三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

1、精选优质文档-倾情为你奉上向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。重心：中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。1、 重心1、是的重心若是的重心，则故,为的重心.2、 P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心.证明： G是ABC的重心 ，即由此可得.（反之亦然（证略）3、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.例1 若 为内一点， ，则 是 的（ &#

2、160;   ）A 内心           B外心        C垂心          D重心 2、 垂心1、是的垂心若是(非直角三角形)的垂心，则故2、H是面内任一点，点H是ABC的垂心.由,同理，.故是的垂心. （反之亦然（证略）3、是所在平面上一点，若，则是的垂心由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图1.

3、图图14、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心例2 P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心3、 内心1、是的内心的充要条件是ACBCCP引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才是的内心的充要条件可以写成2、是的内心的充要条件也可以是。3、若是的内心，则故或者;4、已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图。5、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心由题意得，

4、当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图。例3 平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心4、 外心1、是的外心,若O是的外心则故。2、 已知是所在平面上一点，若，则是的外心若，则，则是的外心，如图1。图2图13、已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心，如图2。例4 若 为内一点，则 是 的（     ）A内心      

5、0;    B外心        C垂心          D重心关于“欧拉定理”的一些问题：著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。例5 在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，

6、且QG:GH=1:2。证明：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有： 由题设可设,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF即，故Q、G、H三点共线，且例6若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证 .证明 若ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.，.又垂心为H，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，故.“欧拉定理”简化：例7 设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证 证明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此

7、可得 .补充练习一：1已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点P满足= (+2),则点P一定为 （ ）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点2 在同一个平面上有及一点满足关系式：，则为的 （    ）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心2 已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的 ( ) 外心 内心 C 重心 D 垂心3已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过ABC的 （   ） 外心 内心 C 重

8、心 D 垂心4已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的 （     ） 外心 内心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的 （   ） 外心 内心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的： （ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量与满足， 则为A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形8. 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 。9.

9、点O是所在平面内的一点，满足，则点是的（）A 三个内角的角平分线的交点B 三条边的垂直平分线的点C 三条中线的交点D 三条高的交点10. 已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则。 证 点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上）， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。补充练习二：1、已知O是ABC内的一点，若，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、在ABC中，有命题；若，则ABC为等腰三角形；若，则为锐角三角形，上述命题中正确的是 A、 B、 C、 D、3、已知ABC中，有和,试判断ABC的形状。4、已知ABC中，B

10、是ABC中的最大角，若，试判断ABC的形状。5、已知O是ABC所在平面内的一点，满足，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心6、已知P是ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心7、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P 的轨迹一定通过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心8、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心9、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心10、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：补充练习三：1、已知O是ABC内的一点，若，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于 A、 B、0 C、1 D、3、已知O是ABC所在平面上的