第4章静态场的解

1、第四章 静 态 场 的 解 第四章 静 态 场 的 解 4.1 边值问题的分类边值问题的分类4.2 唯一性定理唯一性定理4.3 镜像法镜像法4.4 分离变量法分离变量法4.5 复变函数法复变函数法4.6 格林函数法格林函数法4.7 有限差分法有限差分法 第四章 静 态 场 的 解 4.1 边值问题的分类边值问题的分类 第一类边值问题： 给定整个边界上的位函数值； 第二类边值问题： 给定边界上每一点位函数的法向导数； 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位， 同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。 给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。 第四章 静 态 场 的 解 4.2 唯唯 一

2、一 性性 定定 理理4.2.1 格林公式格林公式 SVdSFFdV在上式中，令F=, 则 dSndSdVFdVFSSVV)()()(22第四章 静 态 场 的 解 即即 SVdSndV)(2这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面的外法向。SVdSndV)(2SVdSnndV)(22该式称为格林第二恒等式。 第四章 静 态 场 的 解 4.2.2 唯一性定理唯一性定理设在区域V内，1和2满足泊松方程，即 )()(2212rr在V的边界S上，1和2满足同样的边界条件， 即 )(|)(|21rfrfSS第四章 静 态 场 的 解 令 =1-2，则在V内，2=0，在边界面S上，|S=0。在格

3、林第一恒等式中，令=，则 SVdSndV)(2由于 2 =0，所以有 SVdSndV2在S上 =0，因而上式右边为零，因而有 02dVV第四章 静 态 场 的 解 4.3 镜镜 像像 法法 4.3.1 平面镜像法平面镜像法 例例 4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。 图 4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像 第四章 静 态 场 的 解 当z0 时，2S=0；当z=0时，=0；当z、|x|、|y|时，0。 解：解： 第四章 静 态 场 的 解 rqrq0412/12222/1222)(,)(hzyxrhzyxr3303303304114114rhzrhzqzEr

4、rqyErrqxEzyx第四章 静 态 场 的 解 由Dn=S可得导体表面的面电荷密度： 2/32220)(2hyxqhEzS导体表面总的感应电荷： qhyxdxdyqhdSqSin2/3222)(2第四章 静 态 场 的 解 图 4-2 相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像 第四章 静 态 场 的 解 4.3.2 球面镜像法球面镜像法 例例 4-2 如图 4-3(a)所示，一个半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。 图 4-3 球面镜像 (a) 球面镜像原问题；(b) 等效问题 第四章 静 态 场 的 解 解：解：我们先试探用一个镜像电荷q等效球面上的感应面电

5、荷在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q应置于球心与电荷q的连线上，设q离球心距离为b(b0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为 nml120第四章 静 态 场 的 解 例例 4-5 两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是 2d，如图 4-6，求导体单位长的电容。 图 4-6 平行双导体 第四章 静 态 场 的 解 解：解：设两个导体圆柱单位长带电分别为l和-l，利用柱面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷l和-l代替，线电荷相距原点均为d，两个导体面的电位分别为1和2。 bdmmammd1112222解之得 aabbm222, 1第四章 静 态 场 的 解 aabbnabb

6、abbnnmnmUlll2202222021021112)11 (2aabbnUCl2201当ba时， abnC210第四章 静 态 场 的 解 4.3.4 平面介质镜像法平面介质镜像法 例例 4-6 设两种介电常数分别为1、2的介质充填于x0 的半空间，在介质 2 中点(d, 0, 0)处有一点电荷q, 如图 4-7(a)所示， 求空间各点的电位。 图图 4-7 例例 4-6 用图用图(a) 介质镜像问题；介质镜像问题； (b) 区域区域 2 等效；等效； (c) 区域区域 1 等效等效 第四章 静 态 场 的 解 解：解： 右半空间任一点的电位为 122241rqrq左半空间任一点的电位为

7、 2114 rq其中q和q待定。 xx221121,第四章 静 态 场 的 解 12, qqqqqqqqqq12112122 第四章 静 态 场 的 解 4.4 分分 离离 变变 量量 法法4.4.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法在直角坐标系中， 拉普拉斯方程为 0222222zyx设可以表示为三个函数的乘积， 即 )()()(),(zZyYxXzyx第四章 静 态 场 的 解 0222222dzZdXYdyYdXZdxXdYZ然后用XYZ除上式，得 0ZZYYXX222ZZYYaXX第四章 静 态 场 的 解 0222a当2=0时，则 00)(bxaxX 当20 时，令=

8、kx，则 xkxkxxxxededxXxchkcxshkcxX2121)()(或 第四章 静 态 场 的 解 例例 4-7 横截面如图 4-8 所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为ab，槽体的电位为零，盖板的电位为U0， 求此区域内的电位。 图 4-8 矩形截面导体槽 第四章 静 态 场 的 解 解：解： 本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即=(x, y)。 在区域 0ya、0yb内，2 =0边界条件为 x=0, (0, y)=0 x=a, (a, y)=0 y=0, (x, 0)=0 y=b, (x, b)=U0 第四章 静 态 场 的 解 xkaxkaxXxxc

9、ossin)(210sinakx即kxa=n或kx=n/a(n=1, 2, 3, )，这样得到X(x)=a1sin(nx/a)。 由于2+2=0，所以得到Y(y)的形式为指数函数或双曲函数， 即 ychkcyshkcyYxx21)(有c2=0, Y(y)=c1sh(ny/a)，这样我们就得到基本乘积解X(x)Y(y)， 记作 aynshaxnCyYxXnnnnsin)()(第四章 静 态 场 的 解 取不同的n值对应的n并叠加，即 axnshaxnCyxnnnn11sin),(由边界条件，有(x, b)=U0， 即 axnBaxnabnshCUnnnn110sinsinabnshCBnn其中：

10、 第四章 静 态 场 的 解 mnmnadxaxmaxna02/sinsin0左右两边同乘以sin(mx/a)， 并在区间(0，a)积分，有 dxaxmaxnBdxaxmUanasinsinsin0002sinsin0200aBdxaxnBdxaxnUnana第四章 静 态 场 的 解 因而， )cos1 (2sin2000nnUdxaxnaUBannUBn040n=2, 4, 6, n=1, 3, 5, 所以，当n=1, 3, 5, 时， abnshnUCn04第四章 静 态 场 的 解 当n=2, 4, 6, 时， 0nC这样得到待求区域的电位为 axnaynshabnnshUyxnsin

11、14),(, 3 , 10第四章 静 态 场 的 解 例例 4-8 如图 4-9 所示，两块半无限大平行导体板的电位为零，与之垂直的底面电位为(x, 0)，求此半无限槽中的电位。 其中： 0)0 ,(0Ux20ax axa2第四章 静 态 场 的 解 图图 4-9 无限长槽的电位无限长槽的电位 第四章 静 态 场 的 解 解：解：和前题类似， 这是一个二维拉普拉斯方程边值问题， =(x, y)，边界条件为 (0, y)=0 (a, y)=0 (x, )=0 0)0 ,(0Ux20ax axa2第四章 静 态 场 的 解 为满足边界条件，取级数 axneCyxnaynnsin),(1/代入边界条

12、件， 得 0sin01UaxnCnn20ax axa2运用正弦函数的正交归一性， 得 2cos12sin202/00nUCdxaxnUaCnan第四章 静 态 场 的 解 4.4.2 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 01122222zrrrrr 当电位与坐标变量z无关时，上式第三项为零，此时电位(r,)满足二维拉普拉斯方程： 022rrrr运用分离变量法解之，令 )()(rR第四章 静 态 场 的 解 0122ddrdRrdrdRr两个常微分方程： 002222222nddRndrdRrdrRdr当n0 时，上面两方程的解为 ndncbrarRnnsincos第四章 静 态

13、场 的 解 )sincos()sincos(),(11nDnCrnBnArrnnnnnnnn0000001)()(DnrCrRBA当n=0 时， 第四章 静 态 场 的 解 例例 4-9 将半径为a的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场E0中，柱轴与E0垂直，求任意点的电位。 解：解：令圆柱的轴线与z轴重合，E0的方向与x方向一致，如图4-10 所示。由于导体柱是一个等位体，不妨令其为零，即在柱内(ra), 1=0，柱外电位2满足拉普拉斯方程。2的形式就是圆柱坐标系拉普拉斯方程的通解。以下由边界条件确定待定系数。本例的边界条件是： r，柱外电场E2E0ex, 这样2E0 x，即0-E0rcos。

14、 r=a，导体柱内、外电位连续，即2=0。 第四章 静 态 场 的 解 图 4-10 均匀场中导体柱 第四章 静 态 场 的 解 除此之外，电位关于轴对称，即在通解中只取余弦项，于是， 12cos)(nnnnnnrCrA)(ar 0,01nAEA) 1( n102coscosnnnnrCrE0coscos10nnnnrCaE第四章 静 态 场 的 解 因这一表达式对任意的成立，所以 ) 1(0,201nCaECn于是， cos202rarE第四章 静 态 场 的 解 例例 4-10 若在电场强度为E0的均匀静电场中放入一个半径为a的电介质圆柱，柱的轴线与电场互相垂直，介质柱的介电常数为，柱外为

15、真空，如图 4-11 所示，求柱内、外的电场。 图 4-11 均匀场中介质柱 第四章 静 态 场 的 解 解：解：设柱内电位为1，柱外电位为2，1和2与z无关。 取坐标原点为电位参考点，边界条件如下： r, 2=-E0rcos r=0, 1=0 r=a, 1=2 r=a, rr201第四章 静 态 场 的 解 于是，柱内、柱外电位的通解为 )sincos()sincos(),()sincos()sincos(),(112111nDnCrnBnArrnDnCrnBnArrnnnnnnnnnnnnnnnn 考虑本题的外加电场、极化面电荷均关于x轴对称，柱内、柱外电位解只有余弦项，即 0nnnnDB

16、DB)2( n于是， nArrnnn11cos),(nrCrErnnn102coscos),(第四章 静 态 场 的 解 由边界条件和， 可得 1100011101coscoscoscoscoscosnnnnnnnnnnnnnanCEnanAnaCnaEnaA)2(0, 011,1220101nCAaECEAnnrrr第四章 静 态 场 的 解 其中，r=/0，是介质圆柱的相对介电常数。于是柱内、外的电位为 cos111cos1222201rrarErrr00112)sincos(12EeeeEErxrrsin111cos1110220222EraeEraeErrrrr第四章 静 态 场 的

17、解 例例 4-11 在一个半径为a的圆柱面上，给定其电位分布： 00U00求圆柱内、外的电位分布。 解：解： 101)sincos(),(nnnnnBnArAr0)sincos(),(0101UnBnAaAannnn0-0 第四章 静 态 场 的 解 由傅里叶级数的有关知识， 可得出 ) 1(1 sinsin),(1) 1(0coscos),(12),(210001001010nnnnnnnnnnnUadnUaBdnaBandnUaAdnaAaUdaA第四章 静 态 场 的 解 即即 ), 5 , 3 , 1(20nnUaBnn将这些系数代入上面的通解， 得到圆柱内部的电位： , 3 , 10

18、01sin122),(nnnarnUUr第四章 静 态 场 的 解 4.4.3 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 0sin1sinsin12222222rrrrrrrr0sinsin11222rrrrr 令 =R(r)()，将其代入式(4-54)，并用r2/ 乘该式的两边， 得 0sinsin112ddddrdRrdrdR第四章 静 态 场 的 解 上式的第一项只是r的函数，第二项只是的函数。要其对空间任意点成立，必须使每一项为常数。令第一项等于k，于是有 kdrdRrdrdR21kddddsinsin1cosx0)1 (2kdxdxdxd第四章 静 态 场 的 解 称为勒让德方程

19、，它的解具有幂级数形式，且在-1x0)的格林函数，就是求位于上半空间r处的单位点电荷，以z=0 平面为电位零点时，在上半空间任意一点r处的电位。这个电位可以用平面镜像法求得，因而，上半空间的格林函数为 211141) ,(RRrrG式中： 2/122222/12221) () () () () () (zzyyxxRzzyyxxR第四章 静 态 场 的 解 同理可得出二维半空间(y0)的格林函数。 也使用镜像法，可以比较容易地算出位于(x, y)处的单位线电荷，在以y=0 为电位参考点时，在(x, y)处的电位。因而，二维半空间(y0)的格林函数为 12121) ,(RRnrrG式中： 2/1

20、2222/1221) () () () (yyxxRyyxxR第四章 静 态 场 的 解 3. 球内、球内、 外空间的格林函数外空间的格林函数 可以由球面镜像法，求出球心在坐标原点、半径为a的球外空间的格林函数为 21141) ,(RraRrrG图图 4-19 球外格林函数球外格林函数 第四章 静 态 场 的 解 ) cos(sinsincoscoscos)cos 2 ()cos2(22/12222/1221rarrrrrRrrrrR21141) ,(RraRrrG第四章 静 态 场 的 解 图图 4-20 球内格林函数球内格林函数 第四章 静 态 场 的 解 4.6.3 格林函数的应用格林函

21、数的应用 例例4-16 已知无限大导体平板由两个相互绝缘的半无限大导体平板组成(如图 4-21所示)，右半部的电位为U0，左半部的电位为零，求上半空间的电位。 图图 4-21 例例 4-16 用图用图 第四章 静 态 场 的 解 解：解： SdSnrrGr) ,() () () (1) () (141121) ,(2222012yyxxnyyxxnRRnrrG其中： 1R2/12222/1221) () () () (yyxxRyyxxR第四章 静 态 场 的 解 2222220) (1) () () (2) () () (241yxxynGyyxxyyyyxxyyyGnGSyxUdxxxyy

22、Urarctan2) ()(02200第四章 静 态 场 的 解 例例 4-17 一个间距为d的平板电容器，极板间的体电荷密度是0(0为常数)，上、下板的电位分别是U0和 0，求格林函数。 图 4-22 例 4-17 用图 第四章 静 态 场 的 解 解：解： 0)(,)0()(00022dUdxxd(0 xd) )0(0) ,()0(0) , 0()0() () ,(022dxxdGdxxGdxxxdxxxGd第四章 静 态 场 的 解 对于格林函数G的微分方程，分xx两部分积分后，得 )0() ,()0() ,(4321dxxCxCxxGdxxCxCxxG代入上、下极板G的边界条件，得 3

23、42, 0dCCG即 )0() ,(1dxxxCxxG)0()() ,(3dxxxdCxxG第四章 静 态 场 的 解 上式中还有两个待定常数要确定。可以使用G在x=x连续，得 )(31dxCxC01xxxxdxdGdxdG即 0131CC第四章 静 态 场 的 解 解解: C1和C3的联立方程，得 )() ,(00 xddxxdxdxxCx x x x dxCdxdC0301,得到格林函数为 第四章 静 态 场 的 解 例例 4-18 已知一个半径为a的圆柱形区域内体电荷密度为零，界面上的电位为 )(),(a用格林函数法求圆柱内部的电位(r, )。 解：解： 使用镜像法及格林函数的性质，可以

24、得出，半径为a的圆柱内部静电问题的格林函数为 aRrRnrrG12121) ,(第四章 静 态 场 的 解 图 4-23 柱内区域格林函数 第四章 静 态 场 的 解 ,)cos 2()cos2(22/12 222/12 21rarrrrrRrrrrR) cos(2) (21) ,() (222220darraradSnrrGrS第四章 静 态 场 的 解 例例 4-19 如果上题的圆柱面上的电位为(a, )=U0cos，求柱内的电位。 解：解： 2022220) cos(2cos2)(darraraUr首先证明恒等式 ) 1(cos21)cos21/()1 (122knkkkknn(4-10

25、0)第四章 静 态 场 的 解 22221111cos21121cos212cos2121sincos1sincos21sincos1sincos212112112121)(21)(2121)(2121cos21kkkkkkkjkkjkkjkkjkkkekekekekekeeeknkjjjjnnnjnjnjnjnnnn第四章 静 态 场 的 解 令k=r/a，我们可以将式(4-100)改写成 cos ) (cos1 cos2) cos(211cos2)(0120022200arUdnkUdkkkUrnn第四章 静 态 场 的 解 4.7 有有 限限 差差 分分 法法 图 4-24 差分网格 4

26、.7.1 差分表示式差分表示式 第四章 静 态 场 的 解 KhxhxhxKhxhxhx3033202200330332022001! 3121! 31! 21当h很小时，忽略四阶以上的高次项， 得 02220312xh02220422yh第四章 静 态 场 的 解 02222yx考虑到可得 )(4143210上式表明，任一点的电位等于它周围四个点电位的平均值。显然，当h越小，计算越精确。如果待求N个点的电位，就需解含有N个方程的线性方程组。若点的数目较多，用迭代法较为方便。 第四章 静 态 场 的 解 4.7.2 差分方程的数值解法差分方程的数值解法 1. 简单迭代法简单迭代法 图 4-25 节点序号 )(411, 11, 11,njinjinjinjinji第四章 静 态 场 的 解 2. 塞德尔塞德尔(Seidel)迭代法迭代法 通常为节约计算时间，对简单迭代法要进行改进，每当算出一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其它节点的差分方程迭代，这种迭代法叫做塞德尔(Seid