一维多阶梯势垒的透射系数

1、精选优质文档-倾情为你奉上一维多阶梯势垒的透射系数甘肃省西和县何坝职校 胡来喜 对于一般势垒，求解透射系数往往比方势垒复杂。应用W.K.B半经典近似法1可以精确推导出一般势垒的透射系数1-3，只是在推导过程中要用到比较高深的数学知识。于是，有些文章将一般势垒分成多个宽度为的小方势垒，组成一维多阶梯势垒，并有应用鲁阿德（Rouard）递推方法4和一维阶梯位势递推关系5分别得出一维多阶梯势垒透射系数的递推公式，这两种递推公式对于少数阶梯势垒很适用，但在阶梯势垒过多时要借助于计算机程序6才能完成。本文在参照了教科书7中求U（x）xE图1解方势垒透射系数方法的基础上，以连续函数势垒作为一般势垒的一个特

2、例，将连续函数势垒分割成多个宽度为的矩形势垒，如图1，对其过程应用相关数学处理，得出推导一维多阶梯势垒透射系数，再应用极限方法使阶梯势垒回归到连续函数势垒，推导出连续函数势垒的透射系数。最后，对推导过程中用到的近似处理进行了误差讨论，比较严密地证明了教科书7,8中关于势垒透射系数的结论。1 一维多阶梯势垒透射系数如图1所示，一般势垒U(x)的定态薛定谔方程为：， （1）式中 （2）令 （3）把粒子经过的区域分成n个小区域，每个小区域的U(x)近似为常数，成为“阶梯势垒”，从而每个区域的K(x)也近似为常数（图2）。由（1）式解出的各区域的波函数具有相同形式，如第j区域和第n区域为：，j=0,1

3、,，n-1 （4） K(x) x图2 （5）得到入射波的几率流密度为： （6） 透射波的几率流密度为： (7) 入射粒子从左到右经势垒后的透射系数为： （8）其中5。若令 ，j=0,1,n则(8)式可写为： （9）式中任一项的。可以看出，引入很多相乘除，D值不变，只是一种数学处理。应用该处理是因为求相邻区域的比较容易，从而容易求出D。避开其中任一区域，即去掉其中一项，只要能求出，并不影响求D的值。所以，K=0的区域是可以避开的。又令 ，j=1,2,n即 (10)则 (11)1.1 ，且左邻域的第j区域的由波函数及其微商在点的连续条件得到：得 （12） 得 （13）由得： （14）（14）式有三

4、个未知量、，由于K（x）是连续的，可以把区域取的很窄，使 （15）则（14）式中含的项可以忽略，得到： （16）代入（10）式，并令，得： （17）而 xK(x)图3所以 （18）1.2 ，而左邻域的第t区域的设、三区域相邻（图3），由得，则。由波函数的连续性，在、点有：点：和点：解上面两个方程组得： 则 （19）将（19）式代入（10）式，因K(x)连续，故可取，得：即 （20）将（18）、（20）式代入（11）式，得： （21） 该式即为服从连续函数的多阶梯势垒的透射系数。其中，时，粒子很容易穿过势垒，透射系数近似为1，这个结果是与事实相符的。2连续函数势垒的透射系数当多阶梯势垒的宽度无限

5、小（0）时，多阶梯势垒回归到一般势垒，而，于是（21）式可写成 （22）上式就是连续函数势垒的透射系数，常数因子=1。其中，称为经典回转点，即。对于一般势垒，可推得除常数因子外，透射系数与（22）式完全一致8 （23）3 结果讨论在推导过程中用到一处近似处理，即忽略了（14）式含的项，时，区域的个数并不增加，故误差不能忽略（虽然每个小区域的误差减小了，但这种小区域的个数）。由于做了近似计算，首先给（16）式的带来误差，从而、D也有误差。设与它们对应的准确值为、，又设的相对误差为。则时，。由 （24）得 （25）所以 （26）略去二次项，得到 （27）即 （28）显然，是透射系数公式（21）成立

6、的条件。相对误差是由于产生的，越大，就越大，作为一级近似，有： （29）于是令： 式中是比例常数（实数）。设区域有两个，取它们两侧邻域的k值相等，即。粒子从势垒外进入势垒，再穿出势垒，有，得到 （30）表明：尽管各小区域的误差不可忽略，但总的误差却可以忽略。这是因为：两边区域的符号不同，区域的符号也不同，所引起的误差一部分为正，一部分为负，正负相互抵消。综上所述，粒子穿过服从连续函数的多阶梯势垒后，透射系数由（21）式确定。当粒子穿过一般势垒后，其透射系数由（23）式准确得到，总误差可忽略不计，而不要任何附加条件。参考文献：1 张启仁.量子力学M.北京:科学出版社,2002.1822,8992.2 周世勋.量子力学M.上海:上海科学出版社,1961.209218.3 曾谨言.量子力学M.北京:科学出版社,1981.475491.4 龙超云,刘波.一维多阶梯势垒的反射系数J. 大学物理,1999,18(10):79.5 井孝功,张井波.高等量子力学导论M. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2006.103106.6 井孝功,赵永芳等.一维位势透射系数的计算与谐振隧穿现象的研