2016新课标创新人教A版数学选修4-13.1平行射影

1、核心必知1正射影(1)点A是平面外一点，过点A向平面作垂线，设垂足为点A，那么把点A称作点A在平面上的正射影(2)一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影2平行射影设直线l与平面相交，把直线l的方向称投影方向，过点A作平行于l的直线，与平面交于点A，点A称作点A沿直线l的方向在平面上的平行射影问题思考1正射影与平行射影之间有什么关系？提示：正射影是平行射影中方向与平面垂直的一种特殊情况2一个圆在一个平面上的正射影是什么形状？平行射影呢？提示：若一个圆所在平面与平面平行，该圆在平面内的正射影为一个圆；如果平面与平面垂直，则圆在平面的正射影为一条线段；若平面与平面不

2、平行也不垂直时，该圆在平面上的正射影为一个椭圆综上可知，一个圆在一个平面上的正射影可能为一条线段、椭圆或圆平行射影同样有类似结论P为ABC外一点且PAPBPC.求证：P在面ABC内的射影为ABC的外心精讲详析本题考查射影的概念，解答本题需先作出点P在面ABC内的射影，然后证明该射影为ABC的外心如图过P作PO面ABC于O.则O为P在面ABC内的射影，PAPB，POPO，RtPAORtPBO，AOBO.同理BOCO，AOBOCO，O为ABC的外心即P在面ABC内的射影是ABC的外心 因为点在任何平面上的投影仍然是点，所以解决此类问题的关键是正确作出点在平面内的射影.1.如图，P是ABC所在平面外

3、一点，O是点P在平面内的正射影(1)若P点到ABC的三边距离相等，且O点在ABC的内部，那么O点是ABC的什么心？(2)若PA、PB、PC两两互相垂直，O点是ABC的什么心？解：(1)由P到ABC的三边距离相等，故有O到ABC的三边距离相等，O为ABC的内心(2)PAPB，PAPC，PABC，又POBC，OABC，同理OBAC，OCAB，O为ABC的垂心有下列4个命题：矩形的平行投影一定是矩形；矩形的正投影一定是矩形；梯形的平行投影一定是梯形；梯形的正投影一定是梯形，其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3精讲详析选A本题考查平行射影的概念，解答本题需要考虑到投影面的位置不同，则投影的形

4、状会不同矩形的平行投影可以是矩形、平行四边形或线段，不正确；矩形的正投影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，不正确；梯形的平行投影可以是梯形、线段，不正确；梯形的正投影也可能是梯形、线段，不正确不论是正射影还是平行射影都应考虑图形所在的平面与投影方向的夹角的变化关系，注意不漏、不缺，要全面2关于直角AOB在定平面内的射影有如下判断：可能是0°的角；可能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是180°的角，其中正确判断的序号是_(注：把你认为是正确判断的序号都填上)解析：设直角AOB所在平面为，在与垂直时直角AOB射影为一条射线，从而射影为0°的角，与平行时射影为直角

5、，随着与所成角的变化也可以为锐角、钝角或平角，因而正确的结果为.答案：设四面体ABCD各棱长均相等，E、F分别为AC、AD的中点，如图，则BEF在该四面体的面ABC上的射影是下列中的()精讲详析选B本题考查正射影的应用解答此题的关键是确定F在平面ABC上的射影的位置由于BEBF，所以BEF为等腰三角形，故F点在平面ABC上的正射影不在AC上而在ABC内部，又由于EF与CD平行，而CD与平面ABC不垂直，所以F点在平面ABC上的正射影不在直线BE上，从而只有B图形成立确定一个几何图形的正投影，其实质是确定其边界点的正投影的位置在解决此类问题时，一定要全面考虑，否则极易出错3如图，E、F分别为正方

6、体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下图中的_(要求：把可能的图的序号都填上)解析：四边形BFD1E在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的射影均为图，四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的射影均为图，四边形BFD1E在平面ABB1A1和平面DCC1D1上的射影均为，故正确的为和.答案：本课时考点常与立体几何相结合考查线面位置关系的判定问题本考题以填空题的形式考查了正投影在立体几何中的应用，是高考命题的一个新亮点考题印证如图，点O为正方体ABCD­ABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边

7、形DOEF在该正方体的面上的正投影可能是_(填出所有可能的序号)命题立意本题考查点是正射影的应用及几何图形正射影形状的确定问题，考查学生的空间想象能力及抽象思维能力解析是四边形在平面ABBA或CDDC上的投影；是四边形在平面ADDA或BCCB上的投影；是四边形在平面ABCD或ABCD上的投影答案一、选择题1梯形ABCD中，ABCD，若梯形不在平面内，则它在的射影是()A平行四边形B梯形C一条线段 D一条线段或梯形解析：选D当梯形所在的平面平行于投射线时，梯形在上的射影是一条线段；当梯形所在的平面与投射线不平行时，梯形在上的射影是一个梯形2一条直线在一个面上的平行投影是()A一条直线 B一个点C

8、一条直线或一个点 D不能确定解析：选C当直线与面垂直时，平行投影可能是点3ABC的一边在平面内，一顶点在平面外，则ABC在面内的射影是()A三角形 B一直线C三角形或一直线 D以上均不正确解析：选D当ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形二、填空题4一个平行四边形的平行投影是_答案：平行四边形或线段5两条相交直线的平行投影是_解析：两条相交直线的平行射影，仍然有一公共点，因为两条相交直线的交点的平行射影必在两条直线的平行射影上，从而有两条相交直线的平行射影为两条相交直线，或者是一条直线答案：两条相交直线或一条直线6在四棱锥P­ABCD中，四条侧棱都相等，底

9、面ABCD为梯形，ABCD，AB>CD，为保证顶点P在底面ABCD所在平面上的射影O落在梯形ABCD外部，则底面ABCD需满足条件_(填上你认为正确的一个充分条件即可)解析：由已知四条侧棱都相等得P在底面ABCD上射影O应为四边形ABCD的外接圆圆心，要使圆心O在四边形ABCD外，则应使ACB>90°，或ADB>90°.答案：ACB>90°(或ADB>90°)7已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是_

10、(写出所有正确结论的编号)解析：当a、b均与 斜交且二者的公垂线与平行时，a、b在上的射影是两条平行直线；当a、b均与斜交且其中一条垂直于另一条在内的射影时，两直线在内的射影为相互垂直的直线；当其中一条与垂直，另一条与斜交时，射影为一直线及其外一点答案：三、解答题8.如图，ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点A、B、C在平面内的射影分别是A、B、C，如果ABC是等边三角形，且AAa，BBa2，CCa1，设平面ABC与平面ABC所成的二面角的平面角为，求的余弦值解：设ABx，则AB2x24，AC2x21，BC2x21.x24x21x21，解得x，ACBC，SABC.SABC，cos.9过Rt

11、BPC的直角顶点P作线段PA平面BPC.求证：ABC的垂心H是P点在平面ABC内的正投影证明：如图所示，欲证ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影，只需证明PH平面ABC即可连接AH并延长，交BC于点D；连接BH并延长，交AC于点E，连接PD.H是ABC的垂心，BCAD.又AP平面PBC，PD是斜线段AD在平面BPC上的射影，BCPD.显然PH在平面PBC内的射影在PD上，BCPH.同理可证ACPH.故PH平面ABC.即H是P在平面ABC上的正射影10已知RtABC的斜边BC在平面内，试判断ABC的两直角边在平面内的射影与斜边组成的图形的形状解：(1)当顶点A在平面上的射影A在BC所在的直线上时，两条直角边在平面上的射影是两条线段BA、CA，BACABC，所以射影BA、CA与斜边BC组成的图形是线段BC，如图(1)(2)当顶点A在平面上的射影A不在斜边BC所在的直线上时，因为AA，所以A