2016新课标三维人教A版数学选修2-12.3双曲线

1、231双曲线及其标准方程预习课本P5255，思考并完成以下问题1平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？2什么是双曲线的标准方程？1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距点睛平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即|MF1|MF2|2a，关键词“平面内”当2a<|F1F2|时，轨迹是双曲线；当2a|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，轨迹不存在2双曲线的标准方程焦点在x

2、轴上焦点在y轴上标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b2 点睛(1)标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定(2)a，b，c三个量的关系：标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，与椭圆中b2a2c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a，b大小不确定1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定

3、点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程1中，a>0，b>0且ab()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b()答案：(1)×(2)×(3)×2已知F1(3,3)，F2(3,3)，动点P满足|PF1|PF2|4，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C不存在 D一条射线答案：B3已知双曲线的a5，c7，则该双曲线的标准方程为_答案：1或1双曲线标准方程的认识典例已知方程1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是()Ak>5Bk>5或2<k<2Ck>2或k<2 D2<k<2解析

4、方程对应的图形是双曲线，(k5)(|k|2)>0即或解得k>5或2<k<2答案B将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为1，则当mn<0时，方程表示双曲线若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线活学活用若k>1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线D焦点在x轴上的双曲线解析：选C原方程化为1，k>1，k21>0，k1>0方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线求双曲线的标准方程典例求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4

5、，经过点A；(2)经过点(3,0)，(6，3)解(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为1(b>0)，把A点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn<0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，解得所求双曲线的标准方程为11双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程1或1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可2

6、求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解活学活用根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与椭圆1有共同的焦点，且过点(，4)；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上解：(1)椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为1由题意，知解得故双曲线的方程为1(2)焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中0<<6)双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去)所求双曲线方程是y21双曲线定义

7、的应用典例已知F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|32试求F1PF2的面积解因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|·|PF2|362×32100在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF290°，所以SF1PF2|PF1|·|PF2|×3216一题多变1变条件，变设问若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10求点P

8、到F2的距离解：由双曲线的标准方程1，得a3，b4，c5由双曲线定义得|PF1|PF2|2a6，|10|PF2|6，解得|PF2|4或|PF2|162变条件若本例条件“|PF1|·|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其它条件不变，求F1PF2的面积解：由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，SF1PF2×4×48在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用 层级一学业水平达标1已

9、知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C直线 D一条射线解析：选DF1，F2是定点，且|F1F2|10，所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线2在方程mx2my2n中，若mn<0，则方程表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆 D焦点在y轴上的双曲线解析：选D将方程化为1，由mn<0，知>0，所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线3已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为()A BC D5解析：选C如图所示，点

10、P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为ac24椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A B1或2C1或 D1解析：选D依题意知解得a15焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax21 By21Cy21 D1解析：选A由双曲线定义知，2a532，a1又c2，b2c2a2413，因此所求双曲线的标准方程为x216设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_解析：由点F(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m952，解得m16答案：167经过点P(3,2)和Q(6，7)，且焦点在y轴上

11、的双曲线的标准方程是_解析：设双曲线的方程为mx2ny21(mn<0)，则解得故双曲线的标准方程为1答案：18已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·0，|PF1|·|PF2|2，则双曲线的标准方程为_解析：由题意可设双曲线方程为1(a>0，b>0)由·0，得PF1PF2根据勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220根据双曲线定义有|PF1|PF2|±2a两边平方并代入|PF1|·|PF2|2得202×24a2，解得a24，从而b2541，所以双曲线方程

12、为y21答案：y219已知与双曲线1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程解：已知双曲线1，由c2a2b2，得c216925，c5设所求双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)依题意，c5，b2c2a225a2，故双曲线方程可写为1点P在双曲线上，1化简，得4a4129a21250，解得a21或a2又当a2时，b225a225<0，不合题意，舍去，故a21，b224所求双曲线的标准方程为x2110已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin Asin C(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程解：(

13、1)将椭圆方程化为标准形式为y21a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|2<|AB|4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c2，a1，所求的点C的轨迹方程为x21(x>1)层级二应试能力达标1设，则关于x，y的方程1所表示的曲线是()A焦点在y轴上的双曲线B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆D焦点在x轴上的椭圆解析：选B由题意，知1，因为，所以sin >0，cos >0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线故选B2若双曲线y21(n

14、>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积为()A1BC2 D4解析：选A设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2，已知|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|，|PF1|·|PF2|2又|F1F2|2，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1F2为直角三角形，且F1PF290°，于是SPF1F2|PF1|·|PF2|×21故选A3若双曲线8kx2ky28的一个焦点坐标是(3,0)，则k()A1 B1C D解析：选A依题意，知双曲线的焦点在x轴上，方程可化为1，则k&

15、gt;0，且a2，b2，所以9，解得k14已知双曲线1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|m，则ABF2的周长为()A4a B4amC4a2m D4a2m解析：选C由双曲线的定义，知|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4am4a，于是ABF2的周长l|AF2|BF2|AB|4a2m故选C5已知双曲线1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为_解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|PF1|10，所

16、以|PF2|22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|PF2|10，所以|PF2|2答案：22或26过双曲线1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为_解析：因为双曲线方程为1，所以c13，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则F1(13,0)，F2(13,0)设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(13，y)(y>0)，则1，所以y，即|AF1|又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24即所求距离分别为，答案：，7已知OFQ的面积为2，且·m，其中O为坐标原点(1)设<m<4，求与的夹角的正切值的取值范围；(2)设以O为中心，

17、F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|c，mc2，当|取得最小值时，求此双曲线的标准方程解：(1)因为所以tan 又<m<4，所以1<tan <4即tan 的取值范围为(1,4)(2)设双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则|(x1c，y1)，所以SOFQ|·|y1|2，则y1±又·m，即(c,0)·(x1c，y1)c2，解得x1c，所以| 2，当且仅当c4时，|最小，这时Q的坐标为(，)或(，)因为所以于是双曲线的标准方程为18设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一

18、个外切(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点求|MP|FP|的最大值解：(1)两圆的圆心分别为A(，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r由题意得|CA|r2，|CB|r2或|CA|r2，|CB|r2，两式相减得|CA|CB|4或|CA|CB|4，即|CA|CB|4则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a4，c，b21，圆C的圆心轨迹L的方程为y21(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|PF|MF|为|PM|FP|的最大值又|MF|2，|MP|FP|的最大值为2232双曲线的简单几何性质预习课本P5660，思

19、考并完成以下问题1双曲线有哪些几何性质？2双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？1双曲线的几何性质标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或 xa，yRya或 ya，xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心、原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)性质轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e(1，)渐近线y±xy±x2等轴双

20、曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y±x，离心率为e点睛对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)双曲线1的焦点在y轴上()(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔()(3)以y±2x为渐近线的双曲线有2条()答案：(1)×(2)(3)×2双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4 D4答案：C3双曲线1的渐近线方程为()A3x±4y0

21、B4x±3y0C9x±16y0 D16x±9y0答案：A4双曲线的渐近线方程为y±x，则离心率为_答案：或双曲线的几何性质典例求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为y±x已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，

22、从而写出双曲线的几何性质活学活用求双曲线9x2y281的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程解：将9x2y281变形为1，即1实轴长2a6，虚轴长2b18；顶点坐标为(3,0)，(3,0)；焦点坐标为(3，0)，(3，0)；离心率e，渐近线方程为y±3x由双曲线的几何性质求标准方程典例求过点(2，2)且与y21有相同渐近线的双曲线的标准方程解法一：当焦点在x轴上时，由于故可设方程为1，代入点(2，2)得b22(舍去)；当焦点在y轴上时，可知，故可设方程为1，代入点(2，2)得a22所以所求双曲线方程为1法二：因为所求双曲线与已知双曲线y21有相同的渐近线，故可设双曲

23、线方程为y2(0)，代入点(2，2)得2，所以所求双曲线的方程为y22，即1(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得再结合c2a2b2及e列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y±x，那么此双曲线方程可设为(0)活学活用求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y±x解：(1)设双曲线的标准方程为1或1(a>0，b>0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8

24、，双曲线的标准方程为1或1(2)设以y±x为渐近线的双曲线方程为(0)，当>0时，a24，2a26当<0时，a29，2a261双曲线的标准方程为1或1双曲线的离心率典例(山东高考)过双曲线C：1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_解析如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2答

25、案2求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解，若已知a，b，可利用e 求解(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2c2a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e，转化为关于e的n次方程求解活学活用1如果双曲线1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是_解析：如图，因为AOAF，F(c,0)，所以xA，因为A在右支上且不在顶点处，所以>a，所以e>2答案：(2，)2设F1，F2是双曲线C：1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|

26、PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为_解析：不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，得|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，则在PF1F2中，PF1F230°，由余弦定理得(2a)2(4a)2(2c)22×(4a)×(2c)×cos 30°，整理得(e)20，所以e答案：层级一学业水平达标1下列双曲线中离心率为的是()A1B1C1 D1解析：选B由e得e2，则，即a22b2因此可知B正确2中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x4y120上的等轴双

27、曲线方程是()Ax2y28 Bx2y24Cy2x28 Dy2x24解析：选A令y0得，x4，等轴双曲线的一个焦点坐标为(4,0)，c4，a2c2×168，故选A3双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(10,0) B(12,0)C(3,0) D(60，12)解析：选B由题意知k<0，a24，b2ke21又e(1,2)，1<1<4，12<k<04已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A1 B1C1 D1解析：选B设双曲线的标准方程为1(a>0，

28、b>0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得，又AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以双曲线标准方程是15(全国卷)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A B2C D解析：选D不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a>0，b>0)，则|BM|AB|2a，MBx180°120°60°，M点的坐标为M点在双曲线上，1，ab，ca，e故选D6(全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y&

29、#177;x，则该双曲线的标准方程为_解析：法一：双曲线的渐近线方程为y±x，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164×()24，双曲线的标准方程为y21法二：渐近线yx过点(4,2)，而<2，点(4，)在渐近线yx的下方，在yx的上方(如图)双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为1(a>0，b>0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21答案：y217过双曲线1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题意知，ac，即a2ac

30、c2a2，c2ac2a20，e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：28双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：双曲线1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y±x不妨设直线FB的方程为y(x5)，代入双曲线方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B所以SAFB|AF|yB|(ca)·|yB|×(53)×答案：9(全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，求该三角形的面积解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程

31、x21可知，a1，c3，故F(3，0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|因为|AF|15为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F×6×6×6×21210已知双曲线C：1(a>0，b>0)的离心率为，且(1)求双曲线C的方程；(

32、2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值解：(1)由题意得解得所以b2c2a22所以双曲线C的方程为x21(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由得x22mxm220(判别式>0)所以x0m，y0x0m2m因为点M(x0，y0)在圆x2y25上，所以m2(2m)25故m±1层级二应试能力达标1双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A2B2C D1解析：选A不妨取焦点(4,0)和渐近线yx，则所求距离d2故选A2若双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为yx，则双曲线的方程为()Ay2x296 By2x2160Cy2x280 Dy2x224解析：选D设双曲线方程为x2y2(0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以<0，且2(4)2，得24故选D3若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A BC D解析：选D设双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)由题意，知过点(4，2)的渐近线方程为yx，所以2