ARMA模型的参数估计主要内容

1、精选优质文档-倾情为你奉上第六章 ARMA模型的参数估计主要内容§6.1 AR(p)模型的参数估计问题: 已知的AR(p):,.(1.1)由去估计和.1. AR(p)模型的Yule-Walker估计自回归系数由自协方差函数惟一确定.白噪声的方差由决定.现获, , 则作(1) ;(2) ;(3) 只要不全同, 则正定, 得惟一, .实用中, Levinson递推公式(无需求逆, 快):(1)(2) ,.以上Yule-Walker估计的最大优点是:即最小相位(只要正定).定理1.1(参见18) 若独立同分布, , 则当时, 有(1) ;(2) (3) ,.由上(2)得: . (其中是中相

2、应元素)置信水平0.95的渐近区间:.2. AR(p)模型的最小二乘估计设是的估计, 称使残差的最小的为最小.记当正定时, 有惟一的.理论表明:,.即两种估计差别不大. 对二乘估计,也有大样本性质定理1.2若,独立同分布,是最小二乘估计, 则当时, 有3. AR(p)模型的最大似然法设模型的 , 则从而得关于的似然函数为通过解似然方程结果同最小二乘法.例1.1 设白噪声, 模型为分别用Yule-Walkey法和最小二乘法估计参数.结果见程序ese6_1_1.m4. AR(p)模型的定阶问题若偏相关系数, 则认为.以上结果由以下定理保证.定理1.3 若AR(p)中是独立同分布,则对任何, 有.为

3、了检验, 可借助极限分布.定理1.4 若AR(p)中是独立同分布的, , 则对确定的, 有推论1.5 在定理1.4的条件下, 对, 有.(证明略见196页)故有95%的概率落在.因此取的估计可能较高.实际中, 常用AIC准则:(1) 分别取(上界或较大数); (2) 求AR(k)时的;(3) 计算 (4) 称为AIC定阶.注1: 一般(真), 并无, 即不相合;注2: 通常, 略高的阶数比低的阶数要好. 有利历史数据利用, 等.为克服不相合, 改用BIC(k)函数定阶.(上界)注3: 若是独立同分布的, 则BIC(k)是强相合的;注4: 当不大, BIC定阶偏低,会失真, 宜取AIC.5. A

4、R(p) 模型的拟合检验设由已得, , , 对残差: ,用§4.3白噪声检验: 若符, 则认可, 并用于预测, 否则重估、改用MA(q), ARMA(p,q).6. AR(p)序列的谱密度的估计,代入.注5: 若是独立同分布的,是由AIC或BIC定阶的, 则一致收敛到.例1.2 取附录B7中的300个数据, 对AR模型的阶数分别为上界,解Y-W方程, 4截尾的. 所以用B7数据拟合出AR模型的阶数应为4, 即通常AIC定阶略高, 下图即为用以上模型产生的300个数据, 重复1000次中定阶的结果, 定阶有别. 但充分多数据和大数重复后, 定阶的情况很接近. 例1.3 对用B7数据拟合

5、出的模型, 进行拟合检验.(1) 中心化: ;(2) 计算残差:;()(3) 计算的自相关系数;(4) 计算卡方值: (假设是白噪声的统计量);(5) 计算临界值(6) 判断: 所有, 则不能拒绝残差是独立的白噪声的假设, 即认可.§6.2 MA(q)模型的参数估计MA(1)模型: , .不难得: , 于是得: , 即,可解得: , (,时).估计值: ,(独立白噪声).1. 一般可逆MA(q)模型的矩估计及其计算若先知,则有及个非线性方程 ()反之, 若先知, 由上方程, 可解得.线性迭代法求解法:(1) 用求;(2) 初值: 任取(3) 迭代:(4) 停止: .(5) 检验可逆条

6、件, 不满足, 重取初值, 重算.也可用§3.1中的方法(MA(q)的是截尾的)(1) 用求;(2) 作(3) 分别计算和其中:. 合理性由以下定理给出.定理2.1若MA(q)中是独立同分布的, 则当充分大后,几乎必然满足可逆条件.实用可逆充分条件是: .2. MA(q)模型的逆相关函数法简介想法: 视 MA模型ïAR模型, 故先求AR模型参数, 而后求MA模型参数, 即:AR(p)方法步骤:(1) 用,求,用AIC等法定出AR(p)的阶;(2) 取, 用Y-W方程确定;(3) 用引理2.2, 计算, 即(),(4) 利用Y-W方程和求得()和.3. MA(q)模型的新息估

7、计方法简介设, ;则样本新息: ;预测均方差: ;前证可表: , 递推得,当较大时, 得: 新息的估计,由此对较大的, 得近似MA(q)模型从而有与比;合理的估计: ;具体的新息估计步骤:(1) 用, 取, 计;(2) 用递推公式 约定,(3) 取.方法的理论依据为定理2.3(18) 略.4. MA(q)模型的定阶方法(后截尾特点)(1) (2) AIC定阶1) 假设已获得的上界;2) 逐个计算MA(m)()的;3) 计算4) 比出最小值的最小作为的估计.5. MA(q)模型的拟合检验设由已得, , , 令 和 ,对, 声 若 为白噪声, 则认可模型, 否则重新估计拟合模型. 或改用AR(p), ARMA(p,q)例2.1设是§3.1例1.1中197个化学浓度的数据, 对数据建立MA(1)模型为拟合检验步骤:(1) 取;(2) 计算残差: 令,(3) 计算的自相关系数;(4) 计算是白噪声的统计量;(5) 计算临界值(6) 判断: 若所有, ,则不能拒绝残差是独立的白噪声的假设.模型通过检验.6. MA(q)序列的谱密度的估计把,代入得谱估计: .