2016新课标三维人教B版数学必修12.4函数与方程

1、24.1函数的零点预习课本P7071，思考并完成以下问题(1)函数零点的定义是什么？ (2)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的了解是什么？ 1函数的零点如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(，0)点点睛函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零2二次函数的零点与相应二次方程根的关系判别式>00<0二次函数yax2bxc(a>0)的图象一元二次方程ax2bxc0的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1x2没有实根二次函数yax2bxc的零点有两

2、个零点x1，x2有一个二重零点x1x2没有零点1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点()(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1,0)(x2,0)()(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)0.()答案：(1)×(2)×(3)×2函数yx24x3的零点是()A1，3B3，1C1，3 D1,3答案：D3下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案：D4函数f(x)x25x的零点是_答案：0,5求函数的零点典例求下列函数的零点(1)f(x)x22x3；(2

3、)f(x).解(1)f(x)x22x3(x3)(x1)，方程x22x30的两根分别是3和1.故函数的零点是3,1.(2)f(x)，令0，解得x1，故函数的零点是1.函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)0，若方程f(x)0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点活学活用求下列函数的零点：(1)f(x)x3x2x1；(2)f(x)x42x23.解：(1)f(x)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)0，而x210，故x1，f(x)x3x2x1的零点为1.(2)由f(x)x42x23(x23)(x21)(x

4、)·(x)·(x21)，而x210，得x±.f(x)x42x23的零点为，.判断函数零点的个数典例判断函数f(x)x2的零点的个数？解法一图象法由x20，得x2.令h(x)x2(x0)，g(x).在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，可知两图象只有一个交点，故函数f(x)x2只有一个零点法二方程法令f(x)0，即x20，0.x0，x310.(x1)(x2x1)0.x1或x2x10.方程x2x10的根的判别式12430，方程x2x10无实数根函数f(x)只有一个零点判断函数存在零点的2种方法(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解

5、来判断函数是否存在零点或判断零点的个数(2)图象法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数活学活用1若abc0，且b2ac，则函数f(x)ax2bxc的零点的个数是_解析：ax2bxc0的根的判别式b24ac，b2ac，且abc0，3b20，方程ax2bxc0无实根函数f(x)ax2bxc无零点答案：02方程3x26x0的实根个数是_解析：设f(x)3x26x，g(x)，画出f(x)和g(x)的图象，如图所示由f(x)和g(x)的图象的交点的个数可知，3x26x0的实根个数是3.答案：3函

6、数零点性质的应用典例已知函数f(x)ax2bx1.若ba2，且函数f(x)在(2,1)上恰有一个零点，求a的取值范围解当a0时，令f(x)0，得x，符合题意当a0时，ba2，f(x)ax2(a2)x1，(a2)24a0，函数f(x)ax2bx1必有两个零点，又函数f(x)在(2,1)上恰有一个零点，故f(2)f(1)0，即(6a5)(1)0，a，又a0，a且a0.综上，a的取值范围为.解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论活学活用问当a取何值时，方程ax22x10的一个根在(0,1)上，

7、另一个根在(1,2)上解：由题意知a0，原方程可化为x2x0.令f(x)x2x，方程的根分别在区间(0,1)和(1,2)上即解得a1，综上，a的取值范围为.层级一学业水平达标1函数f(x)x2x1的零点有()A0个B1个C2个 D无数个解析：选C(1)24×1×(1)50，方程x2x10有两个不相等的实根，故函数f(x)x2x1有2个零点2函数f(x)2x23x1的零点是()A，1 B.，1C.，1 D，1解析：选B方程2x23x10的两根分别为x11，x2，所以函数f(x)2x23x1的零点是，1.3函数yx2bx1有一个零点，则b的值为()A2 B2C±2 D

8、3解析：选C因为函数有一个零点，所以b240，所以b±2.4已知函数f(x)则函数f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选C当x0时，x(x4)0的解为x4；当x0时，x(x4)0的解为x0或x4.故f(x)有3个零点5下列说法中正确的个数是()f(x)x1，x2,0的零点为(1,0)；f(x)x1，x2,0的零点为1；yf(x)的零点，即yf(x)的图象与x轴的交点；yf(x)的零点，即yf(x)的图象与x轴交点的横坐标A1B2C3D4解析：选B根据函数零点的定义，f(x)x1，x2,0的零点为1，也就是函数yf(x)的零点，即yf(x)的图象与x轴交点的横坐标因此，只

9、有说法正确，故选B.6函数f(x)(x1)(x23x10)的零点有_个解析：f(x)(x1)(x23x10)(x1)(x5)(x2)，由f(x)0得x5或x1或x2.答案：37若函数f(x)2x2ax3有一个零点为，则f(1)_.解析：因为函数f(x)2x2ax3有一个零点为，所以是方程2x2ax30的一个根，则2×a30，解得a5，所以f(x)2x25x3，则f(1)2530.答案：08若f(x)xb的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为_解析：f(x)xb是增函数，又f(x)xb的零点在区间(0,1)内，1b0.答案：(1,0)9判断下列函数是否存在零点，若存在，则求出零点(

10、1)f(x)x23x15；(2)f(x)x3x.解：(1)由x23x15(x3)(x5)0，得x15，x23，所以函数f(x)的零点是5,3.(2)因为x3xx(x21)x(x1)(x1)令f(x)0，即x(x1)(x1)0.所以f(x)的零点有0,1，1.10已知函数f(x)ax22(a1)xa1.(1)求a为何值时，函数的图象与x轴有两个交点；(2)如果函数的一个零点在原点，求a的值解：(1)若函数的图象与x轴有两个交点，则已知函数为二次函数，且方程f(x)0有两个不相等的实数根，于是有a0，>0.又4(a1)24a(a1)>0，即a>，所以满足题意的实数a的取值范围为(

11、0，)(2)如果函数的一个零点在原点，即x0是方程f(x)0的一个根，易得a10，解得a1.层级二应试能力达标1函数f(x)x34x的零点为()A(0,0)，(2,0)B(2,0)，(0,0)，(2,0)C2,0,2 D0,2解析：选C令f(x)0，得x(x2)(x2)0，解得x0或x±2，故选C.2函数yx2a存在零点，则a的取值范围是()Aa0 Ba0Ca0 Da0解析：选B函数yx2a存在零点，则x2a有解，所以a0.3已知f(x)xx3，xa，b，且f(a)·f(b)0，则f(x)0在a，b内()A至少有一个实根 B至多有一个实根C没有实根 D有唯一实根解析：选Df

12、(x)xx3的图象在a，b上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)·f(b)0，可得f(x)0在a，b内有唯一一个实根4若函数f(x)x(aR)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A2B1C0D3解析：选Af(x)x在(1,2)上有零点，即方程x0，亦即x2a在(1,2)上有根1a4，故选A.5已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，2是它的一个零点，且在(0，)上是增函数，则该函数有_个零点，这几个零点的和等于_解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，)上是增函数，所以f(0)0.又因为f(2)0，所以f(2)f(2)0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等

13、于0.答案：306对于方程x3x22x10，有下列判断：在(2，1)内有实数根；在(1,0)内有实数根；在(1,2)内有实数根；在(，)内没有实数根其中正确的有_(填序号)解析：x0不是方程x3x22x10的根，原方程可化为x2x20，即x2x2.令f(x)x2x2，g(x)，原方程的根即为f(x)与g(x)图象交点的横坐标，其图象如图由图象知正确答案：7已知函数f(x)x2bx3.(1)若f(0)f(4)，求函数f(x)的零点(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围解：(1)由f(0)f(4)得3164b3，即b4，所以f(x)x24x3，令f(x)0即x24x3

14、0得x13，x21.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图需f(1)0，即1b30，所以b4.故b的取值范围为(4，)8已知函数f(x)3x22xm1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值解：(1)函数有两个零点，则对应方程3x22xm10有两个不相等的实数根，易知0，即412(1m)0，可解得m；由0，可解得m；由0，可解得m.故当m时，函数有两个零点；当m时，函数有一个零点；当m时，函数无零点(2)因为0是对应方程的根，有1m0，可解得m1.24.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法预习

15、课本P7274，思考并完成以下问题(1)函数零点分为哪两类？如何定义？ (2)二分法的原理是什么？用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？ 1变号零点与不变号零点的概念如果函数yf(x)在一个区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0(a，b)，使f(x0)0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点2二分法的原理我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较，按需要留下一个小区间的方法称为二分法它是通过不断地把函数的零点

16、所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求其零点()(3)二分法求函数的零点的近似值适合于变号零点()答案：(1)×(2)×(3)2观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案：A3用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2,1B1,0C0,1 D1,2答案：A4用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算得f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_答案：(0

17、,0.5)f(0.25)二分法概念的理解典例下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是()解析A中，函数无零点B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.答案C二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用活学活用已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4 D4,3解析：选D图象与x

18、轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.用二分法求方程的近似零点典例用二分法求f(x)x2x1在区间1,2上的一个近似零点(精确到0.1)解用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a01，b02f(1)1，f(2)11,2x01.5f(x0)0.2501.5,2x11.75f(x1)0.312 501.5,1.75x21.625f(x2)0.01601.5,1.625x31.562 5f(x3)0.121<01.562 5,1.625由上表可知，1.6251.562 50.062 50.1，因此可取

19、1.6为所求函数的一个零点的近似值用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值活学活用用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确到0.1)解：令f(x)2x33x3，经计算，f(0)3<0，f(1)2>0，f(0)·f(1)<0，所以可确定区间0,1作为计算的初始区间，用二分法逐步计算列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的

20、函数值定区间a00，b01f(0)3，f(1)20,1x00.5f(0.5)1.2500.5,1x10.75f(0.75)0.09400.5,0.75端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间x20.625f(0.625)0.63700.625,0.75x30.687 5f(0.687 5)0.28800.687 5,0.75由于|0.687 50.75|0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解层级一学业水平达标1下列函数不宜用二分法求零点的是()Af(x)x31Bf(x)x23Cf(x)x22x2 Df(x)x24x1解析：选C因为f(x)x22x2(x)20

21、，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点2用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()Ax1 Bx2Cx3 Dx4解析：选C能用二分法求零点的函数必须满足在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.3下面关于二分法的叙述中，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循，无法在计算机上完成D只能用二分法求函数的零点解析：选B用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，

22、故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误故选B.4下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析：选A因为图中四个函数都有零点，且D图中有四个零点，虽然这四个函数的图象在零点附近都是连续不断的，但由于A图中的函数不满足“函数在该零点左右函数值异号”，故只有A图不满足零点存在的条件，因此选A.5已知函数yf(x)的图象是连续不断的，且有如下的x，f(x)对应值：x1234567f(x)136.13615.5523.9210.8852.488232.06411.238由表可知函数yf(x)在区间(1,7)内的零点个数至少为()A

23、1 B2C3 D4解析：选D由表可知：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，所以函数yf(x)在区间(1,7)内至少有4个零点6用二分法求函数yf(x)在区间2,4上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)0.取区间的中点x13，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0_(填区间)解析：因为f(2)·f(3)0，所以零点在区间(2,3)内答案：(2,3)7函数f(x)x2axb有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是_解析：函数f(x)

24、x2axb有零点，但不能用二分法，函数f(x)x2axb图象与x轴相切a24b0.a24b.答案：a24b8已知二次函数f(x)x2x6在区间1,4上的图象是一条连续的曲线，且f(1)6<0，f(4)6>0.所以函数f(x)在1,4内有零点用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)_.解析：1,4的中点为2.5.f(2.5)2.522.562.25.答案：2.259用二分法求方程x220的一个正实数解的近似值(精确到0.1)解：令f(x)x22，由于f(0)2<0，f(2)2>0，可确定区间0,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算

25、端点或中点的函数值定区间a00，b02f(0)2，f(2)20,2x01f(x0)1<01,2x11.5f(x1)0.25>01,1.5x21.25f(x2)0.438<01.25,1.5x31.375f(x3)0.109<01.375,1.5x41.437 5f(x4)0.066>01.375，1437 5由上表的计算可知，区间1.375,1.437 5的长度为1.437 51.3750.062 5<0.1.故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值10已知函数f(x)3ax22bxc，abc0，f(0)0，f(1)0，证明a0，并利用二分法证明方程f(

26、x)0在区间0,1内有两个实根证明：f(1)0，3a2bc0，即3(abc)b2c0.abc0，b2c0，则bcc，即ac.f(0)0，c0，则a0.在区间0,1内选取二等分点，则fabca(a)a0.f(0)0，f(1)0，函数f(x)在区间和上各有一个零点又f(x)最多有两个零点，从而f(x)0在0,1内有两个实根层级二应试能力达标1方程(x1)(x2)(x3)x0的一个实数解所在的大致区间不可能是()A3，2B2，1C0,2 D2,4解析：选D设f(x)(x1)(x2)(x3)x，则其图象是连续曲线，又知f(3)3<0，f(2)2>0，所以f(x)在3，2内有零点，即原方程在

27、3，2内有实数解同理原方程在2，1，0,2内也必有实数解，而在2,4上恒有f(x)>0，所以原方程在2,4内没有实数解2若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)0，f(1)·f(2)·f(4)0，则下列命题正确的是()A函数f(x)在区间(0,1)内有零点B函数f(x)在区间(1,2)内有零点C函数f(x)在区间(0,2)内有零点D函数f(x)在区间(0,4)内有零点解析：选Df(1)·f(2)·f(4)0，则f(1)，f(2)，f(4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则有零点可能区间(0,1)，(1,2)，(0,2)，但它们都包含于(0,4)，因此选项D正确3用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A|ab|0.1 B|ab|0.001C|ab|0.001 D|ab|0.001解析：选B据二