第三课时：平面向量的数量积（1）

1、第三课时：平面向量的数量积（1）【学习目标】1、理解平面向量数量积含义，会进行平面向量数量积的运算；2、能运用平面向量数量积表示两个向量的夹角。【学习重点】平面向量数量积的运算、平面向量数量积表示两个向量的夹角【学习难点】平面向量数量积含义、掌握向量数量积运算【学习过程】一、知识梳理1、平面向量的数量积的定义已知两个非零向量和，它们的夹角为，把数量 叫做和的数量积（或内积），记作，即= ，并规定零向量与任一向量的数量积为 .2、向量的数量积的性质设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则：（1）= ；（2）= ； （3）当和同向时，= ，当和反向时，= . 特别地：或；（4） ；

2、（5）= 是与的夹角）.3、向量数量积的运算律（1）= （交换律）；（2）= = （数乘结合律）；（3）= （分配律）4、平面向量数量积的坐标表示 （1）= . （2）= ，= . （3） .（4）若与的夹角为，则= .（5）若的起点坐标和终点坐标分别为则= .二、激活思维1、已知|4，|5，且与的夹角为60°，则(23)·(32)= .2、已知|3，|4，|5，求|23|的值 .3、已知O是ABC所在平面内一点，且满足()·(2)0，则ABC的形状为 4、已知|a|=1，|b|=6，a·(b-a)=2，则向量a与向量b的夹角是_5、已知是夹角为单位向量

3、，若，则k的值为 三、例题讲解题型一对向量数量积概念的理解例1下列命题正确的是_（1）a·00； （2）0·a0； （3）0-； （4）|a·b|a|·|b|；（5）若a0，则对任一非零b有a·b0； （6）若a·b0，则a与b中至少有一个为0； （7）对任意向量a，b，都有(a·b)a(b·)； （8）若a与b是两个单位向量，则ab变式、有下列四个命题： (a·b)2a2·b2； |ab|>|ab|； |ab|2(ab)2； 若ab，则a·b|a|·|b|其中真命题的

4、序号是_题型二、利用平面向量数量积解决模、夹角问题例2（1）已知向量a和b的夹角为120°，| a |=1，| b |=3，求|5ab |的值；（2）平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，求|a+2b|的值（3）已知x=a-b，y=2a+b，且|a|=|b|=1，ab，求x与y的夹角的余弦值；（4）已知a=（m-2，m+3），b=（2m+1，m-2）（mR），且a与b的夹角为钝角，求实数m的取值范围变式：已知A(5，0)，B(0，5)，C(cos，sin)，(0，) （1）若，求sin2； （2）若| + |=，求与的夹角题型三、利用数量积来解决垂直与平

5、行的问题例2、已知向量，（1）若，求的值； （2）求的最大值。四、当堂练习：1、已知向量a，b满足a=(2，1)，a·b=10，a+b=，则b=_2、若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为，则|a+b|=_3、已知向量a，b，c满足：|a|1，|b|2，cab，且ca，则a与b的夹角大小是_.4、设是的边边上的中线上的一个动点，若,求向量的最小值_五、课后练习1、若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于_2、已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1·b2_.3、已知|a|b|2，(a2b)

6、3;(ab)2，则a与b的夹角为_4、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 。5、在ABC中，a=5，b=8，C=60°，则的值为 6、已知a=(x,3)，b=(2,-1)，若a与b的夹角为锐角，则x的取值范围是 7、已知向量a(1,3)，b(2，6)，|c|，若(ab)·c5，则a与c的夹角为 8、如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_ 9、如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是_10、已知向量m，n的夹角为，且|m|，|n|2，在ABC中， 2m2n，2m6n，D为BC边的中点，则|_11、平面向量a,b,c满足a+b+c=0，且a与b夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|=2，则|a|=_12已知|a|1，|b|，（1）若a与b的夹角为，求|ab|； （2）若ab与a垂直，求a与b的夹角13、在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1) 求以线段AB、AC为邻边的平