2013年秋 西南大学《概率论》作业及答案(共6次,已整理)

1、2013年秋 西南大学概率论作业及答案(共6次,已整理)第一次作业一、主观题、论述题、判断题：1.“ABC”表示三事件A、B、C至少有一个发生. 【】2.设A、B为二事件，则AB=AAB. 【】3.已知：P(A)=0.2, P(B)=0.5, P(AB)=0.1,则P(AB)=0.6. 【】4. 一批产品有10件正品，3件次品，现有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，用随机变量表示取到正品时的抽取次数，则服从几何分布. 【】5设二维随机变量(X,Y)具有联合概率密度，则X与Y相互独立. 【×】6特征函数具有性质：. 【】7设随机变量的特征函数为，且

2、它有n阶矩存在，则当时，有.【×】8从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A表示“抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示“抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件. 【×】9对二项分布，当时，概率值达到最大. 【×】10设一口袋中有a只白球,b只黑球,从中取出三只球(不放回),则三只球依次为黑白黑的概率为. 【】11.设，若 A与B互不相容，则A与B必不相互独立. 【】 12.n个相互独立的随机变量之积的特征函数等于它们特征函数的乘积. 【×】. 13设X服从参数为 的泊松分布，则. 【×】14设两个相互独立的随机

3、变量，的方差分别是 4 和 2 ，则 44.【】15.设服从的均匀分布，则的密度函数为. 【】16.任意随机变量均存在数学期望. 【×】17.X为随机变量，a,b是不为零的常数，则E(aX+b)=aEX+b. 【】18.XN(3,4),则P(X<3)= P(X>3). 【】19.随机变量X、Y相互独立，则D(X+Y)=DX+DY. 【】20.设为两两不相关的随机变量序列，且存在常数C，使得，则服从大数定律. 【】二、主观题：0.9三、主观题：0.85四、客观题：×、×、×、×、×、×、×、B、D第二次作

4、业一、单项选择题1.设A、B为二事件，事件可化简为（D）.（A）A (B) B (C) A-B (D) B-A 2.对事件A、B，下列说法正确的是（D）.(A)若 A与B互不相容，则与也互不相容(B)若 A与B相容，则与也相容(C)若 A与B互不相容，则A与B相互独立(D)A与B相互独立，则与也相互独立3.设事件、的概率均大于零，且与互为逆事件（或对立事件），则有（B） (A)与相互独立 (B)与互不相容 (C)与相等 (D)包含或包含 4. ，(A)(A) (B)(C) (D)5.设随机变量的分布函数为则其中常数为（A）.(A)A= -1,B=1 (B)A=1,B= -1 (C) A=1,B

5、=1 (D) A=-1,B=-16.下列函数可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（D）.(A) (B) (C) (D)7.设随机变量的概率密度函数为则随机变量的概率密度为（C ）.（A） (B) (C) (D)8.设随机变量X服从二项分布 ,由切比雪夫不等式有 (B).(A) (B)(C) . (D) 9袋中装有1，2，N号球各一只，现从中不放回的摸球，则第k次摸球时首次摸到1号球的概率为（A）.(A) (B) (C) (D) 10.对于任意两个随机变量与，下面（A）说法与协方差不等价.(A) 与相互独立 (B) (C) (D) 相关系数11.设随机变量x服从参数为l的泊松分布，则Ex2 =

6、（D）.(A) l(B) l2(C) l2l(D) l2l12下列函数中，（A )可以作为连续型随机变量的分布函数.(A). (B)(C) (D)13.已知二维随机变量的联合分布律为-2-112000100则(B).(A) 与相互独立、不相关 (B) 与不相互独立、不相关(C) 与相互独立且相关 (D) 与不相互独立且相关14已知二维随机变量的联合分布律为-10100010则(D ).(A) 与相互独立、不相关 (B) 与不相互独立且相关(C) 与相互独立且相关 (D) 与不相互独立、不相关15设服从二维正态分布，是独立的（C）.(A)充分但不必要条件 . (B)必要但不充分条件.(C)充分且

7、必要条件 . (D).既不充分也不必要条件.16设两个相互独立的随机变量、 ，,则（D ）.(A) (B)(C) (D)17两人约定7点到8点在某地会面，则一人要等另一人半小时以上的概率为（C）. (A) 0 (B) (C) (D)118.设随机变量XB(n,p),且E(X+1)= 6,D(X+1)= 4,则n = ( B ).(A)20； (B)25； (C)10； (D)50.19.设X、Y为相互独立的随机变量，且,则E(X-Y),D(X-Y)分别为（B ）.(A)-1，7； (B)-1，25；(C)1，7； (D)1，25。20.设随机变量服从两点分布，其分布律为X01Pqp其中则的特征

8、函数为（A）.(A) (B)(C) (D)二、填空题：0.2三、填空题：5/13四、判断题：×、×、五、单选题：C、A、D第三次作业一、填空题（主观题）1.一袋中有编号为0，1，2，9的球共10只，某人从中任取3只球，则（1）取到的球最小号码为5的概率为 ；（2）取到的球最大号码为5的概率为 .2.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 0.2 ；（2）“第一卷出现在旁边”的概率为 0.4 .3设连续型随机变量的分布函数为则（1）A= 1 ；（2）= 0.5 ；（3）的密度函数为= 。4. 设随机变量X的分布列为（1）常数C 4

9、.（2）= 不存在 .5设则 .6. 若A、B为二事件，则 0.7 .7已知随机变量的概率密度为其中、为常数，则= m .8.设x 服从正态分布，即x N (m, s2)，则x的密度函数p(x)在x= m .时达到最大值.9.设随机事件A的概率为P(A)=0.5, 随机事件B的概率为P(B)=0.4，条件概率，则= 0.8 .10.设随机变量X、Y、Z，已知E(X)=1,E(Y)=2,E(Z)=3,D(X)=9,D(Y)=4,D(Z)=1,则（1）E(X+Y+Z)= 6 ；(2) D(X+Y+Z)= 19 . 11.在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。在这城市的居民中，订阅A报的占45%,订

10、阅B报的占35%,订阅C报的占30%,同时订阅A报及B报的占10%,同时订阅A报及C报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C三种报纸的占3%，则（1）“只订A报及B报的”概率为 0.07 ；（2）“只订A报的”概率为 0.3 .12.将n个不同的球等可能地放入N (N>n)个盒子中，则（1）某指定的n个盒子中各有一个球的概率p1= ；（2）任意n个盒子中各有一个球的概率p2= .13. 设的概率密度为，则_ _;_。14.设随机变量的分布函数为则(1) ;(2) = ; (3) .15.设在（0，5）服从均匀分布，则的方程有实根的概率为 0.6 .16.设随机变量X的概

11、率密度为且，则k= 2 ， b= 1 .17. 设.18.418.设X与Y为相互独立的随机变量,Y的密度函数为,则（1）E(X+Y)= 5/8 ；（2）D(X-Y)= 49/192 . 19.设随机变量X服从几何分布。则X的特征函数 .20.随机变量的特征函数为，则（1）的特征函数为_；（2）的特征函数为_.二、判断题（客观题）1、设X、Y是随机变量，若E(XY)=EXEY,则X与Y相互独立.（ × ）2、X、Y相互独立，则X、Y必不相关. （ ）3、A.B为任意二随机事件，则P(A-B)=P(A)-P(B).（ × ）4、C为常数，则D(C)=0.（ ）5、若X服从二项分

12、布B(5,0.2),则EX=2. （ × ）6、若X服从泊松分布P(10),Y服从泊松分布P(10),且X与Y相互独立，则X+Y服从泊松分布P(20). （ ）7、cov(X,Y)=0等价于D(X+Y)=DX+DY. （ ）8、随机变量的分布函数与特征函数相互唯一确定。（ ）9、两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于他们的特征函数之和. （ × ）10、×11、第四次作业计算题1.设连续型随机变量X的分布函数为：(1) 确定常数A及P(-1<x<1/2)；(2) 求Y=2X的分布函数及密度函数.；(3)求DY.解：(1)因是连续型随机变量X的分布函数

13、，所以在1处连续故F（1）=F（1+0）=F（10）可得A=1 (2)分布函数为 密度函数为 (3)2.设随机变量的概率密度函数为，求（1）常数；（2）概率；（3）的密度函数。解：（1）由性质得得：， （2）. （3）故。3.设二维随机变量的联合密度函数为求：（1）常数；（2）；（3）；（4）。解：（1） （2）（3）（4）当， 故。4.设的联合密度函数为，求（1）的边际密度函数，的边际密度函数，并说明与是否独立？（2）条件密度函数.解：（1）可求得，；因为，故与不独立。（2）当时，。5.设的密度函数为求：（1）常数A；（2）求的边际密度；（3）是否相互独立？（4）求概率P(<1)；（5

14、）.解：(2)(4)(5)6.设二维随机变量的分布函数为，则常数分别为多少？并求其密度函数.解：由分布函数的性质有，得 ，因， 所以，。，故所求密度函数为。7.设在平面上以原点为心1为半径的圆内服从均匀分布，（1）求的联合密度函数；（2）是否相互独立？为什么？(3)求的协方差.解：（1）由已知可得：的概率密度为（2）同理当且时，说明与不是独立的。（3）因为同理有：所以：。第五次作业1、甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，求：（1）两市至少有一市下雨的概率；（2）两市都不下雨的概率。（3）已知

15、甲市下雨的情况下，乙市下雨的概率；（4）仅有乙市下雨的概率。解：设A=“甲市下雨”，B=“乙市下雨”（1）（2）（3）（4）2、为防止意外， 在某矿内同时设有两种报警系统A及B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.9，系统B为0.92，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.8，求（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。解：设A表示“A有效”，B表示“B有效”，则（1）（2）。3、假设某地区位于甲、乙两河流交处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率

16、为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率;(3) 该时期内只有甲河流泛滥的概率。解：设A:表示“甲河泛滥”，B:表示“乙河泛滥”，（1）（2） （3）4发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于通信系统受到干扰，当发出信号0时，收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号0和1；又当发出信号1时，收报台分别以0.9及0.1的概率收到信号1和0。求收报台收到信号0，此时原发信号也是0的概率. 解：,所求概率为。5炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、

17、0.1、0.2,（1）求目标被击毁的概率；（2）现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。解：设A表示“目标被击中”，表示“炮弹距目标250米射出”，表示“炮弹距目标200米射出”，表示“炮弹距目标150米射出”，（1）（2）=0.043。6.已知产品中96是合格品，现有一种简化的检验方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求：(1) 产品以简化法检验为合格品的概率；（2）以简化方法检验为合格品的一个产品确实为合格品的概率。解：设A=“产品为合格品”，B=“简化方法检验为合格品”（1）（2）。7.一个机床有的时间加工零件

18、A,其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3,加工零件B时，停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率。解：设C表示“机床停机”,A表示“加工A零件”,B表示“加工B零件”则：=0.38.8两台机床加工同一种零件，第一台出现不合格品的概率为0.03，第二台出现不合格品的概率为0.06，加工出来的产品放在一起，且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求（1）现任取一零件是合格品的概率；（2）如果取出的是不合格品，求它是第一台生产的概率。解：设表示“产品为第台机床加工”，B表示“取到的产品为合格品”（1）由全概率公式（2）由贝叶斯公式9设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布其概率密度函数为某顾客在窗口等待服务，若超过十分钟他就离开，他一个月要到银行五次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，（1）求概率；（2）求的数学期望解：（1），故（2）。10.某单位内部有200部电话分机，每个分机有5%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，利用中心极限定理确定，需准备多少条外线，才能以不低于95%的概率满足每个分机需使用外线时不用等候？解：设表示200台电话机需要外线的条数，则，由中心极限定理，设准备n条外线，由题意查表得，取n=15（条）。第六次作业证明题：1.设A、B为两个随机事件，且，证明：若，则A与B