第4章动量与角动量

1、1动量和角动量24-1 4-1 动量和动量定理动量和动量定理4-1-1 冲量反映力对时间的累积效应。冲量：作用力与作用时间的乘积。恒力的冲量：)(12ttFI变力的冲量：21)(ttttFId单位：Ns34-1-2 动量动量：运动质点的质量与速度的乘积。vmp 单位：kgm/s 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体的质量有关。 车辆超载超速引发交通事故4牛顿运动定律：amFtptmFddd)(dv动量定理的微分式：tFpdd如果力的作用时间从 ，质点动量从 tt 0pp0ttpptFp00dd4-1-3 动量定理5质点动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。000

2、vvmmpptFIttd说明：（1） 冲量的方向 与动量增量 的方向一致。Ip动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。常把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算。（2）6ttzzzzttyyyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI000000dddvvvvvv平均冲力：tttFttF0d10 tFttFI7结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体受到的平均冲力越小；反之则越大。 海绵垫子可以海绵垫子可以延长运动员下落时延长运动员下落时与其接触的时间，与其接触的时间，这样就减小了地面这样就减小了地面对人的冲击力。对人的冲击力。 8设n个质点构成系统第i个质点：外力i

3、F内力iF内初速度0iv末速度iv质量 mi质点动量定理：0d0iiiittiimmtFFvv内iFiF内4-2 4-2 质点系动量定理质点系动量定理 质心运动定理质心运动定理 4-2-1 质点系动量定理9 0d0iiiittiimmtFFvv内 0iF内其中：系统总末动量：iimpv系统总初动量：00iimpv合外力的冲量： ttitF0d12内F21内F1F2F1m2m10质点系的动量定理：ppptFtti 00d微分式：tpFidd质点系所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。 11imO1m2mxyzCCr1rir2rn21nn2211mmmrm

4、rmrmrCmrmiicr设由n个质点构成一质点系质量：m1， m2， mn位矢： ， ， 1r2rnr4-2-2 质心质心位矢：12质心位置的分量式：iiiCmxmxiiiCmymyiiiCmzmz连续体的质心位置：mmxxCddmmyyCddmmzzCdd对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何对称中心。说明：13iiCrmrm质心位置公式：trmtrmiiCddddiiCmmvv结论： 质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。 由质点系动量定理的微分式可得：tmtmmttpFCiiiiiddddddddvvv4-2-3 质心运动定理14CiamF质心运动定理：作用于质点系

5、上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积。质心的两个重要性质：系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。（2）系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量，内力既不能改变质点系的总动量,也就不能改变质心的运动状态 。（1）15a例5 求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板质心的位置坐标。0CyOxyxxd解取如图坐标轴对称性分析可知 取宽度为dx的面积元,设薄板每单位面积的质量为,则此面积元的质量为xxxymd2d2daxxxxmmxxaac32d2d2dd202021600dpptFtti 质点系的动量定理：0iF当时，0pp有系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变

6、。常矢量iimpv条件： 0iF动量守恒定律：4-3 4-3 动量守恒定律动量守恒定律17说明：（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。（2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）动量守恒的分量式： 动量守恒定律是自然界最普遍的规律之一，它动量守恒定律是自然界最普遍的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观物体。不仅适合宏观物体，同样也适合微观物体。0 0 0 zizizyiyiyxixixFmpFmpFmp常量常量常量vvv18例8 一质量为m的小球在质量为M的圆弧形槽上,圆弧形槽半径为R,放在水平地面上,小

7、球与槽间、槽与地面间的摩擦忽略,现小球从圆弧形槽顶端静止滑下,求刚离开槽时,小球和木块的速度等于多少?解水平方向所受合外力为零，因此系统动量守恒：0vmMV小球、槽、地球组成的系统在运动过程中机械能守恒：222121MVmmgRv小球速度： 槽速度： mMMgR2v)(2mMMgRmV19例9 质量为m的人拿着质量为m的物体,与地面成角的方向向前跳跃,初速率为v0,在跳到最高点P处时,人将物体相对于人以u的速率水平向后抛出,问人的跳跃水平距离增加了多少？解 最高点P抛前和抛后过程,水平运动满足动量守恒条件.设抛后人对地的速率为v1,物体对地的速率为v2,则有：)(cos)(110ummmmvv

8、v)(12u vv0vxyOP1x2x20ummmcos01vv从最高点落到地面所需的时间：gtsin0v 跳跃增加的水平距离：gmmmutxxx)(sin )cos(00112vvv214-4 4-4 碰撞碰撞两个或两个以上的物体在运动中发生极其短暂的相互作用，使物体的运动状态发生急剧变化，这一过程称为碰撞。 221m1m2m2m1m10v20v1v2vxO动量守恒2211202101vvvvmmmm完全弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能没有损失。 非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失。 完全非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失，且碰撞后碰撞物体结合成一体，以同一速度运动。 231.

9、完全弹性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1)如果m1= m2 ，则v1 = v20 ，v2 = v10，即两物体在碰撞时速度发生了交换。 (2) 如果v20 = 0 , 且 m2 m1, 则v1 = - v10, v2 = 0242完全非弹性碰撞 21202101mmmmvvv由动量守恒定律完全非弹性碰撞中动能的损失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvv25牛顿的碰撞定律：在一维

10、对心碰撞中，碰撞后两物体的分离速度 v2- v1 与碰撞前两物体的接近速度 v10- v20 成正比，比值由两物体的材料性质决定。 3非弹性碰撞201012vvvve e 为恢复系数 e = 0，则v2 = v1，为完全非弹性碰撞。 e =1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。 一般非弹性碰撞：0 e 1 26mxyzrLpO设：t 时刻质点的位矢r质点的动量vm运动质点相对于参考点O的角动量定义为vmrprL单位：kg m2/s4-5-1 质点的角动量4-5 4-5 质点的角动量质点的角动量27角动量大小：sinsinvmrrpL角动量的方向： 位矢 和动量 的矢积方向vmr如果质点绕

11、参考点O 做圆周运动rpOrmprLv角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点O的位置有关。 注意：28质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影，称为质点对轴线的角动量。 LOzLzcosLLz设各质点对O点的位矢分别为nrrr,21动量分别为nppp,21niniiiiprLL11)(质点系的角动量L294-5-2 力矩质点的角动量 随时间的变化率为 LtprptrtprtLdddddddd1力对参考点的力矩0ddpptrv式中FtpddFrtLdd 质点角动量的改变不仅与所受的作用力 有关，而且与参考点O到质点的位矢 有关。 rF30定义：外力 对参考点O的力矩：FxyzrOMF力矩

12、的大小：sinrFM FrM力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于 和 确定的平面。rF单位：Nm31设作用于质点系的作用力分别为：nFFF,21作用点相对于参考点O的位矢分别为： nrrr,21相对于参考点O的合力矩为：iiFrMOxyz1rir2r1F2FiF322力对轴的矩OZzMM力 对轴的力矩： F力 对点的力矩 在过点的任一轴线上的投影。FMcosMMzFrFrM/力 对轴Oz的力矩： FFrMzOrFF/FM33tLMdd1221LLtMttd质点的角动量定理： 质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：21tttMd称为“

13、冲量矩”4-5-3 角动量定理 角动量守恒定律34质点系的角动量：niniiiiprLL11)(两边对t求导：tprptrtLiiiidddddd0ddiiptriiiiiFFrtpr内dd0iiFr内式中iiiiFrFrtL内dd合内力矩为零上式中35tLFrMiidd 质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。质点系角动量定理： 质点系对z 轴的角动量定理： tLMzzdd36质点系角动量定理的积分式： 2112dttLLtM 作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内的角动量的增量 。如果0M质点或质点系的角动量守恒定律： 当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。 则L恒矢量37质点系对z轴的角动量守恒定律： 系统所受外力对z轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒。 恒量zL 角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。它有着广泛的应用。 M = 0的情况：r = 0， F = 0， r与F同向或反向，即质点在有心力作用下运动，角动量守恒。 (Mz