第一章不等关系与基本不等式本章归纳整合课件（北师大版选修4-5）

1、网络构建网络构建专题归纳专题归纳掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形式变形熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会利用理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会利用绝对值三角不等式证明有关不等式和求函数的最值绝对值三角不等式证明有关不等式和求函数的最值本本 章章 归归 纳纳 整整 合合学习目标学习目标123网络构建网络构建专题归纳专题归纳会解四种类型的绝对值不等式：会解四种类型的绝对值不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|

2、xb|m，|xc|xb|m.会用平均值不等式求一些特定函数的最值会用平均值不等式求一些特定函数的最值理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、分析法、理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、几何法，会用它证明比较简单的不等反证法、放缩法、几何法，会用它证明比较简单的不等式式456网络构建网络构建专题归纳专题归纳知识结构知识结构网络构建网络构建专题归纳专题归纳实数的运算性质与大小顺序的关系：实数的运算性质与大小顺序的关系：abab0，abab0，abab0，由此可知要比较两个实数的，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可大小，判断差的符号即可不等式的不等式的4个

3、基本性质及推论是不等式的基础个基本性质及推论是不等式的基础绝对值不等式的解法：解含绝对值的不等式的基本思想是绝对值不等式的解法：解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式去绝对值符号常见的方法次不等式，或一元二次不等式去绝对值符号常见的方法有：有：(1)根据绝对值的定义；根据绝对值的定义；(2)平方法；平方法；(3)分区间讨论分区间讨论知识梳理知识梳理123网络构建网络构建专题归纳专题归纳(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|ab

4、|的的几何意义表示数轴上两点间的距离；几何意义表示数轴上两点间的距离；(2)|ab|a|b| (a，bR，ab0时等号成立时等号成立)；(3)|ac|ab|bc| (a，b，cR，(ab)(bc)0等号等号成立成立)；(4)|a|b|ab|a|b| (a，bR，左边，左边“”成立的条成立的条件是件是ab0，右边，右边“”成立的条件是成立的条件是ab0)；(5)|a|b|ab|a|b| (a，bR，左边，左边“”成立的条成立的条件是件是ab0，右边，右边“”成立的条件是成立的条件是ab0)4绝对值不等式定理绝对值不等式定理网络构建网络构建专题归纳专题归纳(1)定理定理1：若：若a，bR，则，则a

5、2b22ab (当且仅当当且仅当ab时取时取“”)；5基本不等式基本不等式(3)定理定理3：若：若a，b，c(0，)，则，则a3b3c33abc(当当且仅当且仅当abc时取时取“”)可以当作重要结论直接应用；可以当作重要结论直接应用；网络构建网络构建专题归纳专题归纳(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考察是否满足在应用基本不等式求最值时一定要注意考察是否满足“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”的要求的要求(1)比较法证明不等式比较法证明不等式作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件证明的步骤大致是

6、：的意义及实数比较大小的充要条件证明的步骤大致是：作差作差恒等变形恒等变形判断结果的符号其中，变形是证判断结果的符号其中，变形是证明推理中的一个承上启下的关键，变形的目的全在于判断明推理中的一个承上启下的关键，变形的目的全在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法可以运用一切有效的恒等变形的方法6不等式的证明不等式的证明网络构建网络构建专题归纳专题归纳(2)综合法证明不等式综合法证明不等式综合法证明

7、不等式的思维方向是综合法证明不等式的思维方向是“顺推顺推”，即由已知的不等，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件式出发，逐步推出其必要条件(由因寻果由因寻果)，最后推导出所，最后推导出所要证明的不等式成立要证明的不等式成立综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意的是：作为依据和出发点的几的基本理论证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式个重要不等式(已知或已证已知或已证)成立的条件往往不同，应用时成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号要先考虑是否具备应有的条件，

8、避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中中“当且仅当当且仅当时，取等号时，取等号”的理由要理解掌握的理由要理解掌握网络构建网络构建专题归纳专题归纳(3)分析法证明不等式分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是方向是“逆推逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件的充分条件(执

9、果索因执果索因)，最后得到的充分条件是已知，最后得到的充分条件是已知(或已或已证证)的不等式的不等式当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效网络构建网络构建专题归纳专题归纳由教材内容可知，分析法是由教材内容可知，分析法是“执果索因执果索因”，步步寻求上一步，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是成立的充分条件，而综合法是“由因导果由因导果”，逐步推导出不，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般等式成立的必要条件，两者

10、是对立统一的两种方法一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用以证明，所以分析法和综合法可结合使用(4)反证法：反证法是一种反证法：反证法是一种“正难则反正难则反”的方法，反证法适用的方法，反证法适用的范围：的范围：直接证明困难；直接证明困难；需要分成很多类进行讨论；需要分成很多类进行讨论；“唯一性唯一性”、“存在性存在性”的命题；结论中含有的命题；结论中含有“至至少少”、“至多至多”及否定性词语的命题

11、及否定性词语的命题网络构建网络构建专题归纳专题归纳(6)几何法：根据要证不等式的结构特征，利用数形结合思几何法：根据要证不等式的结构特征，利用数形结合思想，构造几何图形得出结论想，构造几何图形得出结论(7)证明不等式的其他方法及一题多证证明不等式的其他方法及一题多证证明不等式的方法除了上述介绍的比较法、综合法、分析证明不等式的方法除了上述介绍的比较法、综合法、分析法外，还可以运用反证法等证明不等式时既可探索新的法外，还可以运用反证法等证明不等式时既可探索新的证题方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活证题方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思

12、维能力，提高跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养数学素养网络构建网络构建专题归纳专题归纳专专题一题一不等式的基本性质的应用不等式的基本性质的应用【例例1】典例剖析典例剖析网络构建网络构建专题归纳专题归纳网络构建网络构建专题归纳专题归纳专专题题二二基本不等式的应用基本不等式的应用【例例2】网络构建网络构建专题归纳专题归纳专专题题三三绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法【例例3】网络构建网络构建专题归纳专题归纳专专题题四四绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式的应用【例例4】网络构建网络构建专题归纳专题归纳网络构建网络构建专题归纳专题归纳网络构建网络构建专题归纳专题归纳网络构

13、建网络构建专题归纳专题归纳 若若abc，求证：，求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2.证明证明abc，ab0，bc0，ac0，于是：于是：a2bb2cc2a(ab2bc2ca2)(a2ba2c)(b2cb2a)(c2ac2b)a2(bc)b2(ca)c2(ab)a2(bc)b2(cb)(ba)c2(ab)a2(bc)b2(bc)c2(ab)b2(ab)(bc)(a2b2)(ab)(c2b2)(bc)(ab)(ab)(ab)(cb)(cb)(bc)(ab)ab(cb)(bc)(ab)(ac)0，a2bb2cc2aab2bc2ca2.专专题题五五比较法证明不等式比较法证明不等式【例例5】网络构建网络构建专题归纳专题归纳专专题题六六分析法证明不等式分析法证明不等式【例例6】网络构建网络构建专题归纳专题归纳网络构建网络构建专题归纳专题归纳 已知函数已知函数f(x)是是(，)上的增函数，上的增函数，a，bR.问命题问命题“若若ab