活跃在高考中的三角形

1、活跃在高考中的三角形 我们都非常熟悉的三角形，它由三条首尾相连的线段组成，有三个顶点、三条边、三个角.三角形有着非常丰富的内涵，这些内涵分为三个层次予以展现：a。直观展现；三角形全等与相似等；b，解析展现：正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角形中三角函数等；c，高层展现：梅涅劳斯定理、塞瓦定理和欧拉定理等.在每年一度的奥林匹克数学竞赛中，都有一道平面几何的大题，经常涉及到三角形的相关知识和定理，在近年的高考试题中，三角形越来越活跃，到处可见三角形的影子.从不同的角度展现三角形的丰富内涵，请看下面的例子： 例1 （2004浙江）已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于 . 解：由题意可知,

2、A、B、C三点不共线， 他们可构成. 又，,，. =. 评析：本题是由向量形式的三角形求值问题，而且是特殊的.一般地，对于任意，有=，或者由，得，=. 例2 （2005山西）在中，已知，给出以下四个论断：；.其中正确的是 ( ) A B C D 解：， ，则。 不一定成立; ，成立，不一定成立；，成立.选A.评析：此题是三角函数问题，满足条件的三角形是，以为直角的的等价形式为.本题主要考查的等价转换和锐角的正、余弦之和的取值范围.例3 （2005山西）已知是所在平面内一点，满足=，则点是的 （ ） A 三个内角的角平分线的交点 B 三条边的垂直平分线的交点 C三条中线的交点 D三条高的交点 解

3、：由，得 是的垂心，即三条高的交点.选D. 例4 （2003山西）已知是平面内的一个点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定过的 （ ） A 外心 B 内心 C重心 D 垂心 解：、分别为、的单位向量，向量（）就是起点为A 、终点在的平分线上的向量， 由，点P的轨迹一定通过的内心.选B. 评析：例3，例4是以向量为题面，涉及三角形的内心、垂心问题，类似地还有三角形的重心、外心等问题，请看例5、例6. 例5 已知P是所在平面内任意一点，且，则G 是的 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 解：若是的重心，则有（D是BC的中点）=， . 与重合，即G 是的重心. 例6 （

4、2005山西）的外接圆的圆心为，两边边上的高的交点为H ，则实数 . 解法一：当为时，不妨设，则是AB的中点，H是直角顶点C，. 解法二：连接BO，交外接圆于D，连AD、DC.BD是的直径，.又，四边形是平行四边形.， 。 变式：若是的外心，是三边中点D、E、F构成的的外心，且，则 .（其实是的中点，；也可用特例时得） 例7 （2002北京）已知是的三个顶点. （I）写出的重心G、外心F、垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线； （II）直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹. 略解：（I）的顶点，且重心，外心，垂心. ，.，故G、F、H三点共线.（II），且， （），配方得，即.故（）为所求的轨迹方程.（时，为等边三角形，G、F、H三点重合；而当时，O、B、C三点共线不能构成三角形）因此顶点C的轨迹是中心在，长半轴长为，短半轴长为，且焦点在直线上的椭圆，除去四点. 例8 （2005山西）椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是 . 解：为钝角有以下几种等价形式： 向量与的