阻尼振动和受迫振动（课堂PPT）

1、11.5 简谐振动的能量简谐振动的能量2 谐振子的阻尼振谐振子的阻尼振动动 无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动 谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动3 谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动 共振共振 谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动 共振共振 4 简谐振动的合成简谐振动的合成4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成3/jpkc/ind

2、ex.aspx2)(sin21210022022 tmAmVEk 简谐振动的势能：简谐振动的势能： );(cos212100222tkAkxEp1.5 简谐振动的能量简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例以水平的弹簧振子为例)(sin210022tkAkmoxX 简谐振动的动能：简谐振动的动能：)cos()(00tAtxmk /0dxdEkxfp弹性力32002002221)(cos)(sin21kAttkApkEEE 简谐振动的总能量简谐振动的总能量：弹性力是保守力总机械能守恒，弹性力是保守力总机械能守恒，即总能量不随时间变化。即总能量不随时间变化。AkEpE221kAEAo4222020041

3、cos2kAdxxTkA求出势能的时间平均值求出势能的时间平均值:TPdttkATE00022)(cos211求出动能的时间平均值求出动能的时间平均值:TkdttkATE00022)(sin211222020041sin2kAdxxTkA5222020041cos2kAdxxTkA 求出势能的时间平均值求出势能的时间平均值:* * 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。TpdttkATE00022)(cos211* * 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比任一简谐振动总能量与

4、振幅的平方成正比* * 即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半等于总机械能的一半 结论：61 1.6 6 相图相图坐标和速度组成的坐标系，称为相空间。坐标和速度组成的坐标系，称为相空间。在相空间中，用每一点表示运动状态，可得出相图。在相空间中，用每一点表示运动状态，可得出相图。)(sin2121002222 tAkmVEk);(cos212100222 tkAkxEp222212121kAkxmVE 12222 bxaV简谐振动在相空间中的轨迹为椭圆。简谐振动在相空间中的轨迹为椭圆。xVo72 谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动KmT 2

5、202-2 谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动2-1 无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和阻力共同作用的振动叫阻尼振动振动系统受介质阻力共同作用的振动叫阻尼振动振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，与其方向相反。的粘滞阻力与速度大小成正比，与其方向相反。当物体低速运动时，阻力当物体低速运动时，阻力cvf 当物体高速运动时，阻力当物体高速运动时，阻力2cvf 子弹运动、卫星发射过程，受到的阻力与速度平方正子弹运动、卫星发射过程，受到的阻力与速度平方正比反向。由于振动系统要不断克服阻力作功，所以要比反向。由于振动系统

6、要不断克服阻力作功，所以要逐渐损耗振动的能量使振幅逐渐变小直至振动停止。逐渐损耗振动的能量使振幅逐渐变小直至振动停止。8以弹簧一维振动为例以弹簧一维振动为例xkxxm 弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：dtdxvfr xof fF F,弹x xv vrfFF 弹弹ma 阻尼振动微分方程阻尼振动微分方程m2 ;20mk xkxxm 令：令：称称 为振动系统的固有角频率，称为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数为阻尼系数09022022 xdtdxdtxd（1）阻尼较小时阻尼较小时，202 )cos()(0 tAetxt为二阶常系数齐次微分

7、方程。为二阶常系数齐次微分方程。通解通解ttececx)(2)(1202202 为虚数，令为虚数，令220 )(21tititececex 10)cos( tAext振幅项振幅项tAe 随时间周期性衰减。随时间周期性衰减。txotAe周期因子周期因子)cos( t振动周期振动周期 2T2202 T无阻尼时无阻尼时002 T0TT有阻尼时，周期慢长。有阻尼时，周期慢长。220 这种情况称为欠阻尼这种情况称为欠阻尼阻力使周期增大阻力使周期增大11由初始条件决定由初始条件决定A和初相位和初相位 ,设设0000,)0(,0Vdtdxxxtt 即有即有： 00000cossincos AAVAx,)(2

8、20020 xVxA0000 xxVtg t欠阻尼欠阻尼)(tx12tteCeCtx)(2)(1202202)( 202（2）阻尼较大时阻尼较大时， 方程的解：21CC ，其中其中 是积分是积分常数，由初始条件常数，由初始条件来决定，这种情况来决定，这种情况称为过阻尼。称为过阻尼。t过阻尼过阻尼)(tx无振动发生。无振动发生。两项都衰减，不是周期振动。两项都衰减，不是周期振动。13t临界阻尼临界阻尼)(tx202称之为临界阻尼情况。它是振动系统称之为临界阻尼情况。它是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在天平调衡中。平衡位置的情况，应用在

9、天平调衡中。21,CC是由初始条件是由初始条件决定的积分常数决定的积分常数。tetCCtx)()(21（3）如果如果 方程的解：方程的解：202220是从有周期性因子是从有周期性因子 到无周期性的临界点。到无周期性的临界点。14otx过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼15mHhmmk；令2;203-1 谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动3 3 谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动 共振共振设强迫力设强迫力ptHfcosxvfr阻尼力：阻尼力：pthxdtdxdtxdcos22022是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。由微分方程理论由微分方程理

10、论：非齐次微分方程的通解非齐次微分方程的通解= =齐次微分方程的解齐次微分方程的解+ +非齐次的一个特解。非齐次的一个特解。在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫力迫力-策动力。这种在周期性处力作用下进行的振策动力。这种在周期性处力作用下进行的振动叫受迫振动。动叫受迫振动。16202，则其通解为：，则其通解为：)cos()cos()(00220ptAtAetxpt受迫振动可以看成是两个振动合成的。受迫振动可以看成是两个振动合成的。第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。第二项为策动力产生的周期振动。

11、第二项为策动力产生的周期振动。开始时运动比较复杂，当第一项衰减为开始时运动比较复杂，当第一项衰减为 0 后，后， 只作只作受迫振动，振动频率为策动力的频率。受迫振动，振动频率为策动力的频率。17n经过足够长的时间，称为定态解：经过足够长的时间，称为定态解：)cos()(0ptAtxp该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：2222204)(pphAp22002pparctg18 在受迫振动中，振子因外力对它作功而获得能量，在受迫振动中，振子因外力对它作功而获得能量，同时又因有阻尼而损

12、耗能量。受迫振动开始时，前同时又因有阻尼而损耗能量。受迫振动开始时，前者大于后者，从而振动逐渐加强，随着振动加强，者大于后者，从而振动逐渐加强，随着振动加强，损耗能量增多，直到获得能量恰好补偿损耗的能量损耗能量增多，直到获得能量恰好补偿损耗的能量时，达到稳定状态。时，达到稳定状态。强调：无阻尼的线性振子的振动与受迫稳态振动，强调：无阻尼的线性振子的振动与受迫稳态振动，从运动学角度看，都是简谐振动。但从动力学角度从运动学角度看，都是简谐振动。但从动力学角度看二者有本质的区别：线性振子是保守的孤立系统，看二者有本质的区别：线性振子是保守的孤立系统，系统机械能守恒，有其自身的固有频率；而受迫稳系统机

13、械能守恒，有其自身的固有频率；而受迫稳态振动是开放的耗散系统，它不断从策动力源吸收态振动是开放的耗散系统，它不断从策动力源吸收能量，同时又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的能量，同时又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的频率振动。并且受迫振动的振幅、初位相只由振动频率振动。并且受迫振动的振幅、初位相只由振动系统和外力性质决定，而与初始条件无关。系统和外力性质决定，而与初始条件无关。19讨论：讨论：220/,phpmHApp较小较小kHmHApp200/,002/,mHApp若若 很小，很小， 很大。很大。pA求振幅求振幅 对频率的极值，对频率的极值，得出得出2222204)(pphAp2202rp共

14、振的角频率。共振的角频率。 2202hAr共振的振幅。共振的振幅。振幅有极大值：振幅有极大值：3-2 共振共振20当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共振（简称共振（resonanceresonance) )。22002pparctg2202rp共振的角频率。共振的角频率。 代入代入2200 arctgr共振时的初相位共振时的初相位,0rp,rA0当当 弱阻尼时弱阻尼时共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。20r21受迫振动相位落后于

15、强迫力相位受迫振动相位落后于强迫力相位 ，即振动速度，即振动速度与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对速度的增大有最大的效率。这正是振动振幅急剧速度的增大有最大的效率。这正是振动振幅急剧增大的原因。增大的原因。2但是，随着振幅的增大，阻力的功率也不但是，随着振幅的增大，阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，从而断增大，最后与强迫力的功率相抵，从而使振幅保持恒定。从能量观点看在共振时，使振幅保持恒定。从能量观点看在共振时，这能量转变为共振质点的能量，也叫共振这能量转变为共振质点的能量，也叫共振吸收。吸收。陆果一书讨论阻尼弹簧振子的相图。陆果一

16、书讨论阻尼弹簧振子的相图。p16822通常称通常称 的关系曲线为频率响应曲线。的关系曲线为频率响应曲线。pAp与2/)max(ppAA当当 时，即相对振幅为时，即相对振幅为 0.707(即相对强度为即相对强度为1/2) 处曲线宽度，定义为共振处曲线宽度，定义为共振峰的宽度峰的宽度 或共振带宽。可证明在弱阻尼的情或共振带宽。可证明在弱阻尼的情况下，共振带宽为：况下，共振带宽为：2pp定义振动系统的品质因数：定义振动系统的品质因数：Q 02p频率响应曲线频率响应曲线pppA2/pA23p频率响应曲线频率响应曲线pppA2/pAQQ 值的意义，不仅表征了受迫阻尼振动系统值的意义，不仅表征了受迫阻尼振

17、动系统频率选择性能的好坏，而且系统频率选择性能的好坏，而且系统 值越低，值越低，则系统的阻尼损耗越大，能量衰减越快。则系统的阻尼损耗越大，能量衰减越快。定义振动系统的品质因数：定义振动系统的品质因数：Q 02244 简谐振动的合成简谐振动的合成4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成本讲提纲本讲提纲25 代数方法：设两个振动具有相同频率，代数方法：设两个振动

18、具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位同一直线上运动，有不同的振幅和初相位4 4 简谐振动的合成简谐振动的合成4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成)cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA 结论：仍然是同频率仍然是同频率的简谐振动。的简谐振动。合振幅合振幅26)cos(122122212 AAAAA式中：式中：22112211 coscossinsinAAAAarctg 可见：可见：,21

19、0212 kk 21AAA 合振幅最大。合振幅最大。2AA1A272AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA 几何方法几何方法)cos(122122212 AAAAA22112211 coscossinsinAAAAarctg 28)cos(212212221AAAAA上面得到：上面得到：22112211coscossinsinAAAAarctg讨论一：讨论一：, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大。合振幅最大。2AA1A当当 称为干涉相长。称为干涉相长。 21AA 12AA 29讨论二：讨论二：|21AAA当当 时，时， 称为干涉相消。称为干涉相消。21AA

20、 0A2AA1A讨论三：讨论三：1A2AA,)(2101212 kk |2121AAAAA k 12一般情况：一般情况：304.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：合成振动表达式合成振动表达式：为了简单起见，先讨论两个振幅相同，为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：率振动的合成。其振动表达式分别为：222 coscoscoscos)cos()cos()( tAtAtx21)cos()( tAtx22)cos()( tAtx1131

21、coscos)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (2124)2sin2sin2cos2(cos24)2sin2sin2cos2)(cos2sin2sin2cos2(cos242cos2cos2422223221与当当 都很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，视为振幅变化部分，合成振动是以合成振动是以 为角频率的谐振动。为角频率的谐振动。2/ )(12| 2/)cos(2|12tA其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振

22、动这种合振动忽强忽弱的现象称为合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。)cos()cos()( tAtAtx21)(cos(cos 2221212ttA）33单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频Wave显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。即拍频为：即拍频为：)cos(t212 )(txt12122212 )()2(212 344.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即垂直的同频率简谐振动，即 );cos(101 tAx)c

23、os(202 tAy10101 sinsincoscos ttAx20202 sinsincoscos ttAy)sin(sincoscos1020102201 tAyAx35)sin(sincoscos1020102201 tAyAx)sin(cossinsin1020102201 tAyAx 2212222122sincos AAxyAyAx)(1020上式是个椭圆方程，具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。相位差决定。质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 时，时，质点沿顺时针方向运动；当质点沿顺时针方向运动；当 时，时，质点沿逆时针方向运动。质点沿逆时针方向运

24、动。2021AA 当当 时，正椭圆退化为圆时，正椭圆退化为圆。36讨论讨论1 01020 )( 0221222212 AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的运动。直线上的运动。yx 2212222122sincos AAxyAyAxZD_7hech37讨论讨论2 )(10200221222212 AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。讨论讨论321020 )(1222212 AyAx所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。的椭圆方程，且顺时针旋转。1A2Ayx38质点的轨道是圆。质点的轨道

25、是圆。X和和Y方向的相位差决定旋转方向方向的相位差决定旋转方向。21AA 讨论讨论5讨论讨论4所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。的椭圆方程，且逆时针旋转。1A2A1222212 AyAx231020 )(39讨论讨论6 k21020 则为任一椭圆方程。则为任一椭圆方程。32102121020， kk 综上所述：两个频率相同的互相综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行在一直线上或者在椭圆上进行(直线是退化了的椭圆直线是退化了的椭圆)当两个当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。道就成为圆。ZD_7hech404.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论 视为同频率的合成，不视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的