2016新课标三维人教B版数学选修2-12.2椭圆

1、2.2椭_圆22.1椭圆的标准方程椭圆的定义取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖问题1：若绳长等于两点F1、F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长L大于两点F1、F2的距离，移动笔尖(动点M)满足的几何条件是什么？提示：|MF1|MF2|L.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，若A(4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，4)问题1：若|PA|P

2、B|10，则P点的轨迹方程是什么？提示：轨迹方程为1.问题2：若|PC|PD|10，则P点的轨迹方程是什么？提示：1.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a>b>0)1(a>b>0)焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a、b、c的关系c2a2b21平面内到两定点F1，F2的距离和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在2标准方程中根据x2，y2对应的分母的大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上，x2对应的分母大，焦点就在x

3、轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上3标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状和大小，是椭圆定形的条件a，b，c三个量满足：a2b2c2，恰好是一个直角三角形的三条边，构成如图所示的直角三角形，称为椭圆的“特征三角形”椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a，b，c的几何意义椭圆的定义的应用例1如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120°，求PF1F2的面积思路点拨由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解精解详析由已知a2，b，得c1，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|

4、PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|·|F1F2|·sin 120°××2×，即PF1F2的面积是.一点通椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用Sabsin C把|PF1|&#

5、183;|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|PF2|2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量1设F1，F2是椭圆1的焦点，P为椭圆上一点，则PF1F2的周长为()A16B18C20 D不确定解析：椭圆1中，a5，b3，c4.则PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2×52×418.答案：B2已知椭圆1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是()A2 B4C8 D.解析：设椭圆的另一个焦点为E，如图则|MF|ME|10，|ME|8，又ON为MEF的中位线，|ON|ME|4.答案：B用待定

6、系数法求椭圆的标准方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3)；(2)经过两点(2，)，.思路点拨求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算精解详析(1)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知2a12，所以a6.又c2，所以b4.所以椭圆的标准方程为1.法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设其标准方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的标准方程为1.(2)法一：若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在

7、综上，所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.一点通(1)确定椭圆方程的“定位”与“定量”(2)巧设椭圆方程若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)3已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且ac，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆的标准方程为_解析：根据椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为1(a>b>0)，根据ABF2的周长为16得4a16，a4.ac，c2，则b2a2c21688.

8、故椭圆的标准方程为1.答案：14求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(3,0)、(3,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解：(1)椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(a>b>0)2a10，a5.又c3，b2a2c2523216.所求椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(a>b>0)椭圆经过点(0,2)和(1,0)，故所求椭圆的标准方程为x21.与椭圆有关的轨迹问题例3(12分)如图，圆C：(x1)2y225及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交

9、CQ于M，求点M的轨迹方程精解详析由垂直平分线性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|5.(6分)M点的轨迹为椭圆，其中2a5，焦点为C(1,0)，A(1,0)，a，c1，(8分)b2a2c21.所求轨迹方程为：1.(12分)一点通在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法5已知椭圆的两焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，

10、该椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：|PF1|PF2|2|F1F2|2×48，2a8，a4，b2a2c216412，椭圆方程是1.答案：B6已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程解：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意动圆M内切于圆C1，|MC1|13r.圆M外切于圆C2，|MC2|3r.|MC1|MC2|16>|C1C2|8，动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，b2a2c2641648，故所求轨迹方程为1.1运用椭圆定义解题时

11、，一定要注意隐含条件a>c.2注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和了解3求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法4解答与椭圆相关的求轨迹问题的一般思路是 对应课时跟踪训练(九)1已知命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|PB|2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件 D既不充分又不必要条件解析：若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|PB|2a(a>0，为常数)，所以甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a>0，为常数)，P点轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件，

12、综上，甲是乙的必要不充分条件答案：B2设P是椭圆1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则PF1F2是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解析：由椭圆定义知|PF1|PF2|2a8.又|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3.又|F1F2|2c24，PF1F2为直角三角形答案：B3以圆(x1)2y21的圆心为椭圆的右焦点，且过点的椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21解析：由已知c1，且焦点在x轴上，设椭圆方程为1，将点代入求得a24或a2(舍去)故所求椭圆的标准方程为1.答案：B4若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角的取值范围是()A.

13、 B.C. D.解析：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，8sin >4，sin >.为锐角，<<.答案：C5已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)且a2b，则椭圆的标准方程为_解析：c2，a24b2，a2b23b2c212，b24，a216.又焦点在y轴上，标准方程为1.答案：16椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_解析：a29，b22，c，|F1F2|2.又|PF1|4，|PF1|PF2|2a6，|PF2|2.又由余弦定理得cosF1PF2，F1PF2120°.答案：2120°7求适合下列条件

14、的椭圆的方程(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)椭圆焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(a>b>0)椭圆经过(2,0)和，所求椭圆的标准方程为y21.(2)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(a>b>0)P(0，10)在椭圆上，a10.P到离它较近的一个焦点的距离为2，c(10)2，c8，b2a2c236，椭圆的标准方程为1.8一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x24xy2320内切，求动圆圆心M的轨迹方程解：将圆的方程化为标准形式为(x2)2y262，圆心

15、坐标为B(2,0)，半径为6，如图：由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C.已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|MC|BM|，而|BC|6，|CM|AM|，|BM|AM|6.根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a6.a3，c2，b，所求圆心的轨迹方程为1.22.2椭圆的几何性质图中椭圆的标准方程为1(a>b>0)问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有，椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y0得x±a，故A1(a,

16、0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，b)，B2(0，b)问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：xa，a，yb，b问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a,0)、A2(a,0)，B1(0，b)、B2(0，b)A1(0，a)、A2(0，a)，B1(b,0)、B2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点F1(c,0)、F2(c,0)F1(0，c)、F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,

17、0)离心率e(0<e<1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆1椭圆的范围决定了椭圆的大小，即椭圆1位于四条直线x±a，y±b围成的矩形内2椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上3椭圆中的基本关系：(1)焦点、中心和短轴端点构成直角三角形，三边满足a2b2c2；(2)焦点到长轴邻近顶点的距离为ac(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为ac(常称为远地距离)椭圆的几何性质例1求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、

18、离心率、焦点和顶点的坐标思路点拨化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质精解详析把已知方程化成标准方程1，可知a5，b4，所以 c3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a10和2b8，离心率e，两个焦点分别是F1(3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(5,0)，A2(5,0)，B1(0，4)和B2(0,4)一点通已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等1若椭圆y21(a>0)的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：由椭圆方程知长轴长为2a

19、，短轴长为2，2a2×24，a2，c ，e.答案：A2已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其范围、对称性、顶点、焦距、轴长及离心率e.解：(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e；(2)由题意可得椭圆C2：1，范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦距：12；轴长：长轴长为20，短轴长为16；离心

20、率：e.利用椭圆的几何性质求标准方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.思路点拨解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.精解详析(1)设椭圆的方程为1(a>b>0)或1(a>b>0)由已知得2a10，a5.e，c4.b2a2c225169.椭圆方程为1或1.(2)依题意可设椭圆方程为1(a>b>0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，a2

21、b2c218，故所求椭圆的方程为1.一点通利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的方程，解方程(组)求得参数3(广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由右焦点为F(1,0)可知c1，因为离心率等于，即，故a2，由a2b2c2知b23，故椭圆C的方程为1.故选D.答案：D4求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x29y236有相同的焦距，且离心率为；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，4)解：(1)将方程4x29y236化为1，可得椭圆焦距为

22、2c2，又因为离心率e，即，所以a5，从而b2a2c225520.若椭圆焦点在x轴上，则其方程为1；若椭圆焦点在y轴上，则其方程为1.(2)依题意2a2·2b，即a2b.若椭圆焦点在x轴上，设其方程为1(a>b>0)，则有解得所以椭圆方程为1；若椭圆焦点在y轴上，设其方程为1(a>b>0)，则有解得所以椭圆方程为1.求椭圆的离心率例3(新课标全国卷)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230°，则C的离心率为()A. B.C. D.思路点拨通过已知条件PF2F1F2，PF1F230°，得

23、到RtPF1F2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a、b、c之间的关系，进而求出椭圆的离心率精解详析在RtPF2F1中，令|PF2|1，因为PF1F230°，所以|PF1|2，|F1F2|.所以e.答案D一点通求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法：(1)定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e直接求解(2)方程法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围5椭圆1的离心率为()A

24、. B.C. D.解析：由1可得a216，b28，c2a2b28.e2.e.答案：D6已知椭圆1(a0，b0) 的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BFBA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为_解析：根据题意，|AB|2a2b2，|BF|a，|AF|ac，在RtABF中，有(ac)2a2b2a2，化简得c2aca20，等式两边同除以a2，得e2e10，解得e.又0e1，e.答案：1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶

25、点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距3求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用 对应课时跟踪训练(十)1若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.1B.1C.1D.1解析：由已知得a9,2c·2a，ca3.又焦点在x轴上，椭圆方程为1.答案：A2若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：由题意有2a2c4b，即ac2b.又c2a2b2，5c23a22ac，即5e22e30.解之得e或e1(舍)答案：B3(新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A. B.C. D.解析：由题意可得|PF2|F1F2|，所以2(ac)2c，所以3a4c，所以e.答案：C4已知椭圆1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为()A3 B3C D.解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(x1，y1)，则y2b2，yb2.所以k1·k2·1e21