概率论课后题答案整理参考

1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 概率论与数理统计习题及答案第一章6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=+-=8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（

2、A1）=（）5 （亦可用独立性求解，下同）（2） 设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故P（A2）=()5(3) 设A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1-P(A1)=1-()515.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） (2) 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A=下雨，B=下雪.（1） （2） 19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩

3、，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A=其中一个为女孩，B=至少有一个男孩，样本点总数为23=8，故或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A=此人是男人，B=此人是色盲，则由贝叶斯公式 23.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

4、【解】 设Ai=第一次取出的3个球中有i个新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均为新球由全概率公式，有 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A=被调查学生是努力学习的，则=被调查学生是不努力学习的.由题意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又设B=被调查学生考试及格.由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知（1） 即考试及格的学生中不努

5、力学习的学生仅占2.702%(2) 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为21.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】 设A=原发信息是A，则=原发信息是BC=收到信息是A，则=收到信息是B由贝叶斯公式，得 28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A=产品确为合格品，B

6、=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A=该客户是“谨慎的”，B=该客户是“一般的”，C=该客户是“冒失的”，D=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得 30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来

7、的零件32.证明：若P（AB）=P(A)，则A，B相互独立.【证】 即亦即 因此 故A与B相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，求将此密码破译出的概率.【解】 设Ai=第i人能破译（i=1,2,3），则 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落，Bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×

8、;0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45857.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai=报名表是取自第i区的考生，i=1,2,3.Bj=第j次取

9、出的是女生表，j=1,2.则 (1) (2) 而 故 习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函数并作图；(3).【解】故X的分布律为X012P（2） 当x<0时，F（x）=P（Xx）=0当0x<1时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)= 当1x<2时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X

10、=1)=当x2时，F（x）=P（Xx）=1故X的分布函数(3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数4.（1） 设随机变量X的分布律为PX=k=，其中k=0，1，2，0为常数，试确定常数a.（2） 设随机变量X的分布律为PX=k=a/N， k=1，2，N，试确定常数a.【解】（1） 由分布律的性质知故 (2) 由分布律的性质知即 .5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.

11、6,0.7,今各投3次，求：（1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.24315.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -<x<+,求：（1）A值；（2）P0<X<1; (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 当x<0时，当x0时， 故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

12、（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 当x<100时F（x）=0当x100时 故 18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率为21.设XN（3，22），（1） 求P2<X5，P-4<X10，PX2，PX3;（2） 确定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=324.设随机变量X分布函数为F（x）=（1） 求常数A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 25.设随机变量X的概率密度为f（x）=求X的分布函数F（x），并画出f

13、（x）及F（x）.【解】当x<0时F（x）=0当0x<1时 当1x<2时 当x2时故 28.设随机变量X的分布律为X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0，1，4，9故Y的分布律为Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3029.设PX=k=()k, k=1,2,令 求随机变量X的函数Y的分布律.【解】 30.设XN（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=X的概率密度.【解】（1） 当y0时，当y>0时， 故 (2)当y1时当y>

14、1时 故 (3) 当y0时当y>0时 故31.设随机变量XU（0,1），试求：（1） Y=eX的分布函数及密度函数；（2） Z=-2lnX的分布函数及密度函数.【解】（1） 故 当时当1<y<e时当ye时即分布函数故Y的密度函数为（2） 由P（0<X<1）=1知当z0时，当z>0时， 即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为f(x)=试求Y=sinX的密度函数.【解】当y0时，当0<y<1时， 当y1时，故Y的密度函数为习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值

15、.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2红,2白)=04.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常数A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；（3） P0X<1，0Y<2.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定义，有 (3) 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1） 确定常数k；（2） 求PX1，Y3；（3）

16、求PX<1.5；（4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性质有故 （2） (3) (4) 题5图8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】 题8图 题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1） 求X与Y的联合概率分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1） X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2) 因故X与Y不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XY2 5 80.40.80.15 0.3

17、0 0.350.05 0.12 0.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X与Y不独立.16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则XiN（160，202），从而 19.设随机变量（X，Y）的分布律为XY0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.0

18、7 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求PX=2Y=2，PY=3X=0；（2） 求V=max（X，Y）的分布律；（3） 求U=min（X，Y）的分布律；（4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1） （2） 所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3) 于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060

19、.130.190.240.190.120.0522.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. XYy1 y2 y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61【解】因,故从而而X与Y独立，故,从而即： 又即从而同理 又,故.同理从而故YX1习题四1.设随机变量X的分布律为X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任

20、取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P故 5.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试确定常数k，并求E（XY）.【解】因故k=2.15.对随机变量X和Y，已知D（

21、X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,计算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.【解】 (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设. 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X与Y不相关.下面讨论独立性，当|x|1时， 当|y|1时，.显然故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为XY -1 0 1 -1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的

22、.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知XY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又从而X与Y不是相互独立的.习题五4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=，求PV105的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,20由中心极限定理知，随机变量于是 7. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废

23、品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X，则p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数X超过450的概率？（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1） 以Xi(i=1,2,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则X

24、i的分布律为Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心极限定理得于是 (2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则XB（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX5000. 由中心极限定理有13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得100

25、0元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则XB（10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率为 (2) 因为“公司利润60000”当且仅当“0X60”于是所求概率为 14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P|X-Y|6的估计. （2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以习题六1.设总体XN（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本