2019年高考数学一轮复习：直线与方程

1、精选优质文档-倾情为你奉上2019年高考数学一轮复习：直线与方程直线与方程专心-专注-专业1平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A，B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|_(2)平面直角坐标系中的基本公式：两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为d(A，B)|AB|_线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则2直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_与直线l向上方向之间所成的角

2、叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴_或_时，我们规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角的取值范围为_(2)斜率：一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k_(_)当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k_0；当直线的倾斜角为锐角时，k_0；当直线的倾斜角为钝角时，k_0；倾斜角为_的直线没有斜率倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k3直线方程的几种形式(1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的_叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的_叫做直线l在y轴上的

3、截距注：截距_距离(填“是”或“不是”)(2)直线方程的五种形式：名称方程适用范围点斜式k存在斜截式k存在两点式截距式a0且b0一般式平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是_的特例；截距式是_的特例(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为_；若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为_；若x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为_；若x1x2，且y1y20，直线即为x轴，方程为_自查自纠1(1)|x2x1|(2)2(1)正向平行重合00且bc0 Bab0且bc0Cab0且bc0 Dab0解：显然b0，所以yx，因为直

4、线过一、二、三象限，所以0，0，所以ab0且bc0)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为_解：方程可化为1，因为a0，所以截距之和ta2，当且仅当a，即a1时取等号，故a的值为1.故填1.类型一直线的倾斜角和斜率(1)设直线2xmy1的倾斜角为，若m(，2)2，)，则角的取值范围是_解：据题意知tan，因为m2或m2.所以0tan或1tan0.所以.故填.(2)直线l过点M(1，2)且与以点P(2，3)、Q(4，0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是_解：如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.kMP5，kMQ.当直线l从MP开始绕M逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜

5、率也在增大，这时，k5，当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，因为正切函数在上仍为增函数，所以斜率从开始增加，增大到kMQ，故直线l的斜率范围是5，)故填5，)【点拨】(1)直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式ktan联系(2)在使用过两点的直线的斜率公式k时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为xx1.(3)已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤：

6、求出斜率k的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90)；利用正切函数的单调性，借助正切函数的图象或单位圆确定倾斜角的取值范围(4)直线的斜率与倾斜角的关系：当且由0增大到时，k由0增大到；当且由增大到()时，k由增大并趋近于0(k0)已知两点A(1，2)，B(m，3)，求：(1)求直线AB的斜率；(2)已知实数m，求直线AB的倾斜角的范围解：(1)当m1时，直线AB的斜率不存在；当m1时，k. (2)当m1时，；当m1时，因为k(，所以.综合知直线AB的倾斜角的范围为.类型二求直线方程根据所给条件求直线的方程(1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距

7、相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为，则sin(0，)，从而cos，则ktan.故所求直线的方程为y(x4)，即x3y40.(2)若截距不为0，设直线的方程为1，因为直线过点(3，4)，所以1，解得a1.此时直线方程为xy10.若截距为0，设直线方程为ykx，代入点(3，4)，有43k，解得k，此时直线方程为4x3y0.综上，所求直线方程为xy10或4x3y0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x50.当直线斜率存在时，设其方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k

8、.此时直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.【点拨】本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程(2)求经过点A(5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程解：(1)设直线的斜率为k，则k4，又直线经过点A(1，3)，故所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当

9、直线不经过原点时，设直线方程为1(a0)，将点A(5，2)代入方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线经过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.综上可知，所求直线方程为2x5y0或x2y10.类型三直线方程的应用(1)已知点A(4，1)，B(8，2)和直线 l：xy10，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|PB|的最小值为_解：设点A1(x1，y1)与A(4，1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，所以|P0A1|P0A|，|PA1| |PA|.所以|PA|PB|PA1| |PB|A1B|A1P0|P0B|P0A|P0B|.当P点运动到

10、P0点时，|PA|PB|取到最小值|A1B|.因为点A，A1关于直线l对称，所以由对称的充要条件知， 解得 即A1(0，3)所以(|PA|PB|)min|A1B|.故填.【点拨】平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据(2)直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点当|OA|OB|最小时，求l的方程；若|PA|PB|最小，求l的方程解：依题意，l的斜率存在，且斜率为负， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0)令y0，可得A；令x

11、0，可得B(0，4k)|OA|OB|(4k)55549.所以当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时l的方程为2xy60.|PA|PB|48(k0)，当且仅当k且k0，b0)，则1.又因为2ab4，当且仅当，即a4，b2时，AOB面积Sab有最小值为4.此时，直线l的方程是1.(2)方法一：因为A，B(0，12k)(k0)，所以截距之和为12k32k3232.此时2kk.故截距之和最小值为32，此时l的方程为y1(x2)即xy20.方法二：因为1，所以截距之和ab(ab)33232.当b1，a2时取“”此时，直线l的方程为1.即xy20.(3)因为A，B(0，12k)(k0)，所

12、以|PA|PB|24.当且仅当k，即k1时上式等号成立故|PA|PB|的最小值为4，此时，直线l的方程为xy30.1直线的倾斜角和斜率的关系，可借助ktan的图象(如图)来解决这里，0，)，k的范围是两个不连续的区间这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论2直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况3在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单4对于直线方程来说，要注意的是，除“

13、一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2B20而出现增解1直线xya0(a为常数)的倾斜角为()A30 B60 C120 D150解：直线的斜率为ktan ，又因为0180，所以60.故选B.2直线l：xsin30ycos15010的斜率是()A. B. C D解：由题意得直线l

14、的斜率ktan30，所以直线l的斜率为.故选A.3直线2xcosy30的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解：直线2xcosy30的斜率k2cos，因为，所以cos，因此k2cos1， 设直线的倾斜角为，则有tan1， 又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.故选B.4若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. B C D.解：依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为.故选B.5(2016银川月考)在等腰三角形AOB中，AOAB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线A

15、B的方程为()A3xy80 B3xy100C3xy0 D3xy60解：因为AOAB，所以AOBABO，即kABkOA3.所以直线AB的方程为y33(x1)，即3xy60.故选D.6已知两点M(2，3)，N(3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A(，4 B.C. D.解：如图所示，因为kPN，kPM4.所以要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90时，kkPN；当l的倾斜角大于90时，kkPM，由已知得k或k4.故选A.7过点(，2)的直线l经过圆x2y22y0的圆心，则直线l倾斜角的大小为_解：依题意可知圆心坐标为(0，1)，则斜率ktan，所

16、以倾斜角120.故填120.8(2016郑州一模)若直线l：1(a0，b0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是_解：由直线l：1(a0，b0)可知直线在x轴上的截距为a，直线在y轴上的截距为b，即求ab的最小值由直线经过点(1，2)得1.因此ab(ab)3，因为22(当且仅当时取等号)，所以ab32.故填32.9已知在第一象限的ABC中，A(1，1)，B(5，1)，A，B.求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC和BC边所在直线的方程解：(1)AB边所在直线的方程为y1.(2)因为A，ABx轴，所以直线AC的倾斜角为，斜率为，所以AC所在直线的方程为xy10，因为B

17、，所以直线BC的倾斜角为，所以斜率为1，所以BC所在直线的方程为xy60.10设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解：(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零所以a2，方程即为3xy0.当直线不过原点时，a2，由截距存在且均不为0，所以a2，即a11.所以a0，方程即为xy20.因此直线l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，所以所以a1.综上可知a的取值范围是(，111已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程解：(1)证明：将直线l的方程变形得k(x2)(1y)0，令解得所以无论k取何值，直线l过定点(2，1)(2)当直线l的倾斜角0，90时