1）设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为”，求事件发生的概率；（2）设为“选出的人参加义工活动次数之差的绝对值”，求随机变量的分布列和数学期望.39.分析 （1）先确定从这人中随机选出2人的基本事件种数：；再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：；最后根据概率公式求概率；（2）先确定随机变量可能取值为0，1，2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望.解析 （1）由已知，得.所以事件发生的概率为.（2）随机变量的所有可能取值为，.所

44、以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望.40.（2016全国甲理18）某险种的基本保费为（单元：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保 费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234概 率0.300.150.200.200.100.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值40.解析 （1）设续保人本年度的保费高于基本保费

45、为事件，则（2）设续保人保费比基本保费高出为事件，（3）设本年度所交保费为随机变量平均保费为：，所以平均保费与基本保费比值为41.（2016山东理19）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得分；如果只有一个人猜对，则“星队”得分；如果两人都没猜对，则“星队”得分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为的分布列和数学期望.41.解析 （1）记事件:“甲第一轮猜对”，记事件：

46、“乙第一轮猜对”，记事件：“甲第二轮猜对”，记事件：“乙第二轮猜对”，记事件：“星队”至少猜对3个成语”.由题意， 由事件的独立性与互斥性， ，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.（2）由题意，随机变量的可能取值为.由事件的独立性与互斥性，得 ， ， ， ，.可得随机变量X的分布列为012346 所以数学期望.42.（2016全国乙理19）某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的

47、易损零件数，得下面柱状图：以这台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买台机器的同时购买的易损零件数.（1）求的分布列；（2）若要求，确定的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？42.解析 （1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为，的概率分别为，. 从而：；.所以的分布列为：（2）由（1）知，故的最小值为.（3）记表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当时，得.当时，.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.43（21

48、07浙江8）已知随机变量满足，.若，则（ ）.A， B，C， D，43. 解析 依题意，列分布列1010所以，；，因为，所以，.故选A44.（2017山东理18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者，和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率.（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望.4

49、4.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则（2）由题意知可取的值为，则，因此的分布列为01234的数学期望.45.（2107山东理8）分别从标有，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）.A. B. C. D.45. 解析 由于是不放回的抽取，两张卡片的数的奇偶性不同共有种基本情况，总的基本事件共有种，则所求事件的概率为 .故选C.46.（2107天津理16）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.46.解析 （1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.，.所以随